资源简介

(共44张PPT)
第一部分 回顾教材篇
第三章 函 数
第10课时 一次函数
要点夯基础
精讲过考点
精练通方法
课时分层强化练
知识要点
1.一次函数
（1）一般地，形如，是常数， 的函数，叫做一次函数.
（2）当时， 叫做正比例函数.
回归教材
1.下列函数中,_______是一次函数,_____是正比例函数.（填序号）
;;;
-①④-
-①-
知识要点
2.一次函数与正比例函数的关系
（1）一次函数的图象是过点且与直线 平行
的一条直线.它可以由直线平移得到.它与 轴的交点为_ _________,与
轴的交点为________.
（2）平移规律
.
--
--
回归教材
2.直线与轴的交点坐标为_ _______,与 轴的交点坐标为
__________,直线可以看作由直线 向_____平移____个单位
长度而得到.
--
--
-下-
-1-
知识要点
3.一次函数的图象与性质
一次函数 的图象、性质列表如下：
经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限
图象从左到右上升，随 的增大而_______
-增大-
经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限
图象从左到右下降，随 的增大而_______
-减小-
续表
回归教材
3.（1）已知一次函数的图象如图所示，则_____0, _____0.
--
--
（2）已知,是正比例函数的图象上的两点,则
_____.（填“ ”“ ”或“ ”）
--
（3）关于函数 ,下列结论正确的是( )
C
A. 图象经过点 B. 随 的增大而增大
C. 图象不经过第三象限 D. 图象不经过第二象限
知识要点
4.待定系数法求一次函数的解析式
（1）基本方法：待定系数法
（2）步骤：
①设一次函数的解析式为 ;
②将一次函数图象上两个点的坐标， 代入解析式中，得到关
于系数，的二元一次方程组，即
③求出， 的值;
④将， 的值代入所设的函数解析式中.
回归教材
4.（1）若点在直线 上,则该直线的解析式为__________
___.
（2）若一次函数的图象过点 ，则该一次函数的
解析式为_ ______________.
（3）若一次函数的图象经过点, ,则该一次
函数的解析式为______________.
--
--
--
知识要点
5.一次函数与方程（组）、不等式的关系
（1）一次函数与的图象交点的横、纵坐标 方程
组 的解.
（2）一次函数与一元一次方程（或不等式）的关系
对于一次函数
①当时, ,转化成方程;
②当时, ,转化成不等式.
回归教材
5.如图,一次函数的图象与的图象交于点 .
（1） 的解集是__________;
（2）关于的一元一次方程 的解为__________.
--
--
考点1 一次函数的图象与性质（5年1考）__________
1.（多角度设问）已知一次函数 .
（1）若是关于的正比例函数,则 的值是______.
（2）若函数值随的增大而增大,则 的取值范围是_________.
--
--
（3）当 时,函数图象大致是( )
C
A. B. C. D.
（4）若一次函数的图象过点，则 的值为______.
-1.5-
（5）当 时，
①该函数图象与轴的交点为________，与 轴的交点为________;
②若点,是该一次函数图象上的两点,则_____;（填“ ”
“ ”或“ ”）
③当时, 的最大值为____.
--
--
--
-0-
考点2 求一次函数的解析式（5年2考）
2.（2023·广东）已知一次函数的图象经过点与 ,求该
一次函数的解析式.
解:将点与代入 ，
得解得
该一次函数的解析式为 ．
3.如图,在平面直角坐标系中,点在直线 上,过点的直线
交轴于点.求的值和直线 的函数解析式.
解:把点代入，得 ．
设直线的函数解析式为 ，
把点， 代入得
解得
直线的函数解析式为 ．
考点3 一次函数与方程（组）、不等式的关系（5年1考）__________
4.（2024·广东）已知不等式的解集是 ,则一次函数
的图象大致是( )
B
A. B. C. D.
5.（多角度设问）如图,直线
经过点,,且与直线 交
于点 .
（1）____,____, ____;
-2-
-4-
-5-
（2）方程 的解是__________;
（3）不等式 的解集是________;
（4）关于,的二元一次方程组 的解是_ ________.
--
--
--
考点4 一次函数的应用（5年1考）
6.（2022·广东）物理实验证实：在弹性限度内,某弹簧长度 与所挂
物体质量满足函数关系 .下表是测量物体质量时,该弹簧长
度与所挂物体质量的数量关系.
0 2 5
15 19 25
（1）求与 的函数解析式;
解:把，代入 ，
得，解得 ，
与的函数解析式为 .
（2）当弹簧长度为 时,求所挂物体的质量.
解： 把代入 ，
得，解得 ．
答：所挂物体的质量为 ．
7.（2024·广元）近年来,中国传统服饰备受大家的青睐,走上国际时装周舞
台,大放异彩.某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售,进货
价和销售价如下表：
价格 类别
短款 长款
进货价/（元/件） 80 90
销售价/（元/件） 100 120
（1）该服装店第一次用4 300元购进长、短两款服装共50件,求两款服装分
别购进的件数.
解:设购进短款服装件，购进长款服装 件，
由题意，得解得
答：短款服装购进20件，长款服装购进30件．
（2）第一次购进的两款服装售完后,该服装店计划再次购进长、短两款服装
共200件（进货价和销售价都不变）,且第二次进货总价不高于16 800元.服装
店这次应如何设计进货方案,才能获得最大销售利润？最大销售利润是多少？
解： 设第二次购进件短款服装，则购进 件长款服装.
由题意，得 ，
解得 .
设利润为 元，则
.
，随 的增大而减小，
当时， （元）．
答：当购进120件短款服装，80件长款服装时,才能获得最大销售利润，最
大销售利润是4 800元．
1.（2024·德阳）正比例函数 的图象如图所
示,则 的值可能是( )
A
A. B. C. D.
2.（2024·山西）已知点,都在正比例函数 的图象
上,若,则与 的大小关系是( )
B
A. B. C. D.
3.（2024·长沙）对于一次函数 ，下列结论正确的是( )
A
A. 它的图象与轴交于点 B. 随 的增大而减小
C. 当时， D. 它的图象经过第一、二、三象限
4.（2024·山西）生物学研究表明,某种蛇在一定生长阶段,其体长 是
尾长的一次函数.部分数据如下表所示,则与 之间的函数解析式为
( )
尾长 6 8 10
体长 45.5 60.5 75.5
A
A. B.
C. D.
5.在同一平面直角坐标系中,一次函数, 的图
象如图所示,则下列结论错误的是( )
C
A. 随 的增大而减小
B.
C. 当时,
D. 方程组的解为
6.在一次函数中,随的增大而减小,则 的取值范围是
__________.
--
7.如图,直线与轴交于点,直线与 轴交于点
,与轴交于点,两条直线相交于点,连接 .
（1）求直线 的函数解析式;
解:设直线的函数解析式为 ,
把，代入，得
解得
直线的函数解析式为 .
（2）求 的面积.
解：联立解得
点的坐标为 .
，， ，
,
即 的面积为15．
1.（2024·兰州）一次函数 的图象不经过( )
B
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.若正比例函数的图象经过点 ,则此图象一定经过点
( )
B
A. B. C. D.
3.（2024·新疆）若一次函数的函数值随的增大而增大,则 的
值可以是( )
D
A. B. C. 0 D. 1
4.（2024·临夏）一次函数的函数值随 的增大而减小,
它的图象不经过的象限是( )
A
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5.如图，一次函数的图象与 轴交于
点，与的图象交于点 ，则
下列说法正确的是( )
A
A. 关于,的方程组的解是
B. 方程的解是
C. 方程的解是
D. 不等式的解集是
6.（2024·上海）若正比例函数的图象经过点,则的值随
值的增大而_______.（填“增大”或“减小”）
7.已知点,都在函数（ 为常数）的图象上,若
,则_____.（用“ ”或“ ”填空）
8.（2023·无锡）将函数 的图象向下平移2个单位长度,所得图象
对应的函数解析式是_____________.
-减小-
--
--
9. （2024·湖北）铁的密度为,铁块的质量
与它的体积之间的函数解析式为,当时,
_____ .
-79-
10.已知一次函数,是常数,且的图象过 ，
两点.
（1）求一次函数的解析式;
解： 一次函数,是常数，且的图象过 ,
两点，
解得
一次函数的解析式为 .
（2）若点在该一次函数的图象上,求 的值.
解： 点 在该一次函数的图象上，
，解得 ，
即 的值为2.
11.（2025·陕西）
研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积 与气体
温度 成一次函数关系.某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某
种气体进行加热，测得的部分数据如下表：
气体温度 … 25 30 35 …
气体体积 … 596 606 616 …
（1）求与 的函数解析式;
解：根据表格中的数据可知，气体温度每升高，气体体积增大 ，
则 .
与的函数解析式为 .
（2）为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到 时停止
加热，求停止加热时的气体温度.
解： 当时，得 ，
解得 .
答：停止加热时的气体温度为 .
12.（2024·南充）当时,一次函数 有最大
值6,则实数 的值为( )
A
A. 或0 B. 0或1 C. 或 D. 或1
13.（2024·通辽）如图,在同一平面直角坐标系中,一次函
数与（其中,,, ,
为常数）的图象分别为直线, .下列结论正确的是
( )
A
A. B.
C. D.
14.（2023·广州）因活动需要购买某种水果,数学活动小组的同学通过市场
调查得知：在甲商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量 （千克）
之间的关系如图所示;在乙商店购买该水果的费用 （元）与该水果的质量
（千克）之间的函数解析式为 .
（1）求与 之间的函数解析式；
解：当时，设与之间的函数解析式为 ，
把点代入解析式,得，解得 ，
.
当时，设与之间的函数解析式为 ，
把点和代入解析式,得
解得 .
综上所述，与 之间的函数解析式为
（2）现计划用600元购买该水果,选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？
解： 在甲商店购买：，解得 ，
在甲商店用600元可以购买 千克水果.
在乙商店购买：，解得 ，
在乙商店用600元可以购买60千克水果.
， 在甲商店能购买该水果更多一些．(共27张PPT)
第一部分 回顾教材篇
第三章 函 数
微专题 二次函数中的线段、面积问题
一阶 方法训练
二阶 综合训练
一阶 方法训练
图1
例1 （多角度设问）如图1,已知抛物线
与轴交于点,,与 轴
交于点,点是直线上方抛物线上的一个动点,点 的
横坐标为 .
（1）请求出抛物线与直线 的解析式.
解:由题意,得解得
则抛物线的解析式为 .
在中,令,得,则 .
设直线的解析式为 ,
将代入得,解得 ，
直线的解析式为 .
（2）①如图2,过点作轴于点,交于点,则 ______________
________,__________, _____________;
--
--
--
图2
②当最大时,请求出的最大值及点 的坐标.
解： ,
当时,有最大值，此时点的坐标为 .
（3）如图3,过点作于点,求 的最大值.
图3
解： 如图,过点作轴,交于点，则 .
,, .
, .
, .
在中, ,
,
即 ,
当时，的最大值是 .
例2 （多角度设问）如图，抛物线与轴交于 ，
两点，与轴交于点，对称轴为直线 ，顶点为
，直线， 为抛物线上一点.
（1）若点在直线 下方，
①求 面积的最大值；
图1
解:如图1,过点作轴,交于点.设点 的坐标为
,,则点的坐标为 ,
,
,
当时，的最大值为 .
②四边形 面积的最大值为_ ____.
--
（2）若，求点 的坐标.
解： ,
点到直线的距离等于 ，
点的纵坐标为 ，
点的坐标为或 .
（3）若点在直线下方，且，求点 的坐标.
图2
解： 如图2,过点作,交抛物线于点,交轴于点 .
, 可设 ,
将代入得 .
联立抛物线与直线 的解析式，
得 ,
解得（舍去）或 ，
点的坐标为 .
（1）竖直线段问题
设出动点的横坐标,表示纵坐标,如（2） .
一般情况下,求竖直线段的最值,转化为二次函数求最值,如第
（2）②题.
（2）斜线段问题
将斜线段问题转化为竖直线段或水平线段（“化斜为直”）,构
造相似三角形,或利用解直角三角形求解.
（3）铅垂法求面积
①， 两点之间的水平距离称为“水平宽”;
②过点作轴的垂线与交点为，线段即为 边的“铅垂高”;
③ .
二阶 综合训练
1.（2025·扬州节选）如图，在平面直角坐标系中，二
次函数的图象（记为）与 轴交于点
，，与轴交于点，二次函数 的图象
（记为）经过点，.直线与两个图象， 分
别交于点，，与轴交于点 .
（1）求， 的值；
解： 二次函数 ，
令，可得或，即， .
令，可得,即 .
把，代入 ，
得解得
故的值为4， 的值为3.
（2）当点在线段上时，求 的最大值.
解： 由（1）知的解析式为 ，
设，则， ，
故 ，
即当时，的最大值为 .
2.（2025·甘肃节选）如图，抛物线
分别与轴、 轴交
于，两点，为 的中点.
（1）求抛物线的解析式;
解：把 ，代入
，
得，解得 .
.
（2）连接，过点作的垂线，交于点，交抛物线于点 ，连接
，求 的面积.
解： 当 时，
，， .
是的中点，， .
， 设直线的解析式为 .
把代入，得， .
过点作的垂线，交于点，交抛物线于点 ，
，， ，
的面积 .
3.（2025·重庆节选）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与轴交于，两点，与轴交于点 ，抛物线的对称
轴是直线 .#1
（1）求抛物线的解析式；
解：设抛物线的解析式为 ，
把代入得，解得 .
.
（2）点是射线下方抛物线上的一动点，连接，与射线交于点 ，
点，为抛物线对称轴上的动点（点在点的下方），且 ，连接
，，当取得最大值时，求点的坐标及 的最小值.
解： 令，则， 点的坐标为 .
设直线的解析式为 ，
把和代入得解得
.
设点的坐标为，过点作 轴交
于点，交轴于点 ，如图，
则点的坐标为 ，
.
轴，， ，
，
，
当时，取得最大值为，这时点 的坐标为 .
把点向上平移4个单位长度得到点，点的坐标为，连接 ，则
四边形 是平行四边形，
，即 .
由，关于直线对称可得点的坐标为 ，
连接，则，即其最小值为 的长，
又 ，
则的最小值为 .
4.（2025·威海节选）已知抛物线交轴于点、
点，交 轴于点.将点向右平移2个单位长度，得到点 ，点在抛物线
上.点 为抛物线的顶点.
（1）求抛物线的解析式及顶点 的坐标.
解：由题意，得， ，
将，的坐标代入 ，
得解得
抛物线的解析式为 .
， .
（2）连接，点是线段上一动点，连接，作射线 .
①在射线上取一点，使，连接.当 的值最小时，
求点 的坐标；
解： ，， .
，， .
当，，三点共线时， 的值最小.
由得， .
， .
， 四边形是矩形，又 ,
矩形是正方形， .
②点是射线上一动点，且满足.作射线，在射线 上取一
点，使.连接，.求 的最小值.
解： 如图，作于点 .
， ， ，
.
由①知，四边形 是正方形，
， .
， ，
，
， ，
当，，三点共线时， 的值最小.
，， ，
，
.(共30张PPT)
第一部分 回顾教材篇
第三章 函 数
第13课时 二次函数解析式的确定（含图象变化）
要点夯基础
精讲过考点
精练通方法
课时分层强化练
知识要点
1.待定系数法确定二次函数的解析式
（1）二次函数解析式的三种形式
一般式：,，是常数，
顶点式：,其中为顶点坐标］
交点式：（，其中，为函数图象与轴交
点的横坐标）
（2）二次函数解析式的求法#1.2
解析式 已给出 对于二次函数解析式,若,, 中有一个未
知,则代入二次函数图象上任意一点坐标;若有两个未知，则代入二次函数图象上任意两点坐标
解析式 未给出 当已知抛物线与轴的两个交点坐标或对称轴、抛物线与 轴的一
个交点时，通常设解析式为 ，其中抛
物线与轴的交点分别为，
解析式 未给出 当已知抛物线的顶点坐标或对称轴及最大（小）值时,通常设解析
式为，其中顶点坐标为 ，对称轴为直线
当已知抛物线上任意三点时，通常设抛物线的解析式为
续表
回归教材
1.已知抛物线的顶点是，且经过点 ，则该抛物线的解析
式为_____________________.
--
2.已知抛物线经过,， 三点,求该抛物线的解析式.
解：
知识要点
2.二次函数图象的平移
平移前解析式 平移方向 平移后解析式 简记
向左平移 个单 位长度 ①_________________________ 左加
右减
向右平移 个单 位长度 ②_________________________
向上平移 个单 位长度 ③_________________________ 上加
下减
向下平移 个单 位长度 ④_________________________
--
--
--
--
【满分技法】在一般式 或顶点式
中，左右平移给 加减平移单位长度，上下平移给等号右边整体
加减平移单位长度
回归教材
3.将抛物线 先向左平移1个单位长度,得到的新抛物线的解
析式为_________________;
再向下平移3个单位长度,得到的新抛物线的解析式为_________________.
--
--
知识要点
3.二次函数与方程、不等式的关系
分类 关系
二次函数 与方程 的根 的的值
抛物线与 轴交点的横坐标
判别式的符号决定了根的个数
二次函数 与不等式 的解集 二次函数或时， 的取值范围 抛物线在 轴上（下）方对应横坐标的取值范围
回归教材
4.已知抛物线 的部分图象如图所示.
（1）一元二次方程 的实数根是_______
____________;
-，-
（2）不等式 的解集是_____________;
--
（3）当函数值不大于0时, 的取值范围是_____________
____;
-或-
（4）当时, 的取值范围是________.
--
考点1 待定系数法求二次函数的解析式（5年4考）
1.（1）已知抛物线经过点,, ,则抛物线
的解析式为_ ____________________;
（2）抛物线过三点：,, ,则抛物线的解析式为___________
______________;
（3）抛物线与轴交于点,对称轴为直线 ,则
抛物线的解析式为___________________.
--
--
--
2.（2025·广东）已知二次函数的图象经过点 ，但
不经过原点，则该二次函数的解析式可以是___________________________
______.（写出一个即可）
-（答案不唯
一）-
3.（2023·广东）如图，抛物线（，是常数）的顶点
为 ，与轴交于，两点，，，点 为线段上的动点，
过点作交 于点 .
（1）求该抛物线的解析式;
解： 抛物线（， 是常数）
的顶点为，与轴交于，两点， ，
，
，
解得
该抛物线的解析式为 .
（2）求面积的最大值，并求出此时点 的坐标.
解： 如图，过点作轴于点，过点作轴于点 ，
设，则 .
，
， .
， ，
，即 ，
.
.
， 当时, 取得最大值2，
面积的最大值为2，此时点的坐标为 .
考点2 二次函数图象的平移（5年1考）
4.把函数 的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数
解析式为( )
C
A. B.
C. D.
5.（2021·广东）把抛物线 向左平移1个单位长度，再向下平移
3个单位长度，得到的抛物线的解析式为_______________.
--
考点3 二次函数与方程、不等式的关系
6.（多角度设问）已知二次函数 的部分图象如图所示.
（1）方程 的解是_________________;
-,-
（2）不等式 的解集是_____________;
--
（3）若方程 有两个不相等的实数根,
则 的取值范围是________.
--
7.（2024·长春）若抛物线（是常数）与轴没有交点,则
的取值范围是________.
--
1.将抛物线 化为顶点式为( )
B
A. B.
C. D.
2.将抛物线 向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度后
所得抛物线的解析式是( )
C
A. B.
C. D.
3.若二次函数的图象开口向下，顶点坐标为 ，且过
点 ，则函数解析式为( )
A
A. B.
C. D.
4.如图，二次函数（ 为常数）的图象与轴的一个交
点为，则关于 的一元二次方程（ 为常数）的
两实数根是( )
B
A. , B. ,
C. , D. ,
5.已知抛物线经过点， .
（1）求该抛物线的解析式；
解：把，分别代入 ，
得解得
该抛物线的解析式为 .
（2）当时，函数的最大值为,最小值为,求 的值.
解： ，
当时， 有最大值4，
当时， ，
当时， ，
当时， ，
，， .
1.将二次函数化为 的形式,所得解析式为
( )
B
A. B.
C. D.
2.如图,抛物线 经过原点，则抛物线的解析式为
( )
A
A.
B.
C.
D. 或
3.抛物线的顶点为,与轴交于点 ,则该抛物线的解析式为
( )
A
A. B.
C. D.
4.若抛物线,是常数,与抛物线 关
于轴对称，则, 的值为( )
C
A. , B. ,
C. , D. ,
5.将抛物线平移后得到新的抛物线 ,则下列平移方
法正确的是( )
A
A. 先向右平移3个单位长度,再向上平移5个单位长度
B. 先向左平移3个单位长度,再向下平移5个单位长度
C. 先向左平移3个单位长度,再向上平移5个单位长度
D. 先向右平移3个单位长度,再向下平移5个单位长度
6.请选择一组你喜欢的,,的值,使二次函数 的图
象同时满足下列条件:
①开口向下;
②当时,随 的增大而增大;
③当时,随 的增大而减小.
这样的二次函数的解析式可以是_____________________________.
-（答案不唯一）-
7.（2024·宁夏）若二次函数的图象与轴有交点,则 的
取值范围是________.
--
8.如图，直线与抛物线交于，
两点，则关于的不等式 的解集是_____________.
--
9.已知直线是抛物线的对称轴,若抛物线的顶点在 轴
上,且抛物线过点 ,则该抛物线的解析式为__________________.
--
10.（2024·泰安节选）如图,抛物线 的图
象经过点,与轴交于点、点 .
（1）求抛物线 的解析式;
解：将点的坐标代入抛物线 的解析式，
得 .
解得 .
则抛物线的解析式为 .
（2）如图,将抛物线 向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度得到
抛物线,求抛物线的解析式,并判断点是否在抛物线 上.
解： 由题意得 ，
当时， ，
故点在抛物线 上.(共34张PPT)
第一部分 回顾教材篇
第三章 函 数
第9课时 平面直角坐标系、函数及图象
要点夯基础
精讲过考点
精练通方法
课时分层强化练
知识要点
1.平面直角坐标系中点的坐标的特征
（1）坐标系中点的坐标
（2）坐标轴上点的坐标
如图，
0
0
（3）各象限角平分线上的点的坐标
①点在第一、三象限角平分线上，则 ;
②点在第二、四象限角平分线上，则 _______.
--
（4）与坐标轴平行的直线上的点的坐标
①平行于 轴的直线上的点的_____坐标相同;
②平行于 轴的直线上的点的_____坐标相同.
-纵-
-横-
回归教材
1.（1）在平面直角坐标系中,点 在第_____象限.
（2）如果点在轴上,那么 ______.
-二-
--
（3）已知点 .
①若点在轴上，则 ____.
②若点在第二象限，则 的取值范围是________.
③若点在第一象限，且在第一象限的角平分线上，则 ____.
④若点在平行于轴的直线上，则 的取值范围是___________.
-2-
--
-1-
-任意实数-
知识要点
2.对称点的坐标
（1）点关于轴对称的点 的坐标为_________.
（2）点关于轴对称的点 的坐标为_________.
（3）点关于原点对称的点 的坐标为___________.
--
--
--
回归教材
2.点关于轴对称的点的坐标是_________,关于 轴对称的点的坐标
是_________,关于原点对称的点的坐标是___________.
--
--
--
知识要点
3.点的平移规律
（1）点向右（或向左）平移个单位长度，得
点 ______________.
（2）点向上（或向下）平移个单位长度，得
点 ____________.
--
--
回归教材
3.将点 向右平移3个单位长度，其对应点的坐标为___________;
再向下平移2个单位长度，得到的点的坐标为___________.
-
--
知识要点
4.平面直角坐标系中的距离
（1）点到坐标轴和原点的距离
（2）点， 之间的距离为___________.
（3）点， 之间的距离为___________.
--
--
回归教材
4.（1）已知点的坐标为，则点到轴的距离为____，到 轴的
距离为____，到原点的距离为____.
（2）已知点，，则线段 的长为____.
-3-
-4-
-5-
-5-
知识要点
5.函数的有关概念
（1）常量、变量：在一个变化过程中，始终保持不变的量叫做常量，可以
取不同数值的量叫做变量.
（2）函数的概念：在一个变化过程中，有两个变量和，对于的每一个
值， 都有唯一确定的值与其对应，那么就称是自变量，是 的函数.
（3）函数的表示法：解析式法、列表法、图象法.
（4）自变量的取值范围
（5）画函数图象的步骤：列表、描点、连线.
回归教材
5.（1）下列曲线中表示是 的函数的是( )
C
A. B. C. D.
（2）若92号汽油的售价为8.1元/升,则付款金额（元）随加油数量 （升）
的变化而变化,其中____是自变量,____是____的函数,其解析式为___________.
--
--
--
--
（3）在函数中,自变量 的取值范围是________.
--
考点1 平面直角坐标系及点的坐标（5年1考）
考向1 点的坐标特征
1.（2025·成都）在平面直角坐标系中，点 所在的象限
是( )
B
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.（2024·广西）如图,在平面直角坐标系中,点 为坐
标原点,点的坐标为,则点 的坐标为( )
C
A. B. C. D.
3.在平面直角坐标系中,若点在第二象限,则整数 的值为
____.
-2-
考向2 坐标对称点及平移变化规律
4.（2022·广东）在平面直角坐标系中,将点 向右平移2个单位长度后,
得到的点的坐标是( )
A
A. B. C. D.
5.在平面直角坐标系中,点关于 轴对称的点的坐标为( )
A
A. B. C. D.
6.在平面直角坐标系中,将点 先向右平移3个单位长度,再向下平移2个
单位长度得到的点的坐标是________.
--
考点2 函数的相关概念及自变量的取值范围（5年1考）
7.（2022·广东）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为 ，则圆
周长与的关系式为 .下列判断正确的是( )
C
A. 2是变量 B. 是变量 C. 是变量 D. 是常量
8.（2024·泸州）函数的自变量 的取值范围是__________.
9.（2024·齐齐哈尔）在函数中,自变量 的取值范围是_____
_____________.
--
-且-
考点3 函数图象（5年1考）
10.（2025·广东）在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，
其电池剩余的能量与骑行里程 之间的关系如图.当电池剩余
能量小于 时，摩托车将自动报警.根据图象，下列结论正确的是
( )
C
A. 电池能量最多可充
B. 摩托车每行驶消耗能量
C. 一次性充满电后，摩托车最多行驶
D. 摩托车充满电后，行驶 将自动报警
11.（2024·武汉）如图,一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心
圆柱,向水槽匀速注水.下列图象能大致反映水槽中水的深度与注水时间 的
函数关系的是( )
D
A. B. C. D.
1.在球的表面积公式 中，下列说法正确的是( )
C
A. , ,是变量，4为常量 B. ， 是变量， 为常量
C. ，是变量，4， 为常量 D. 以上都不对
2.（2024·贵州）为培养青少年的科学态度和科学
思维,某校创建了“科技创新”社团.小红将“科”“技”
“创”“新”写在如图所示的方格纸中,若建立平面直
角坐标系,使“创”“新”的坐标分别为, ,
则“技”所在的象限为( )
A
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.（2024·滨州）若点在第二象限,则 的取值范围是( )
A
A. B. C. D.
4.（2024·雅安）在平面直角坐标系中,将点 向右平移2个单位长度
后,得到的点关于 轴的对称点坐标是( )
B
A. B. C. D.
5.（2024·滨州）若函数的解析式在实数范围内有意义,则自变量
的取值范围是________.
--
6.（2025·河南）
汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因
素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化.
研究发现，某款轮胎的摩擦系数 与车速
之间的函数关系如图所示.下列说法中
错误的是( )
C
A. 汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9
B. 当 时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小
C. 要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于
D. 若车速从增大到 ，则这款轮胎的摩擦系数减小0.04
7.若点在第四象限,且,,则点关于 轴对称的点的坐标
是( )
B
A. B. C. D.
8.如图,四边形 是平行四边形,在平面直角坐标系中,
点,,则点 的坐标是( )
C
A. B. C. D.
1.在如图所示的平面直角坐标系中,小手盖住的点的坐标
可能是( )
C
A. B. C. D.
2.（2024·巴中）函数 的自变量的取值范围是( )
C
A. B. C. D.
3.（2024·长沙）在平面直角坐标系中,将点 向上平移2个单位长度后
得到点 的坐标为( )
D
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系中,点关于 轴对称的点的坐标为( )
A
A. B. C. D.
5.已知点在第三象限,则 的取值范围是( )
D
A. B. C. D.
6.（2024·湖北）如图，在平面直角坐标系中,点 的
坐标为,将线段绕点顺时针旋转 ,则点 的
对应点 的坐标为( )
B
A. B. C. D.
7.（2024·凉山）若点关于原点对称的点是,则 的值是
( )
A
A. 1 B. C. D. 5
8. （2024·江西）将常温中的温度计插入一杯 的热水
（恒温）中,温度计的读数与时间 的关系用图象可近似表示为
( )
C
A. B. C. D.
9.已知函数,则自变量 的取值范围是________________.
10.（2023·巴中）已知为正整数,点在第一象限,则 ____.
-且-
-1-
11. 我国象棋文化历史久远.某校开展了
以“纵横之间有智慧 攻防转换有乐趣”为主题的中国
象棋文化节.如图所示是某次对弈的残局图,如果建立
平面直角坐标系,使“帥”位于点 ,“馬”位于点
--
,那么“兵”在同一平面直角坐标系下的坐标是_________.
12.（2024·广元）如果单项式与单项式 的和仍是一个单项
式，那么在平面直角坐标系中，点 在( )
D
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
13.如图,在平面直角坐标系中,菱形的顶点,, 在
坐标轴上.若点的坐标为, ,则点
的坐标为( )
B
A. B. C. D.
14.（2024·凉山）匀速地向如图所示的容器内注水,直到把容器注满.在注
水过程中,容器内水面高度随时间 变化的大致图象是( )
C
A. B. C. D.
15.（2023·自贡）如图1,小亮家、报亭、羽毛球馆在同一条直线上.小亮从
家跑步到羽毛球馆打羽毛球,再去报亭看报,最后散步回家.小亮离家的距离
与时间 之间的关系如图2所示.下列结论正确的是_________.（填序号）
-①②③-
图1 图2
①小亮从家到羽毛球馆用了 ; ②小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟
走 ;③报亭到小亮家的距离是 ;④小亮打羽毛球的时间是 .
16.（2025·甘肃）如图1，在等腰直角三角形中， ， 为
边的中点.动点从点出发，沿边方向匀速运动，运动到点 时
停止.设点的运动路程为，的面积为，与 的函数图象如图2所
示，当点运动到的中点时， 的长为( )
A
A. 2 B. 2.5 C. D. 4(共41张PPT)
第一部分 回顾教材篇
第三章 函 数
第14课时 二次函数的应用
要点夯基础
精讲过考点
精练通方法
课时分层强化练
知识要点
1.抛物线形问题
（1）问题背景：题目常给出抛物线或说明图象是抛物线.
（2）一般思路：
①根据题意,找到关键点,求出函数解析式;
②确定自变量的取值范围;
③根据图象,结合解析式解决问题.
【点拨】若题目未给出坐标系,则建立坐标系求解,建坐标系时要使求出的二
次函数解析式比较简单，使已知点所在的位置适当.
回归教材
1.如图，一个横截面为抛物线的隧道,其底部的宽为，拱高为 .该
隧道为双向车道，且两车之间有的隔离带，一辆宽为 的货车要安
全通过这条隧道，需保持其顶部与隧道间有不少于 的空隙，则该货车
能够安全通行的最大高度是_______ .
-2.29-
知识要点
2.销售最值问题
（1）问题背景：题目常以销售问题为背景，求最值.
（2）一般思路：
①根据题意，找到信息，求出函数解析式;
②确定自变量的取值范围;
③结合自变量的取值范围与函数的解析式求最值.
【点拨】求解最值时，一定要考虑顶点横坐标是否在自变量的取值范围内.
回归教材
2.电商平台销售某款儿童组装玩具,进价为每件100元.在销售过程中发现，
每周的销售量（件）与每件玩具售价 （元）之间满足一次函数关系
（其中,且 为整数），则电商平台每周销售
这款玩具所获的最大利润是________元.
-1 600-
知识要点
3.几何图形面积问题
（1）问题背景：题目常以几何图形为背景，求面积最值.
（2）一般思路：
①根据图形的性质，求出图形中的关系式；
②根据图形的关系式求出二次函数解析式；
③利用配方法等确定二次函数的最值，解决问题.
【点拨】几何图形的面积最值问题，同样要注意自变量的取值范围.
回归教材
3.如图,某农场计划修建三间矩形饲养室,饲养室一面靠现有墙（墙可用长
）,中间用两道墙隔开,已知计划中的修筑材料可建围墙总长为 .
设饲养室一边长为,占地总面积为,则三间饲养室总面积 的最大值
是______ .
-200-
考点 二次函数的应用（5年3考）
考向1 利用二次函数解决抛物线形问题
1.（2025·广东）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长 ，主塔高
，主缆可视为抛物线，主缆垂度 ，主缆最低处距离桥
面，桥面距离海平面约 .请在示意图中建立合适的平面
直角坐标系，并求该抛物线的解析式.
解：建立平面直角坐标系如图所示.
则抛物线顶点坐标为 ，
，
即 .
设该抛物线的解析式为 ，
将代入 ，
得 ，
解得 .
该抛物线的解析式为 .
图1
2.有一建筑的一面墙近似呈抛物线形,该抛物线的水
平跨度,顶点的高度为 ，建立如图所
示的平面直角坐标系.现计划给该墙面安装门窗,已
经确定需要安装矩形门框（点, 在抛物线上,
边 在地面上）,针对窗框的安装，设计师给出了
两种设计方案.
方案一：如图1，在门框的两边加装两个矩形窗框（点, 在抛物线上）,
;
图2
方案二：如图2，在门框的上方加装一个矩形窗框
（点,在抛物线上）, .
（1）求该抛物线的解析式;
解:由题意可知，抛物线的顶点的坐标为 .
设所求抛物线的解析式为 ，
把点代入解析式中，得 ，
解得 .
该抛物线的解析式为 ．
（2）若要求门框的高度为 ,判断哪种方案透光面积（窗框和门框的
面积和）较大.（窗框与门框的宽度忽略不计）
解： 当时， ，
解得， ，
点的坐标为，点的坐标为， .
方案一：， 点的坐标为 ，
点 的横坐标为1，
当时，， ，
，
.
方案二：， 点的坐标为 ，
点 的横坐标为3，
当时， ，
， ，
.
， 方案一透光面积较大．
考向2 利用二次函数解决销售利润问题
3.（2024·广东）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”,2023年
农产品进出口总额居全国首位,其中荔枝鲜果远销欧美.某果商以每吨2万元
的价格收购早熟荔枝,销往国外.若按每吨5万元出售,平均每天可售出100吨.
市场调查反映：如果每吨降价1万元,每天销售量相应增加50吨.该果商如何
定价才能使每天的利润最大？并求出其最大值.
解:设该果商定价万元/吨时每天的利润为 万元，
则 .
， 抛物线开口向下，
当时， 有最大值，最大值为312.5万元.
答：该果商定价为4.5万元/吨时才能使每天的利润最大，其最大值为312.5
万元．
4.伴随经济发展和生活水平的日益提高，水果超市如雨后春笋般兴起.万松
园一水果超市从外地购进一批水果，其进货成本是每吨0.4万元，根据预测，
此批水果一段时间内的销售量（吨）与每吨的销售价 （万元）之间的函
数关系如图所示.
（1）求出与 之间的函数解析式.
解：设 .
把和分别代入 ，
得解得
与之间的函数解析式为 .
（2）如果销售利润为 万元，那么每吨的销售价定为多少万元时，销售利
润最大？最大利润是多少？
解： 根据题意，得
.
， 抛物线开口向下，
当时， 的值最大，最大值为1.21.
答：当每吨的销售价定为1.5万元时，销售利润最大，最大利润是1.21万元.
考向3 利用二次函数解决几何图形的面积问题
5.（2024·湖北）学校要建一个矩形花圃,其中一
边靠墙,另外三边用篱笆围成.已知墙长42米,篱笆
长80米.设垂直于墙的边的长为 米,平行于墙的
边的长为米,围成的矩形面积为 平方米.
（1）求与,与 的关系式.
解:由题意，得， ．
由，且，得 ．
由题意，得 ，
．
（2）围成的矩形花圃面积能否为750平方米？若能,求出 的值.
解： 令，（舍去）或 ．
答：当 时，围成的矩形花圃面积为750平方米．
（3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在,求出这个最大值,并求
出此时 的值.
解： .
，且 ，
当时， 取得最大值800．
答：围成的矩形花圃面积存在最大值，最大值为800平方米，此时 的值为
20．
1.（2024·广西）如图,壮壮同学投掷实心球, 出手（点处）的高度是
,出手后实心球沿一段抛物线运行,到达最高点时,水平距离是,高度
是.若实心球落地点为 ,则_ ____ .
--
2.（2024·自贡）九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地,
地上两段围墙 于点（如图）,其中上的 段围墙空缺.同学们
测得,,, , ,班长买来可
切断的围栏 ,准备利用已有围墙,围出一块封闭的矩形菜地,则该菜地最
大面积是_______ .
-46.4-
3.（2024·烟台）每年5月的第三个星期日为全国助残日,今年的主题是“科
技助残,共享美好生活”.康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售.
根据市场调查,每辆轮椅盈利200元时,每天可售出60辆;单价每降低10元,每天
可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售,但每辆轮椅的利润不
低于180元.设每辆轮椅降价元,每天的销售利润为 元.
（1）求与 的函数解析式；每辆轮椅降价多少元时,每天的销售利润最大？
最大利润为多少元？
解:由题意，得
， ．
当 时，每天的销售利润最大，最大利润为
（元）
答：与的函数解析式为 ；每辆轮椅降价20
元时，每天的销售利润最大，最大利润为12 240元.
（2）全国助残日当天,公司共获得销售利润12 160元,请问这天售出了多少
辆轮椅？
解： 由题意，得 ，
解得（不合题意，舍去）， ．
售出轮椅 （辆）．
答：这天售出了64辆轮椅．
4.（2025·陕西）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部 ，
左、右门洞， 均呈抛物线形，水平横梁，的最高点 到
的距离，，关于 所在直线对称.，，为框架，
点，在上，点， 分别在，上，
，，.以为原点，
以 所在直线为轴，以所在直线为 轴，
建立平面直角坐标系.
（1）求抛物线 的函数解析式;
解： ，
抛物线的顶点的坐标为 .
设抛物线的函数解析式为 .
，
由二次函数的对称性，得， .
将代入 ，
得，则， .
（2）已知抛物线的函数解析式为，，求
的长.
解： 由（1）得抛物线的函数解析式为 .
，，，，且抛物线 的函数解析式
为 ，
.
整理得，解得 .
.
1.如图1是公园里一座抛物线形拱桥,按如图2所示建立平面直角坐标系,在正
常水位时水面宽 米,当水位上升5米时,水面宽 米,则该抛物
线对应的函数解析式为( )
B
A. B. C. D.
2.（2024·天津）从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度（单位： ）与
小球的运动时间（单位：）之间的关系式是 .有
下列结论：①小球从抛出到落地需要;②小球运动中的高度可以是 ;
③小球运动时的高度小于运动 时的高度.其中,正确结论的个数是
( )
C
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3.某商店销售一批头盔,售价为每顶80元,每月可售出200顶.在“创建文明城市”
期间,计划将头盔降价销售,经调查发现：每降价1元,每月可多售出20顶.已知
头盔的进价为每顶50元,则该商店每月获得最大利润时,每顶头盔的售价为
( )
D
A. 50元 B. 90元 C. 80元 D. 70元
4.（2024·陕西）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索 与
缆索均呈抛物线形,桥塔与桥塔均垂直于桥面,如图,以 为原点，直
线为轴,桥塔所在直线为 轴,建立平面直角坐标系.
已知缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于轴对称,桥塔与桥塔
之间的距离,,缆索的最低点到 的距离
.（桥塔的粗细忽略不计）
（1）求缆索 所在抛物线的函数解析式;
解：， ．
又，缆索的最低点到的距离 ，
缆索所在抛物线的顶点的坐标为 ．
故可设缆索所在抛物线的函数解析式为
将代入，得， ,
缆索 所在抛物线的函数解析式为
（2）点在缆索上,,且,,求 的长.
解： 缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于轴对称，又缆索 所
在抛物线的函数解析式为 ，
缆索所在抛物线的函数解析式为
, 把代入，得 ，
或 ．
又， .
5.（2024·贵州）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售,经市场调
查发现：销售单价不低于进价时,日销售量（盒）与销售单价 （元）是一
次函数关系,下表是与 的几组对应值.
销售单价 元 … 12 14 16 18 20 …
日销售量 盒 … 56 52 48 44 40 …
（1）求与 的函数解析式.
解：设 ．
由题意，可得解得
.
（2）当销售单价定为多少元时,所获日销售利润最大 最大利润是多少？
解： 设日销售利润为 元．
由题意及（1），可得
．
， 当时， 取最大值450.
答：当销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元.
（3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为 元的礼品,
赠送礼品后,为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元,求 的值.
解：由题意，得
最大利润为392元， ,
整理，得,解得， ．
当时， ，
每盒糖果的利润为 （元），故舍去．
当 时,经验证符合题意．
答： 的值为2.
6.高尔夫球运动是一项具有特殊魅力的运动.如图是小美在某高尔夫俱乐部
中的一次击球.
已知：小美击球点到坡脚的距离米，，洞口 距
离坡脚的距离米，小美从点打出一球向球洞 点飞去，球的
路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度8米时，球移动的
水平距离为20米.
图1
图2
（1）如图1，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式;
解： 当球达到最大高度8米时，球移动的水平距离为20米，
抛物线的顶点坐标为 .
则设抛物线的解析式为 ，
将代入，得，解得 ，
则抛物线的解析式为 .
图1
（2）判断小美这一杆能否把高尔夫球从点直接打入球洞 点，请说明理由;
解： 能.理由如下：
， 设， ，
，
， ，
米，米， 米，
点的坐标为 .
当时， ，
故小美这一杆能把高尔夫球从点直接打入球洞 点.
（3）如图2，小美打完第一杆后，再次挥出第二杆，此时球的飞行路线为
，求此次挥杆中小球离斜坡的最大竖直高度 .
解： 由已知可得点的坐标为，点的坐标
为 ，
设过点，的直线的解析式为 ，
则解得 则过点，的直线的解析式为 ，
则 .
答：此次挥杆中小球离斜坡的最大竖直高度 为10米.
图2(共31张PPT)
第一部分 回顾教材篇
第三章 函 数
第12课时 二次函数的图象及性质
要点夯基础
精讲过考点
精练通方法
课时分层强化练
知识要点
1.二次函数的概念
形如,,是常数, 的函数,叫做二次函数.
回归教材
1.若是以为自变量的二次函数,则 ______.
--
知识要点
2.二次函数,,是常数, 的图象及性质
的符号
图象 （示意 图）
开口方向 向上 向下
的符号
顶点坐标 （1）直接运用顶点坐标公式（_ ______,_ _______）求解. （2）运用配方法将一般式转化为顶点式 ， 则顶点坐标为 . （3）将（为对称轴与 轴交点的横坐标）代入函数 解析式求得对应的 .
--
--
续表
的符号
对称轴 （1）直接运用公式 _ ______求解. （2）配方法：将一般式化为顶点式 ，则对 称轴为直线 . 注：还可利用（其中, 为关于对称轴对称的两点 的横坐标）求解
--
续表
的符号
增减性 当时,随 的增大 而减小;当时,随 的增大而增大 当时,随 的增大而增大;
当时,随 的增大而减小
最值 当时， _ _______
--
续表
回归教材
2.（1）已知二次函数 ,下列说法正确的是( )
C
A. 对称轴为直线 B. 顶点坐标为
C. 函数的最大值是 D. 函数的最小值是
（2）已知抛物线 .
①该抛物线的开口向_____,对称轴为______________,顶点坐标为
___________;
②当________时,随 的增大而增大;
③当______时, 有最小值______;
④若点,在抛物线上,则_____.（填“ ”“ ”或“ ”）
-上-
-直线-
--
--
--
--
--
知识要点
3.二次函数图象与系数，， 的关系
的正负决定开口方向 开口向_____
开口向_____
, 决定对称轴的位置 对称轴为____轴
, 同号 对称轴在 轴_____侧
, 异号 对称轴在 轴_____侧
-上-
-下-
--
-左-
-右-
决定与 轴的交点位 置 抛物线过原点
_____0 抛物线与 轴交于正半轴
抛物线与 轴交于_____半轴
决定与 轴交 点个数 与 轴有唯一的交点（顶点）
与 轴有____个交点
与 轴没有交点
--
-负-
-2-
续表
回归教材
3.已知二次函数 的图象如图所示,对称轴为直线
,与轴的一个交点为 ,请完成下列各题.
（1）若点的坐标为,则点 在第_____象限;
-二-
（2）_____0,_____0, _____0;
--
--
--
（3） _____0;
--
（4）_____0,_____ ;
--
--
（5）_____0, _____0;
（6） _____0.
--
--
--
考点1 二次函数的图象及性质（5年3考）
1.（2024·广东）若点,,都在二次函数 的图象上,
则( )
A
A. B. C. D.
2.（2024·贵州）如图，二次函数 的部分
图象与轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为 ，
则下列说法正确的是( )
D
A. 二次函数图象的对称轴是直线
B. 二次函数图象与 轴的另一个交点的横坐标是2
C. 当时，随 的增大而减小
D. 二次函数图象与 轴的交点的纵坐标是3
3.（2024·乐山）已知二次函数,当 时,
函数取得最大值;当时,函数取得最小值,则 的取值范围是( )
C
A. B. C. D.
考点2 二次函数的图象与系数的关系（5年1考）
4.二次函数与一次函数 在同一平面直角坐标
系中的图象可能是( )
A
A. B. C. D.
第5题图
5.（2023·广东）如图，抛物线 经过正
方形的三个顶点，，，点在 轴上，则
的值为( )
B
A. B. C. D.
第6题图
6.如图，抛物线 的对称轴
是直线，下列结论： ;
; ;
.其中正确的有( )
B
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
1.抛物线 的顶点坐标是( )
D
A. B. C. D.
2.（2024·陕西）关于的二次函数 的图象
可能是( )
C
A. B. C. D.
3.（2023·大连）已知抛物线,则当 时,函数的最大
值为( )
D
A. B. C. 0 D. 2
4.已知二次函数的图象上有三点, ,
,则,, 的大小关系是( )
D
A. B. C. D.
5.（2025·安徽）已知二次函数
的图象如图所示，则
( )
C
A. B.
C. D.
6.（2024·湖北）抛物线的顶点坐标为 ,抛物线与
轴的交点位于 轴上方，以下结论正确的是( )
C
A. B.
C. D.
7.（2025·达州）如图，抛物线
与轴交于点 、点
，下列结论：; ;
; .其中正确结论的个
数为( )
D
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
1.下列二次函数中图象开口向上的是( )
A
A. B.
C. D.
2.（2023·沈阳）二次函数 图象的顶点所在的象限是
( )
B
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知抛物线过点和 ,则该抛物线的对称轴为直线( )
A
A. B. C. D.
4.已知二次函数,,为常数,的图象如图所示,则 ,
, 的值可能是( )
A
A. ,, B. ,,
C. ,, D. ,,
5.已知二次函数 ，下列说法正确的是( )
C
A. 对称轴为直线 B. 顶点坐标为
C. 函数的最大值是 D. 函数的最小值是
6.已知二次函数的图象过点， ，若始终
存在，则 的取值范围是( )
B
A. B. 或
C. 或 D.
7.（2025·福建）已知点，在抛物线 上，
若 ，则下列判断正确的是( )
A
A. B. C. D.
8.已知二次函数,当时,有最大值,最小值 ,则
的值为( )
A
A. 13 B. 5 C. 11 D. 14
第9题图
9.（2024·广州）函数与 的图象如
图所示,当( )时,,均随着 的增大而减小( )
D
A. B.
C. D.
第10题图
10.如图,二次函数的部分图象与 轴交于
点,对称轴是直线 ,下列说法正确的是( )
C
A.
B.
C.
D. 方程 有两个根
11.（2024·辽宁）如图,在平面直角坐标系中,抛物线与 轴
相交于点,,点的坐标为,若点在抛物线上,则 的长为____.
-4-
第11题图
12.已知二次函数的解析式为 .
（1）直接写出该函数图象的对称轴和顶点坐标;
解:对称轴：直线，顶点坐标： .
（2）求该函数图象与 轴的交点坐标;
解： 令，解得或 ,
即二次函数图象与轴的交点坐标为， .
（3）若点,,都在该函数图象上,试比较与 的大小.
解： .
13.（2024·泸州）已知二次函数（ 是自变量）
的图象经过第一、二、四象限,则实数 的取值范围为( )
A
A. B. C. D.
14.已知二次函数,当时,函数值 的最小值为1,则
的值为( )
A
A. B.
C. 或 D.(共46张PPT)
第一部分 回顾教材篇
第三章 函 数
第11课时 反比例函数
要点夯基础
精讲过考点
精练通方法
课时分层强化练
知识要点
1.反比例函数的概念
一般地,形如为常数, 的函数,叫做反比例函数.
回归教材
1.下列函数中,是 的反比例函数的是_________.（填序号）
;;; .
-②③④-
知识要点
2.反比例函数的图象和性质
（1）图象特征：反比例函数的图象是双曲线,它关于原点成中心对称,两个
分支在第一、三象限或第二、四象限.
（2）图象和性质列表如下：
解析式
图象 （示意图）
性质 图象在第_________象限 图象在第_________象限
在每个象限内，函数值随 的增大而_______ 在每个象限内，函数值随
的增大而_______
-一、三-
-二、四-
-减小-
-增大-
回归教材
2.（1）关于反比例函数 ,下列结论正确的是( )
C
A. 图象位于第二、四象限
B. 图象与坐标轴有公共点
C. 图象所在每一个象限内,随 的增大而减小
D. 若图象经过点,则
（2）若反比例函数的图象经过点,,则与 的大小关系
是__________.
--
知识要点
3.待定系数法求反比例函数的解析式
（1）设反比例函数的解析式为 .
（2）代入图象上任一点的坐标求系数 .
（3）回代,写出反比例函数的解析式.
回归教材
3.若是反比例函数 的图象上的一点,则反比例函数的解
析式为_ _______.
--
知识要点
4.反比例函数比例系数 的几何意义
如图,在反比例函数的图象上任取一点 ,过这一点分别作
轴、轴的垂线,,垂足分别为,,则 ______.
--
回归教材
4.如图,是反比例函数的图象上的一点,过点作轴,垂足为
为轴上的一点,连接,.若的面积为4,则 的值是______.
--
考点1 反比例函数的图象和性质（5年1考）
1.（多角度设问）已知反比例函数的图象经过点 .
（1）该反比例函数的系数 ____.
（2）该反比例函数的图象在第_________象限.
（3）若图象经过点,则 _ ___.
-3-
-一、三-
--
（4）当时,的取值范围是_ ____________;当时, 的取值范围
是________________.
（5）若点,,在该反比例函数的图象上,则, ,
的大小关系是_______________.（用“ ”号连接）
--
-或-
--
2.已知,则函数和 的图象大致是( )
A
A. B.
C. D.
考点2 反比例函数系数 的几何意义
3.（2024·齐齐哈尔）如图,反比例函数 的图象经过平行
四边形的顶点,在 轴上,若点,,则实数
的值为______.
--
4.如图,在平面直角坐标系中,的边在轴上,边与 轴交于
点,且,反比例函数的图象经过点,若 ,
则 _______.
--
考点3 反比例函数的应用（5年1考）
5. （2023·广东）某蓄电池的电压为 ,使用此蓄电池时,
电流与电阻的函数解析式为.当 时, 的值为____A.
-4-
6.（2024·山西）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置,
其最快移动速度是载重后总质量 的反比例函数.已知一款机器
狗载重后总质量时,它的最快移动速度 ;当其载重后总
质量时,它的最快移动速度____ .
-4-
考点4 反比例函数与一次函数、几何图形的综合应用（5年3考）
7.（2021·广东）在平面直角坐标系中,一次函数 的
图象与轴、轴分别交于，两点,且与反比例函数 图象的一个交点
为 .
（1）求 的值;
解:为反比例函数 图象上的一点，
.
（2）若,求 的值.
解： 令，即，则， .
令，则， .
， 由图象可分为以下两种情况：
①当点在轴正半轴上时， ，
如图，过点作轴于点 .
， ，
，
，
，
，，， .
②当点在轴负半轴上时，，如图，过点 作
轴于点 .
，， ，
，
， ，
，
， .
综上，或 ．
8.（2024·南充）如图,直线经过, 两点,与双曲
线交于点 .
（1）求直线和双曲线的解析式;
解: 点，在直线 上，
解得
直线的解析式为 .
点在直线上，
，，即点 .
双曲线过点， ，
双曲线的解析式为 .
（2）过点作轴于点,点在轴上,若以,, 为顶点的三角形与
相似,直接写出点 的坐标.
解： 轴，，， .
， .
， .
若以，，为顶点的三角形与相似，则或 .
点在 轴上，
点的坐标为或或或 ．
1.若点在反比例函数的图象上,则下列哪个点也在函数 的图
象上( )
A
A. B. C. D.
2.（2025·天津）若点，， 都在反比例函数
的图象上，则，， 的大小关系是( )
D
A. B. C. D.
3.（2025·湖南）对于反比例函数 ，下列结论正确的是( )
D
A. 点 在该函数的图象上
B. 该函数的图象分别位于第二、四象限
C. 当时，随 的增大而增大
D. 当时，随 的增大而减小
4.（2024·威海）如图,在平面直角坐标系中,直线
与双曲线 交于点
,，则满足的 的取值范围
是____________________.
-或-
5.（2025·连云港）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件
下，气球内气体的压强是气球体积 的反比例函数.当
时，，则当时，_________ .
-16 000-
6.如图,是平面直角坐标系的原点，平行四边形的顶点 在反比例函
数的图象上.若点,点,则 的值为______.
--
7.（2024·深圳）如图,在平面直角坐标系中,四边形
为菱形,,且点 落在反比例函数
的图象上,点落在反比例函数 的图
象上,则 ____.
-8-
8.如图,一次函数与反比例函数的图象相交于点 ,
.
（1）求一次函数及反比例函数的解析式;
解:将点的坐标代入反比例函数的解析式得 ，
则反比例函数的解析式为，则点 .
将点,的坐标代入一次函数的解析式得 解得
则一次函数的解析式为 .
（2）请直接写出关于的不等式 的解集;
解： 观察函数图象知，不等式的解集为或 .
（3）是轴负半轴上一动点,连接，,当的面积为12时,求点
的坐标.
解： 如图，设直线交轴于点，设点 .
由直线的解析式知，点 ，
解得 ，
即点的坐标为 ．
则 ，
1.（2024·重庆）已知点在反比例函数的图象上,则 的
值为( )
C
A. B. 3 C. D. 6
2.在同一平面直角坐标系中,函数与 的图象可能是
( )
A
A. B.
C. D.
3.（2024·天津）若点,,都在反比例函数 的
图象上,则,, 的大小关系是( )
B
A. B. C. D.
4.对于反比例函数 ,下列结论不正确的是( )
B
A. 图象必经过点 B. 随 的增大而增大
C. 图象在第二、四象限内 D. 图象关于坐标原点中心对称
5.（2024·苏州）如图, 为反比例函数
图象上的一点,连接,过点 作
的垂线与反比例函数 的图象交
于点,则 的值为( )
A
A. B. C. D.
6.（2024·武汉）某反比例函数具有下列性质：当时,随 的增
大而减小.写出一个满足条件的 的值是__________________.
7.（2024·陕西）已知点和点均在反比例函数 的
图象上.若,则_____0.（填“ ”“ ”或“ ”）
-2（答案不唯一）-
--
8. （2024·连云港）杠杆平衡时,“阻力×阻力臂 动力×动
力臂”.已知阻力和阻力臂分别为和,动力为 ,动力臂为
，则动力关于动力臂 的函数解析式为_ _________.
--
9.如图,在平面直角坐标系中,一次函数 与反比
例函数的图象相交于点和点 ,则关于
的不等式 的解集是____________________.
-或-
10.如图，在平面直角坐标系 中，点，
分别在函数 和的图
象上，若轴， 是轴上一点，
的面积为10，则 的值为_______.
--
11.（2024·达州）如图,一次函数,为常数, 的图象与反
比例函数为常数,的图象交于点, .
（1）求反比例函数和一次函数的解析式;
解：将点，的坐标代入反比例函数的解析式，
得 ，解得， ，
即反比例函数的解析式为，点 .
将点，的坐标代入一次函数的解析式，得解得
则一次函数的解析式为 .
（2）若是轴正半轴上的一点,且 ,求点 的坐标.
解： 设点， ，
由点，，的坐标得， ，
.
， ，
即 ，
解得或（舍去）， 点 ．
12.（2025·苏州）如图，一次函数的图象与轴、 轴分别交于
，两点，与反比例函数的图象交于点，过点作
轴的平行线与反比例函数的图象交于点，连接 .
（1）求， 两点的坐标;
解：在中，令，得，
解得 .
点的坐标为 .
在中，令，得 ，
点的坐标为 .
（2）若是以为底边的等腰三角形，求 的值.
解： 如图,过点作，垂足为 .
是以为底边的等腰三角形， .
， .
在中，令，得 ，
， .
在中，令，得， .
点在一次函数 的图象上，
，解得 ，
的值为16.
13.（2024·绥化）如图,已知点,, ,在平行四边形
中,它的对角线与反比例函数的图象相交于点 ,且
,则 _______.
--
14.（2025·威海）如图，点在反比例函数的图象上，点 在反比例
函数的图象上，连接，，．若，则
_ ____.
--
15.如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在 轴和
轴的正半轴上，点的坐标为，反比例函数 的图象与
交于点，与交于点， .
（1）求反比例函数的解析式;
解： 四边形是矩形， .
点的坐标为，， .
，， .
点在 的图象上，
，
反比例函数的解析式为 .
（2）如图2，连接，，求证： ;
证明： 点在双曲线上，， ，
， .
，，即 .
， .
（3）如图3，点在轴上，连接，以点为旋转中心将线段 逆时针
旋转 得，若点恰好落在反比例函数的图象上，求点 的坐标.
解：如图，过点作于点，过点
作点于点，设 ，
.
将线段逆时针旋转 得 ，
， ，
，
， ，
，， .
点在反比例函数 的图象上，
，解得 .
.

展开更多......

收起↑