资源简介

(共14张PPT)
第一部分 回顾教材篇
第四章 三角形
微专题 手拉手全等、相似模型
一阶 模型训练
二阶 综合训练
一阶 模型训练
例 【问题呈现】
（1）如图，和都是等边三角形，连接， .求证：
.
证明：和 都是等边三角形.
,, .
，即 .
在和中，
.
【类比探究】
（2）如图，和 都是等腰直角三角形， ，
连接，.求 的值.
解：和都是等腰直角三角形，
,
, .
，即 .
.
【拓展提升】
（3）如图，和 都是直角三角形， ，
且 ，连接，.求 的值.
解：， .
又 ， .
， .
，即 .
.
模型总结
在中，，若将绕点旋转，连接， ，则
.
注：若，则 .
二阶 综合训练
1.问题背景：
（1）如图1，已知 .求证： .
证明： ,
, .
， ,
即, .
尝试应用：
（2）如图2，在和 中， ，
,与相交于点 ，点在边上.若，求 的值.
解：如图，连接 .
, ,
,即 .
， ,
即 .
.
， .
在中， ,
， .
， .
.
2.在正方形中，为对角线，点在上运动，以 为边作正方形
，连接 .#1
【初步探究】#2
（1）如图1，当点在线段上运动时，与 之间的数量关系是
___________，位置关系是___________，,, 之间的数量关系
是___________________;
--
--
--
【探究发现】
（2）如图2，当点在线段的延长线上运动时，试探究线段，,
之间的数量关系，并说明理由;
解： .理由如下：
四边形， 都是正方形，
,, .
,
即 .
在和中，
.
, ,
.
又,, .
【拓展延伸】
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，若,,则 的
长为____.
-3-
解析： 由（2）知 ,
.
. .
.
.(共34张PPT)
第一部分 回顾教材篇
第四章 三角形
第15课时 线、角、相交线与平行线
要点夯基础
精讲过考点
精练通方法
课时分层强化练
知识要点
1.线段与直线
（1）直线的基本事实：两点确定一条直线.
（2）线段的基本事实：两点之间,线段最短.
（3）线段的中点:如图,点把线段分成相等的两条线段与,点 叫做
线段的中点,即有 _ ______.
（4）两点间的距离:连接两点之间线段的长度.
--
回归教材
1.（1）如图,从学校到书店 有四条路线,其
中最短的路线是( )
B
A. ① B. ② C. ③ D. ④
（2）如图,,为线段上两点,,,为线段 的中
点,则线段____ .
-4-
知识要点
2.角的相关概念和性质
角的换算 ，
互为余角 定义 如果两个角的和是______，那么称这两个角互 为余角
性质 同角(等角)的余角相等
互为补角 定义 如果两个角的和是_______，那么称这两个角互 为补角
性质 同角(等角)的补角相等
--
--
回归教材
2.（1）若 ,则的余角______,的补角 _______.
（2）已知, ,则_____.（填“ ”“ ”或“ ”）
--
--
--
知识要点
3.角平分线
（1）定义：一般地,从一个角的顶点出发,把这个角分成两个相等的角的射
线,叫做这个角的平分线.
（2）性质：角平分线上的点到角两边的距离_______.
（3）逆定理：在角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上.
-相等-
回归教材
3.如图,点在直线上,是的平分线,若 ,则 的
度数为______.
--
知识要点
4.相交线
（1）对顶角性质：对顶角相等.
（2）垂线性质：在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,_________最短.
（3）点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段的长度.
-垂线段-
回归教材
4.如图, ,于点,点,,在一条直线上,则 ______.
--
知识要点
5.线段垂直平分线
（1）定义：经过线段的中点且与线段垂直的直线,叫做线段的垂直平分线.
（2）性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离_______.
（3）逆定理:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
-相等-
回归教材
5.如图,是线段的垂直平分线.若,,则 的周长为_____.
-10-
知识要点
6.平行线
（1）公理（基本事实）:过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
（2）推论（基本事实）:如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直
线也平行.
（3）判定与性质：
-相等-
-相等-
-互补-
回归教材
6.如图,已知 ,则 的度数是
( )
B
A. B. C. D.
考点1 角的相关概念及计算
1.（2025·贵州）下列图中能说明 一定成立的是( )
A
A. B. C. D.
2.（多角度设问）如图,已知直线与相交于点,, .
（1）的余角_________,的补角 __________;
（2） 的度数是__________;
（3）若平分,则 的度数为_________.
--
--
--
--
考点2 平行线的判定与性质（5年2考）
3.（2023·广东）如图,街道与平行,拐角 ,则拐角
( )
D
A. B. C. D.
4.（2022·广东）如图,直线, ,则 ( )
B
A. B. C. D.
5.（2025·苏州）如图，在， 两地间修一条笔直的公
路，在地测得公路的走向为北偏东 .若， 两地同
时开工，要使公路准确接通，则 的度数应为( )
C
A. B. C. D.
6.（2025·甘肃）如图1，三根木条，，相交成 ，
，固定木条，，将木条绕点 顺时针转动至如图2所示，使
木条与木条平行，则可将木条 旋转( )
A
A. B. C. D.
考点3 角平分线与线段垂直平分线
7.（2024·青海）如图,平分,点在 上,,,则点
到 的距离是( )
C
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
8.（2025·连云港）如图，在中，， 的垂直平分线分别交
，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，则
的周长为( )
C
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
1.（2025·广安）若 ，则 的余角为( )
B
A. B. C. D.
第2题图
2.两条直线被第三条直线所截,形成了常说的“三线八
角”.为了便于记忆,同学们可用双手表示“三线八角”
（两大拇指代表被截直线,两只食指在同一直线上代表
截线）,如图,它们构成的一对角可以看成( )
A
A. 同位角 B. 同旁内角 C. 内错角 D. 对顶角
3.（2024·北京）如图,直线和相交于点 ,
.若 ,则 的大小为( )
B
A. B. C. D.
4.（2025·烟台）如图是一款儿童小推车的示意图，
若， ， ，则 的度数
为( )
A
A. B. C. D.
5.如图，，分别平分，，且于点， 的周
长为,,则的面积为_____ .
-36-
6. （2024·山西）一只杯子静止在斜面
上,其受力分析如图所示,重力 的方向竖直向下,支持力
的方向与斜面垂直,摩擦力 的方向与斜面平行.若斜
面的坡角 ,则摩擦力与重力方向的夹角 的
度数为( )
C
A. B. C. D.
7.如图，在中，垂直平分，交于点，交于点 ，
于点，且.若，，则 的周长为_____.
-32-
1.（2024·兰州）若 ,则 的补角是( )
A
A. B. C. D.
2.（2024·广西）如图,2时整,钟表的时针和分针所成的锐角
为( )
C
A. B. C. D.
3.如图，，，，，则点 到直线 的距离
可能是( )
C
A. B. C. D.
4.（2025·陕西）如图，点在直线上，平分.若 ，
则 的度数为( )
A
A. B. C. D.
5. （2024·南充）如图,两个平面
镜平行放置,光线经过平面镜反射时,
,则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
6.（2024·凉山）一副直角三角尺按如图所示的方式
摆放,点在的延长线上,当时, 的度
数为( )
B
A. B. C. D.
7.（2024·连云港）如图,直线,直线, ,则_____ .
-30-
8.（2024·凉山）如图,在中, ,
垂直平分交于点,连接.若 的周长为
,则 ( )
C
A. B. C. D.
9.如图,一束光线从点出发,经过平面镜反射后,沿着与平行的射线
射出,此时.若 ,则_____ .
-55-
10.（2024·湖南）如图,在锐角三角形中, 是边
上的高,在,上分别截取线段, ,使
;分别以点,为圆心,大于 的长为半径画
弧,两弧交于点,作射线,交于点,过点 作
于点.若,,则 ____.
-6-(共27张PPT)
第一部分 回顾教材篇
第四章 三角形
第16课时 三角形及其性质
要点夯基础
精讲过考点
精练通方法
课时分层强化练
知识要点
1.三角形的边角关系
（1）三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第
三边.
（2）内角和：三角形的内角和等于 ,外角和等于 .
（3）内外角：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和.
（4）三角形具有稳定性.
回归教材
1.下列长度的三条线段能组成三角形的是( )
D
A. 2,3,6 B. 4,4,8 C. 4,7,11 D. 5,8,12
2.如图,已知 , ,点，，在一条直线上,则
_________, ______.
--
--
知识要点
2.三角形的主要线段
（1）如图,,则是 的角平分线.
（2）如图,,则是 的中线.
（3）如图,,则是的边 上的高.
（4）三角形的中位线：
①定义：连接三角形两边中点的线段.
②性质：三角形的中位线平行于第三边,且等于第
三边的一半.
回归教材
3.（1）如图1，若是的中线，，， 的周长
为8，则 的周长为____.
-9-
图1
（2）如图2，过点作，交于点，若平分， ,
，则 ____.
-1-
图2
知识要点
3.三角形的四心
（1）内心（内切圆的圆心）：三角形三条角平分线的交点.
（2）外心（外接圆的圆心）：三角形三边垂直平分线的交点.
（3）重心：三角形三条中线的交点.
（4）垂心：三角形三条高所在直线的交点.
回归教材
4.如图，在中， ， ，点是 的
内心，则 的大小是_______.
--
考点1 三角形的三边关系（5年1考）
1.（2023·盐城）下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位： ）,其
中能搭成一个三角形的是( )
D
A. 5，7，12 B. 7，7，15 C. 6，9，16 D. 6，8，12
2.（2023·福建）若某三角形的三边长分别为3,4,,则 的值可以是( )
B
A. 1 B. 5 C. 7 D. 9
3.（2022·广东）下列图形中具有稳定性的是( )
A
A. 三角形 B. 平行四边形 C. 长方形 D. 正方形
考点2 三角形的内外角的关系（5年1考）
4.（2024·广东）如图,一把直尺、两个含 角的三角尺拼接在一起,则
的度数为( )
C
A. B. C. D.
5.（2024·资阳）如图,,过点作于点.若 ,则
的度数为( )
B
A. B. C. D.
6.如图，一副三角尺叠放在一起,则图中 的度数是_______.
--
考点3 三角形的主要线段（5年2考）
7.（2022·广东）如图,在中,,, 分别为,的中点,
则 ( )
D
A. B. C. 1 D. 2
8.（2024·凉山）如图,在中, , ,是边
上的高,是的平分线,则 的度数是_______.
--
9.（2024·浙江）如图,,分别是的边,的中点,连接, .若
,,则 的长为____.
-4-
1.下列各组数不可能是一个三角形的边长的是( )
C
A. 5,12,13 B. 5,7,7 C. 5,7,12 D. 101,102,103
2.如图,某数学小组为测量池塘两侧, 两点之间的距
离,在空地上另取一点,并找到,的中点, ,通
过测量得,则 ( )
D
A. B. C. D.
3.如图,在中,,分别是 边上的中线和高,
若,,则线段 的长为 ( )
B
A. 5 B. 6 C. 8 D. 10
4.如图,, , ,则 的度数为
( )
C
A. B. C. D.
5.已知的周长为16,,,分别为三条边的中点,则 的周
长为( )
A
A. 8 B. C. 16 D. 4
6.（2024·绥化）如图,已知 ,为 内部一点,，分别为
射线、射线 上的两个动点,当的周长最小时,则 ______.
--
7.（2024·达州）如图,在中,, 分别是内角、外角
的三等分线,且,,在 中,,
分别是内角、外角 的三等分线,且,
, , 以此规律作下去.若 ，则_____ .
--
1.为了使自行车稳定停放,停放时常常放下它的脚架,这里所运用的几何原理
是( )
B
A. 两点之间,线段最短 B. 三角形具有稳定性
C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短
2.（2025·连云港）下列长度（单位： ）的3根小木棒能搭成三角形的是
( )
B
A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，5，8 D. 4，5，10
3.（2025·南充）如图，把含有 角的
直角三角尺的斜边放在直线上，则
的度数是( )
D
A. B. C. D.
4.（2024·长沙）如图,在中, ,
,,则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
5.如图,在中,,,是 的
中位线,的平分线交于点,则线段 的长
为( )
C
A. 2 B. 1.5 C. 1 D. 0.5
6.（2023·杭州）如图,点,分别在 的边
,上,且,点在线段 的延长线上.若
, ,则 ______.
--
7.如图,在中,是中线的中点.若 的面积是1,则 的
面积是____.
-2-
8.（2023·扬州）在中, ,,若 是锐角三角形,
则满足条件的 的长可以是( )
C
A. 1 B. 2 C. 6 D. 8
9.（2024·宜宾）如图,在中, , ,
以为边作,,点与点 在的两
侧,则 的最大值为( )
D
A. B.
C. 5 D. 8
10.如图,点为的重心,,,分别为,, 的中点,具有性质：
.已知的面积为3,则 的面积
为_____.
-18-(共32张PPT)
第一部分 回顾教材篇
第四章 三角形
第20课时 锐角三角函数
要点夯基础
精讲过考点
精练通方法
课时分层强化练
知识要点
1.锐角三角函数的概念
如图，在中， ,则
正弦： ,
余弦： ,
正切： .
回归教材
1.如图,在中, ,,,则_ ___,
____, _ ___.
--
--
--
知识要点
2.特殊角的三角函数值
1
回归教材
2.（1）计算： ____.
-0-
（2）已知为锐角且,则 ( )
C
A. B. C. D. 不能确定
知识要点
3.解直角三角形
（1）定义：在直角三角形中,由已知的一些边、角,求出另一些边、角的过
程,叫做解直角三角形.
（2）解直角三角形常用的边角关系:
三边关系
两锐角关系
边角关系 ,
回归教材
3.如图,在中, ,, .解这个直角三角形.
解:在中， ，， ，
.
， ，
．
考点1 锐角三角函数的有关计算
1.（2025·云南）如图，在中， .若 ，
，则 ( )
D
A. B. C. D.
【变式1.1】 在上题中，_ ____， _____.
--
--
2.如图,在边长为1的小正方形网格中,点,,, 都在这些小正方形的格点上,
,相交于点,则 _ ____.
--
考点2 特殊角的三角函数值（5年1考）
3.（2024·天津） 的值等于( )
A
A. 0 B. 1 C. D.
4.（2022·广东） _ ___.
5.在中,若,则 _______.
--
--
考点3 解直角三角形（5年2考）
6.（2024·临夏）如图,在中, ,
,则 的长是( )
B
A. 3 B. 6 C. 8 D. 9
7.如图,在中, ,于点,, ,则
______.
-6.5-
8.（2021·广东）如图,在中, ,作的垂直平分线交
于点,延长至点,使 .
（1）若,求 的周长;
解:如图，连接，设的垂直平分线交于点，则 ，
，
（2）若,求 的值.
解：设，则 .
又， .
在中， ，
．
1. 的值为( )
C
A. 1 B. 2 C. D.
2.在中, ,若,则 的值为( )
A
A. B. C. D.
3.在中， ，如果 ，，那么 等于
( )
D
A. B. C. D.
4.（2024·雅安）如图,把矩形纸片沿对角线折叠,使点落在点
处,与交于点,若,,则 的值是_____.
--
5.（2024·常州）如图,在矩形中,对角线 的垂直平分线分别交边
，于点，.若,,则 ____.
--
6.如图,在的网格中,每个小正方形的边长均为1.若 的顶点都在格
点上,则 的值为_ ______.
--
7.（2024·无锡）如图,在菱形中, ,是 的中点,则
的值为( )
C
A. B. C. D.
8.（2024·浙江）如图,在中，， 是边上的中线，
， .
（1）求 的长;
解:，， ，
.
， ，
.
（2）求 的值.
解： 是边上的中线， ，
.
， ，
．
1.（2025·天津） 的值等于( )
A
A. 0 B. 1 C. D.
2.如图,在中, ,设,, 所对的边分别为
,, ,则下列等式成立的是( )
B
A. B.
C. D.
3.如图，每个小正方形的边长均为1，若点，， 都在格
点上，则 的值为( )
D
A. 2 B. C. D.
4.如图,在菱形中,于点, ,
,则菱形 的周长是( )
C
A. 10 B. 20 C. 40 D. 28
5.如图,是周长为36的等腰三角形,, ,则 的
值为( )
C
A. B. C. D.
6.（2024·资阳）第14届国际数学教
育大会 会标如图1所示,会
标中心的图案来源于我国古代数学家
赵爽的“弦图”,如图2所示的“弦图”是
由四个全等的直角三角形
C
A. B. C. D.
和一个小正方形 拼成的大正方形
.若,则 ( )
7.在中,若 ,,,则 的值为_ ____.
8.已知 是锐角,,则 的值为_ ____.
9.如图,在矩形中,是边的中点,,垂足为,则 的值
为_ ____.
--
--
--
10.如图,在中,,, , ,为 边上
的中线.
（1）求 的长;
解：， ．
在中，， ，
．
（2）求 的面积.
解：为边上的中线， ．
又 ，
．
11.（2024·达州）如图,由8个全等的菱形组成的网
格中,每个小菱形的边长均为2, ,其中
点,,都在格点上,则 的值为( )
B
A. 2 B. C. D. 3
12.（2023·苏州）如图,是半圆的直径,点, 在半圆
上,,连接,,,过点作,交 的延
长线于点.设的面积为,的面积为 ,若
,则 的值为( )
A
A. B. C. D.
13.（2024·江西）将图1所示的七巧板,拼成图2所示的四边形 ,连接
,则 ____.
--(共38张PPT)
第一部分 回顾教材篇
第四章 三角形
第17课时 全等三角形
要点夯基础
精讲过考点
精练通方法
课时分层强化练
知识要点
1.全等三角形的定义及性质
（1）定义：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
【点拨】平移、翻折、旋转前后的三角形全等.
（2）全等三角形的性质：
①全等三角形的对应边相等,对应角相等.
②全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等.
③全等三角形的周长相等、面积相等.
回归教材
1.如图,沿直线向右平移,得到 .
（1） _________;
（2）若 ,,的面积是6,则______, ____,
边上的高是____.
--
--
-3-
-4-
知识要点
图1
2.全等三角形的判定
（1）三边分别相等的两个三角形全等 .
（如图1）
（2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 .（如图2）
图2
（3）两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 .（如图3）
图3
图4
（4）两角分别相等且其中一组等角
的对边相等的两个三角形全等 .
（如图4）
（5）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 .（如图5）
图5
回归教材
2.如图,点在上,点在上,, .
求证： .
证明：在和中，
， ．
3.如图,，， .求证： .
证明： ，
，
即 .
在和中，
， ．
知识要点
3.全等三角形的判定思路
（1）已知两边
（2）已知一边一角
（3）已知两角
回归教材
4.如图， ，下列条件中，添加后仍不能判定 的
是( )
C
A. B.
C. D.
考点 全等三角形的判定与性质（5年1考）
1.（2024·成都）如图，，若 ， ,
则 的度数为_______.
--
2.（2022·广东）如图，已知，点在 上，，
，垂足分别为， .求证： .
证明：， ，
.
， .
在和中，
．
3.（2024·南充）如图，在中，为 边的中点，过点作
交的延长线于点 .
（1）求证： ;
证明：为边的中点， .
，， .
在和中，
.
（2）若,求证： .
解： 为边的中点， ，
直线为线段的垂直平分线， .
由（1）可知 ，
， ．
1.如图，，相交于点，若 ， ，则
的度数是( )
C
A. B. C. D.
2.（2024·牡丹江）如图,在中,是上一点,,，， 三点
共线,请添加一个条件_________________________,使得 .
（只添一种情况即可）
-（答案不唯一）-
3.（2024·临夏）如图,在中,点的坐标为,点的坐标为 ,
点的坐标为,点在第一象限（不与点重合）,且与 全
等,则点 的坐标是________.
--
4.（2025·福建）如图，点，分别在， 的延长线上，
，.求证： .
证明： ，
.
， ，
.
在和中，
， .
5.（2025·内江）如图，点，，， 在同一条直线上，，
， .
（1）求证： ;
证明：， ，
在和中，
.
（2）若，，求 的长.
解：由（1）可知， ，
， .
，， ，
.
6.（2024·广州）如图,在中, ,
,为边的中点,点,分别在边 ,
上,,则四边形 的面积为( )
C
A. 18 B. C. 9 D.
1.如图,且 , ,则
的度数是( )
D
A. B. C. D.
2.如图,已知,点在线段上, , ,则
的度数为( )
C
A. B. C. D.
3.（2023·凉山）如图，点，在上，添加一个
条件，不能证明 的是( )
D
A. B.
C. D.
4.如图1是某款雨伞的实物图,图2是该雨伞部分骨架示意图.测得, ,
分别是,的三等分点,,那么 的依据是( )
B
A. B. C. D.
5.如图,,点和点是对应顶点,点
和点是对应顶点,过点作,垂足为 .若
,则 的度数为( )
A
A. B. C. D.
6.如图，在中，于点，是 上一点.若,
，，则 的周长为( )
C
A. B. C. D.
7.（2023·成都）如图,已知 ,点
,,,依次在同一条直线上.若, ,
则 的长为____.
-3-
8.如图,为了测量凹槽的宽度,把一个等腰直角三角尺
放置在凹槽内,三个顶点,, 分
别落在凹槽内壁上.若 ,测得
,,则该凹槽的宽度 的长为
_____ .
-48-
9.（2025·南充）如图，在五边形 中，，，
.
（1）求证： ；
证明： ，
，
即 .
在和中，
.
（2）求证： .
解： ， .
由（1）可知， ，
，
.
10.（2025·苏州）如图，是线段 的中点，， .
（1）求证： ;
证明：， .
是线段的中点， .
在和中，
.
（2）连接，若，求 的长.
解：， .
由（1）可知， .
又， 四边形 是平行四边形，
.
11.（2024·重庆改编）如图,在中，,延长至点 ,使
,过点作,且,连接交于点.若 ,则
____.
-3-
12.在中， ，，直线经过点 ，且
于点，于点 ．
图1
图2
（1）当直线绕点旋转到图1的位置时，求证： ;
.
证明： ， ，
．
在和中，
．
，， ,
．
（2）当直线绕点 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若
成立，请给出证明;若不成立，请说明理由．
解：成立， 不成立，此时应有
．
证明： ， ，
．
又， ，
,， ,
．(共54张PPT)
第一部分 回顾教材篇
第四章 三角形
第21课时 解直角三角形的应用
要点夯基础
精讲过考点
精练通方法
课时分层强化练
知识要点
1.仰角、俯角
如图,在视线与水平线所成的锐角中,视线在水平线上方的角叫做仰角,视线在
水平线下方的角叫做俯角.
回归教材
1.如图，一枚运载火箭从地面处发射，雷达站与发射点的距离为 ,
当火箭到达点时，雷达站测得仰角为 ，则这枚火箭此时的高度 为
__________ .
知识要点
2.方向角
一般指以观测者的位置为中心,将正北或正
南方向作为起始方向,从起始方向旋转到目
标的方向线所成的角（一般指锐角）,通常
表达成北（南）偏东（西）多少度.如图,点
位于北偏西 方向.
回归教材
2.如图,一条东西向的大道上,,两景点相距,景点位于 景点北偏东
方向上,位于景点北偏西 方向上,则,两景点相距________ .
--
知识要点
3.坡度、坡角
坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度（坡比）,用字母 表示;坡面与
水平面的夹角 叫做坡角. .
回归教材
3.如图,河坝横断面迎水坡的坡比为（坡比是坡面的铅直高度 与
水平宽度之比）,坝高,则坡面的长度是____ .
-6-
考点 解直角三角形的应用（5年3考）
角度1 仰角、俯角问题
1.（2025·天津）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑的高度
（如图1）.某学习小组设计了一个方案：如图2，点，， 依次在同一条水平直线上，
，，且.在 处测得世纪钟建筑顶部的仰角为 ，
在处测得世纪钟建筑顶部 的仰角为 ，.根据该学习小组测得的数据，
计算世纪钟建筑 的高度.（结果取整数，
参考数据：， ）#1
解：如图，延长与相交于点 . 根据题意可得四边形 和四边形
是矩形， ， ， ，
， .
在中，， .
在中，， .
， .
.
.
答：世纪钟建筑的高度约为 .
角度2 方向角问题
2.（2025·长沙）如图，某景区内两条互相垂直的道路，交于点，景
点，在道路 上，景点在道路 上.为了进一步提升景区品质，景区管
委会在道路上又开发了风景优美的景点 .经测得景点位于景点的北偏
东 方向上，位于景点的北偏东
方向上，景点 位于景点的南偏西
方向上.已知 .
（1）求 的度数;
解：如图，由题意知 ， ，
，， ，
， ，
.
（2）求景点与景点 之间的距离.（结果保留根号）
解： ，
.
由（1）得 ， .
又 ， .
在中，， ，
，
，
.
，， ，
.
答：景点与景点之间的距离为 .
角度3 坡度、坡角问题
3.（2023·湖北）为了防洪需要,某地决定新建一座拦水坝.如图,拦水坝的横
断面为梯形,斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度
的比.已知斜坡的长度为20米, ,求斜坡 的长.（结果精确到0.1
米,参考数据：,, ）
解:如图，过点作，垂足为 ，由题意得 ， .
斜面的坡度 ，, 设米，则 米.
在中， 米.
在中， ， 米，
（米），
米，，解得 ,
（米）.
答：斜坡 的长约为10.3米．
角度4 其他类问题
4.（2023·广东）2023年,神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功,3名航天
员顺利进驻中国空间站.如图展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态.当
两臂,两臂夹角 时,求, 两点间的距离.
（结果精确到,参考数据：, ,
）
解:如图，连接，取的中点，连接 .
，为 的中点，
中线为等腰三角形的角平分线，
，
.
在中，， ，
，
.
答：,两点间的距离大约是 ．
5.（2024·广东）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型做
出了巨大贡献.为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图
是矩形充电站的平面示意图，矩形 是其中一个停车位.经测量，
，，，， 是另一个车位
的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定.
根据以上信息解答下列问题：
（1）求 的长;
解： 四边形 是矩形， .
在中， ， ，
， .
四边形 是矩形，
， ，
， ，
.
，
，
.
（2）该充电站有20个停车位，求的长.（结果精确到 ，参考数
据： ）
解： 在中， .
在中， .
该充电站有20个停车位，
.
四边形是矩形， .
1.如图,一条河的两岸互相平行,为了测量河的宽度
（与河岸垂直）,测量得,两点间的距离为
米, ,则河宽 的长为( )
C
A. 米 B. 米
C. 米 D. 米
2.小亮在龙舟竞渡中心广场点 处观看400米直道竞速赛,如图,赛道为东
西方向,赛道起点位于点 的北偏西 方向上,终点位于点的北偏东
方向上,米,则点到赛道 的距离为（结果保留整数,参考
数据： ）( )
D
A. 米 B. 米 C. 87米 D. 173米
3.（2024·深圳）如图,为了测量某电子厂楼房的高度,
小明用高的测量仪测得顶端的仰角为 ,
小军在小明的前面处用高的测量仪 测得
顶端的仰角为 ,则电子厂楼房的高度为
参考数据：,,
( )
A
A. B. C. D.
4.（2024·眉山）如图,斜坡的坡度 ,在斜坡上有一棵垂直于水平
面的大树,当太阳光与水平面的夹角为 时,大树在斜坡上的影子 长
为10米,则大树 的高为________________米.
--
5.（2024·广州）嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）
成功着陆在月球背面.某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装
置,在一次试验中,如图,该模拟装置在缓速下降阶段从点垂直下降到 点,再
垂直下降到着陆点，从点测得地面点的俯角为 ，米，
米.
（1）求 的长;
解:如图，设过点的水平线与交于点 .
由题意，得， ，
.
在中， 米，
（米），
即 的长约为8米.
（2）若模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点,求模拟装置从 点
下降到点的时间.（参考数据：, ,
）
解： 在中， 米， ，
（米）.
在中，米， 米，
（米），
（米）.
模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到 点，
模拟装置从点下降到点的时间为 （秒），
即模拟装置从点下降到 点的时间约为4.5秒．
1.（2024·长春）2024年5月29日16时12分,“长春
净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成
功发射.如图2，当火箭上升到点时,位于海平面
处的雷达测得点到点的距离为千米,仰角为 ,
则此时火箭距海平面的高度 为( )
A
A. 千米 B. 千米
C. 千米 D. 千米
2.（2023·深圳）爬坡时若坡面与水平面夹角为 ,则每爬 耗能
.如图，若某人爬了,该坡角为 ,则他耗能
（参考数据：, ）( )
B
A. B. C. D.
3.如图,某货船以24海里/时的速度从处向正东方向的处航行,在 处测得某
小岛在北偏东 的方向.该货船航行30分钟后到达 处,此时测得该小岛
在北偏东 的方向上，则货船在航行中离小岛 的最短距离是( )
B
A. 12海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里
4.（2024·德阳）如图，某校学生开展综合实践活动,测量一建筑物 的
高度,在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房,小李同学在小楼房楼底
处测得 处的仰角为 ，在小楼房楼顶处测得处的仰角为 （，
在同一平面内,， 在同一水平线上）,则建筑物 的高为( )
B
A. 20米 B. 15米 C. 12米 D. 米
5.（2024·盐城）如图,小明用无人机测量教学楼的高度,将无人机垂直上升
至距地面的点 处,测得教学楼底端点的俯角为 ,再将无人机沿教
学楼方向水平飞行至点 处,测得教学楼顶端点的俯角为 ,则教
学楼 的高度约为_____.（结果精确到 ,参考数据：,
, ）
-17-
6.（2024·武汉）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点,享有
“天下江山第一楼”的美誉.在一次综合实践活动中,某数学
小组用无人机测量黄鹤楼 的高度，具体过程如下：如
图,将无人机垂直上升至距水平地面的 处,测得黄鹤
楼顶端的俯角为 ,底端的俯角为 ,则测得黄鹤楼
的高度约是_____.（参考数据： ）
-51-
7.（2024·大庆）如图, 是一座南北走向的大桥,一辆汽
车在笔直的公路上由北向南行驶,在处测得桥头 在南偏
东 方向上,继续行驶1 500米后到达处,测得桥头 在南
偏东 方向上,桥头在南偏东 方向上,求大桥 的
长度.（结果精确到1米,参考数据： ）
解：如图，分别过点和点作的垂线，垂足分别为， .
在中，， .
在中， ，
，
解得米， 米，
米.
在中， ，
米,
米，
（米）.
答：大桥 的长度约为548米．
8.（2025·安徽）某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼
的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛.如图，甲楼和乙楼分别
用与水平地面垂直的线段和表示，彩带用线段 表
示.工作人员在点处测得点的俯角为 ，测得点 的
仰角为 .已知，求 的长.（结果精确
到，参考数据： ，
，， ，
， ）
解：如图，过点作，垂足为 .
由题意得四边形 为矩形，
.
在中， ，
.
在中， ，
.
答：的长约为 .
9.（2024·广安）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义.某电力
部门在某地安装了一批风力发电机.如图1，某校实践活动小组对其中一架风力发电机的
塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图（点，，，均在同一平面内，）.
已知斜坡长为，斜坡 的坡角为 ，在斜坡顶部处测得风力发电机塔杆顶
端点的仰角为 ，坡底与塔杆底的距离，求该风力发电机塔杆 的高度.
（结果精确到整数，参考数据：,, ,
）
图1
图2
解：如图，过点作于点，作于点 .
由题意得， .
在中，， ，
，
.
，
四边形 为矩形，
， .
， .
在中， ，
.
.
答：该风力发电机塔杆的高度约为 ．
10.如图1，小亮同学将一辆自行车水平放在地面上,示意图如图2,车把头下
方处与坐垫下方处的连线平行于地面水平线, 处为齿盘的中轴,测得
, , .
图1
图2
（1）求 的长度.（结果保留整数）
解：如图，延长交于点 . 由题意得 .
在中，， ，
，
在中， ，
，
.
答：的长度约为 .
（2）若点到地面的距离为,坐垫中轴与点的距离为 .
根据小亮同学的身高比例,坐垫到地面的距离为至 之间时,骑
乘该自行车最舒适.请你通过计算判断出小亮同学骑乘该自行车是否能达到
最佳舒适度.（参考数据：,, ,
）
解： 小亮同学骑乘该自行车能达到最佳舒适度.
如图，过点作，垂足为 .
， .
在中， ，
点到地面的距离为， ，
坐垫 到地面的距离
根据小亮同学的身高比例，坐垫到地面的距离为至 之间时，
骑乘该自行车最舒适，
小亮同学骑乘该自行车能达到最佳舒适度．
11.某校数学实践活动小组要测量校园内一棵大树的高度，王华同学带领甲、
乙、丙三位小组成员进行此项实践活动，并做出下面的实践报告单.#1
课题 测量校园内一棵大树的高度
测量工具 测角仪、皮尺
测量图例
课题 测量校园内一棵大树的高度
测量方法 某一时刻，大树在太阳光下的影子末端落在地面上的点
处，甲同学在点处竖立一根标杆，同一时刻标杆 在太
阳光下的影子末端落在地面上的点处，丙同学站在点 处，
他的眼睛在点处，观察得知，树顶的仰角为 .
测量数据 标杆米，标杆的影长为2米， 米，
米，仰角 .
续表
课题 测量校园内一棵大树的高度
说明 点，，，在同一水平直线上，， ，
，图中所有的点都在同一平面内.（参考数据：
，， ）
续表
（1）请你根据所学知识用直尺和圆规在图中画出点 的位置;（不写画法，
保留作图痕迹）
解：如图，在的左侧作，交于点，则点 即为所求.
（2）根据报告单的测量数据，计算这棵大树的高度 .（结果精确到0.1米）
解： 如图，延长交于点 ，
则， 米.
由（1）知，， ，
，
，即 .
设米，则 米，
米， 米.
在中，，解得 ，
（米）.
答：这棵大树的高度 约为9.4米.(共35张PPT)
第一部分 回顾教材篇
第四章 三角形
第18课时 等腰三角形与直角三角形
要点夯基础
精讲过考点
精练通方法
课时分层强化练
知识要点
1.等腰三角形
（1）性质：①两腰相等;②两底角相等,即“等边对等角”;③“三线合一” :顶
角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合;④是轴对称图形,底边的垂
直平分线是它的对称轴.
（2）判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形;②有两个角相等的三
角形是等腰三角形,即“等角对等边”.
回归教材
1.如图,在等腰三角形中,,是边上的中点, .
（1）______, ______;
（2）若,则 ____.
--
--
-4-
2.在中, ,当_____________ 时, 是等腰三角形.
-20或50或80-
知识要点
2.等边三角形
（1）性质：
①三边都相等, 三个角都是 ;
②“三线合一”：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合;
③是轴对称图形,有3条对称轴.
（2）判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形;
②三个角都相等的三角形是等边三角形;
③有一个角是 的等腰三角形是等边三角形.
回归教材
3.如图,是等边三角形,是的中点,连接 .
第3题图
（1）_____ ,_____ ;
（2）若,则____, _______.
-60-
-30-
-3-
--
4.如图,已知,是射线上的一个动点, .当 ____
时, 为等边三角形.
-5-
知识要点
3.直角三角形
（1）性质：
①两锐角互余;
②斜边上的中线等于斜边的一半;
③ 角所对的直角边等于斜边的一半;
④如果直角三角形的两直角边和斜边分别是,,,那么
（勾股定理）.
（2）判定：
①有一个角等于 的三角形是直角三角形;
②有两个角互余的三角形是直角三角形;
③如果三角形的三边,,满足 ,那么这个三角形是直角三角形
（勾股定理的逆定理）.
（3）等腰直角三角形：两直角边相等或两锐角都是 .
（4）勾股数：能构成直角三角形三条边长的三个正整数.
回归教材
5.如图, ,于点,若 .
（1）_____ ,_____ ;
-60-
-30-
（2）若,则____, _______.
-1-
--
（3）若是的中点,连接,则 _ ______.
--
6.下列各组数据中，是勾股数的是( )
D
A. ,, B. 6，7，8 C. 1，2，3 D. 9，12，15
考点1 等腰、等边三角形的判定和性质
1.等腰三角形的周长是，其中一条边的长为 ，则等腰三角形的
腰长为( )
B
A. B. C. 或 D.
2.（2024·云南）已知是等腰三角形底边上的高,若点到直线
的距离为3,则点到直线 的距离为( )
C
A. B. 2 C. 3 D.
3.如图,点在等边三角形的边的延长线上,,连接 ,则
的长为_______.
--
4.如图,在中,,分别是，边上的点,, ,
与相交于点.求证： 是等腰三角形.
证明：， .
在和中，
，
， ，
， .
即 是等腰三角形．
考点2 直角三角形的判定与性质、勾股定理（5年1考）
5.（2024·陕西）如图,在中, ,
是边上的高,是的中点,连接 ,则图中的
直角三角形共有( )
C
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
6.（2025·安徽）如图，在 中， ，，边的中
点为 ，边上的点满足.若，则 的长是( )
B
A. B.6 C. D. 3
7.如图,在中,,,,分别是边,的中点, 是线段
上的一点,连接,.若 ,则线段 的长为____.
-2-
第7题图
1.（2024·青海）如图,在中,是 的中点, ,,
则 的长是( )
A
A. 3 B. 6 C. D.
2.（2024·泰安）如图,直线,等边三角形的两个顶点, 分别落在
直线,上,若 ,则 的度数是( )
B
A. B. C. D.
3.（2024·湖南）若等腰三角形的一个底角的度数为 ,则它的顶角的度
数为______ .
-100-
4.（2024·甘孜）如图,在中, ,, ,折叠
,使点与点重合,折痕与交于点,与交于点,则 的长为
____.
-3-
5.（2024·安徽）如图,在中, ,
点在的延长线上,且,则 的长是
( )
B
A. B.
C. D.
6. （2024·眉山）如图1是
北京国际数学家大会的会标的示意图,它
取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”,是
由四个全等的直角三角形拼成的.若图1中
大正方形的面积为24,小正方形的面积为4,
现将这四个直角三角形拼成图2,则图2中
大正方形的面积为( )
D
A. 24 B. 36 C. 40 D. 44
7.我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高
二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问
葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱
体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，
有葛藤自点处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点 处，
则问题中葛藤的最短长度是_____尺.
-25-
1.如图,在中, , ,则 的度数为
( )
C
A. B.
C. D.
2.若等腰三角形的两边长分别是和 ,则这个等腰三角形的周长为
( )
D
A. B.
C. 或 D. 或
3.如图,在中, ,是 边的中点,则下列结论一定成立
的是( )
C
A. B.
C. D.
4.（2024·兰州）如图,在中, ,
,,则 ( )
B
A. B. C. D.
5.（2024·贵州）如图,在中,以点 为圆心,线段
的长为半径画弧,交于点,连接.若 ,则
的长为____.
-5-
6.（2024·重庆）如图,在中, ,
,平分交于点.若,则 的
长度为____.
-2-
7.如图,在中, ,, ,
,是边的中点,则 _ ___.
--
8.如图,和 都是边长为2的等边三角形,点
，，在同一条直线上,连接,则 的长为
_______.
--
9.已知：如图,点在内部,连接,, .若,
，求证： .
证明：如图，延长交于点 .
， ，
， ，
， ．
10.如图,一根竹竿斜靠在竖直的墙上,是的中点,
表示竹竿沿墙上下滑动过程中的某个位置,则竹竿
( )
C
A. 下滑时,增大 B. 上升时, 减小
C. 无论怎样滑动,不变 D. 只要滑动, 就变化
11.（2024·自贡）如图,等边三角形钢架 的立柱
于点,.现将钢架立柱缩短成 ,
，则新钢架减少用钢( )
D
A. B.
C. D.
12. （2024·新疆）如图,在中, , ,
.若点在直线上（不与点,重合）,且 ,则 的长
为________.
-6或12-
13.（2024·达州）如图,在中, ,点在线段 上,且
.若,,则 的面积是_____.
--
14.（2024·江西）追本溯源
题（1）来自课本中的习题,请你完成解答,提炼方法并完成题（2）.
图1
（1）如图1,在中,平分,交于点,过点 作
的平行线,交于点,请判断 的形状,并说明理由.
解： 的形状是等腰三角形.理由如下：
平分， ．
，， ，
， 是等腰三角形．
方法应用
图2
（2）如图2,在中,平分,交边
于点,过点作交的延长线于点 ,交
于点 .
①图中一定是等腰三角形的有( )
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
B
解析： 共有4个等腰三角形,分别是，，， .
②已知,,求 的长.
解： 由（1）可知， ,
.
， ．
，， ，
.
， .
，， .
， ．(共17张PPT)
第一部分 回顾教材篇
第四章 三角形
微专题 一线三等角全等、相似模型
一阶 模型训练
二阶 综合训练
一阶 模型训练
例 【基础巩固】
（1）如图，在中， ，点在直线上，分别过点, 作
，，垂足分别为，.求证： .
证明： ,, .
.
.
.
又 , .
【尝试应用】
（2）如图，在中， ,是边上一点，过点作 的垂线
，交于点.若，，，求 的长.
解：如图1，过点作于点 .
.
.
.
又, .
又, ,
. .
,, .
.
【拓展提高】
（3）如图，在中，在边上取一点，使得 .若
，，，求 的面积.
解：如图2，过点作于点，过点 作
，交的延长线于点 .
.
四边形 是平行四边形，
, .
在和中，
, .
,, .
又, ， ,
, .
,
.
.
又, .
,即. .
.
已知：，，三点共线， .
结论： .
注：当（或或 ）时， .特别地，
当 时，该模型为一线三垂直模型，一般利用“同角
的余角相等”找到对应角相等.
二阶 综合训练
1.如图，在中， ，，点 的
坐标为，点的坐标为，则点 的坐标为
( )
C
A. B. C. D.
2.如图，等边三角形的边长为3，为 边上的一点，为边上的
一点，连接， ， .
（1）求证： ;
证明：在等边三角形中， .
, .
.
.又, .
（2）若，求 的长.
解：， .
，，
.
， .
3.【感知】如图1，在正方形中，为边上一点，连接，过点
作交于点，则易证 .（不需要证明）
【探究】如图2，在矩形中，为边上一点，连接，过点 作
交于点 .
（1）求证： ;
证明： 四边形 是矩形，
.
， .
.
.
又， .
（2）若,,为的中点，求 的长.
解：为的中点，
.
由（1）知,
，即 .
.
【应用】 如图3，在中， ，，， 为
边上一点（不与点，重合），连接，作 ,交 于
点.当为等腰三角形时， 的长为__________.
-或2-
解析： ，， ,
， .
又 ， .
.
.
又， .
当 为等腰三角形时，分三种情况：
①若,则 .
②若,则 . .
在中， ,
. .
又, .
③若,则 . .
此时点与点 重合，不符合题意.
综上，的长为 或2.(共11张PPT)
第一部分 回顾教材篇
第四章 三角形
微专题 角平分线的常用辅助线作法
一阶 方法训练
二阶 综合训练
一阶 方法训练
方法一 构造对称图形
例1 如图，在中， ,平分交 于
点，,点到的距离为2，则 的长为( )
D
A. 2 B. 4 C. 5 D. 6
例2 如图，在四边形中，平分, ,
,,则 的长为____.
-6-
情形1 “过角平分线上的点向角两边作垂线”构造
全等三角形.
【结论】 ， .
情形2 截取“等线段”构造全等三角形.
“图中有角平分线，可将图形对折看,对称以后
关系现.”
方法二 构造平行线
例3 如图，在中，平分交于点, 是
边上一点，连接.若 , ,
,则 的长为_________.
--
例4 如图，在中，,,平分
交于点，则 的值为____.
-2-
角平分线结合平行线推出等腰三角形
如图，是的平分线上一点,过点作 交于点 .
【结论】 为等腰三角形.
知二推一:为（或其邻补角）平分线上一点;
;
为等腰三角形.知道其中任意两个条件，均可推出其余一条结论.
二阶 综合训练
1.如图，在四边形中, , 平分
,,,,则四边形 的面
积为______.
-50-
2.如图，在中，是上一点，平分 ,
,,,则 的长为_____.
-10-
3.如图， ,平分,于点 ，
,则线段 的长为( )
D
A. B. C. 8 D.
4.如图，在中， ,, 平分
,交的延长线于点，若,则
的长为____.
-4-
5.如图，在矩形中，为的中点,点在 上，
连接,平分,若,,则线段 的
长为_ ______.
--
6.如图，在四边形中， ,, 为对角
线，若,,,则
的面积为____.
-4-
7.如图，在平行四边形中，，分别平分，,交 分
别于点，.已知平行四边形 的周长为48.
（1）求证： ;
证明： 四边形 是平行四边形，
,， ，
.
,分别平分， ,
， ， ，
又，， .
（2）过点作于点,若,求 的面积.
解：如图，过点作于点 .
平分，， ，
.
平行四边形的周长为48，
，
.(共47张PPT)
第一部分 回顾教材篇
第四章 三角形
第19课时 图形的相似
要点夯基础
精讲过考点
精练通方法
课时分层强化练
知识要点
1.比例线段
（1）比例线段：一般地,四条线段,,,中,如果与的比等于与 的比,即
,那么这四条线段,,, 叫做成比例线段,简称比例线段.
（2）黄金分割：如图,点把线段分成两条线段和 ,如果
,那么称线段被点黄金分割, 点叫做线段的黄金分割点, 与
的比叫做黄金比,即
.
回归教材
1.（1）下列各组线段中,是成比例线段的是( )
B
A. 2,3,4,5 B. 2,3,4,6 C. 1,2,3,4 D. 1,4,9,16
（2）已知是的黄金分割点,,若,则______ .
（结果精确到 ）
-6.2-
知识要点
2.平行线分线段成比例
（1）定理：三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
（2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）,所
得的对应线段成比例.
回归教材
2.如图,,直线，与这三条直线分别交于点，，和 ，
，,若,,,则 的长为____.
-8-
知识要点
3.相似多边形（含三角形）
（1）定义：对应角相等,对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形,相似
多边形对应边的比叫做相似比.
（2）性质：①对应角相等,对应边成比例.
②周长的比等于相似比,面积的比等于相似比的平方.
③对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比.
回归教材
3.（1）如图,,,,, ,则
（1） ______;
（2） ____;
（3） ______.
--
-2-
--
知识要点
4.位似的性质
（1）位似图形是相似图形,具有相似图形的一切性质.
（2）对应点的连线都经过同一点.
（3）对应边互相平行或在同一条直线上.
（4）在平面直角坐标系中,如果以原点为位似中心,位似比为 ,那么位似图
形上的对应点的坐标比等于或 .
回归教材
4.如图,与位似,点是它们的位似中心,其中 ,若
,则 的长为____.
-8-
知识要点
5.相似三角形的判定#1
文字语言 图形
判定1：两角对应相等的两个三角形相似
判定2：三边对应成比例的两个三角形相似
文字语言 图形
判定3：两边对应成比例且夹角相等的两个三 角形相似
判定4：平行于三角形一边的直线和其他两边 或它们的延长线相交，所构成的三角形与原三 角形相似
续表
回归教材
5.如图，点在的边上，连接 ，下列条件：
;;; .
其中不能判定 的是_____.（填序号）
-④-
考点1 平行线分线段成比例
1.（2023·吉林）如图,在中,点在边上,过点
作,交于点.若,,则 的值是
( )
A
A. B. C. D.
2.（2023·北京）如图,直线,交于点,,若 ,
,,则 的值为____.
--
考点2 相似三角形的判定和性质（5年3考）
3.（2025·广东）如图，把放大后得到，则与
的相似比是______.
--
4.（2024·云南）如图,与交于点,且 .若
,则 ____.
--
5.（2023·广东）边长分别为10，6，4的三个正
方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上
（如图），则图中阴影部分的面积为_____.
-15-
6.如图，在中，是角平分线，点在边上，且 ，
连接 .
（1）求证： ;
证明：是 的平分线，
.
，
， .
（2）若，，求 的长.
解：， .
， ，
，即 .
又， ，
，， ，
.
考点3 图形的位似
7.（2024·凉山）如图,一块面积为 的三角形
硬纸板（记为）平行于投影面时,在点光源
的照射下形成的投影是.若 ,
则 的面积是( )
D
A. B.
C. D.
8.（2024·浙江）如图,在平面直角坐标系中, 与
是位似图形,位似中心为点.若点 的对
应点为,则点的对应点 的坐标为
( )
A
A. B. C. D.
1.（2024·湖南）如图,在中,,分别为边,
的中点.下列结论中,错误的是( )
D
A. B.
C. D.
2.如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图
的方法,若图中的虚线相互平行,则点 表示的数是
( )
C
A. B. 2 C. D. 5
3.如图,点,分别在的边,上, ,
,若 , ,则 的度数为
( )
C
A. B. C. D.
4.（2024·绥化）如图,矩形 各顶点的坐标分别
为,,,,以原点 为位似中心,
将这个矩形按相似比缩小,则顶点 在第一象限的对
应点的坐标是( )
D
A. B. C. , D. ,
5.如图,某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树
的高度,已知人的站位点、镜子、树底 三点在同
一水平线上,眼睛与地面的高度为, ,
,则树高为_______.
--
6.如图,,是线段的两个黄金分割点,,则线段 _________.
--
7.（2024·滨州）如图,在中,点,分别在边, 上.添加一个条件
使 ,则这个条件可以是____________________________.
（写出一种情况即可）
-（答案不唯一）-
8.如图1，在锐角三角形中，，分别是，的中点，为 上一
点，且，交于点 ．
图1
图2
（1）求证： ;
证明：， .
，
， .
（2）如图2，点在上，且，求证： ．
解：，分别是， 的中点，
，，, .
， 四边形 为平行四边形， .
由（1）知，， .
，， .
， ，
，即 ,
．
1.如图,已知,若,,,则
的长为( )
A
A. 4 B. 4.5 C. 5.5 D. 6
2.（2024·内江）已知与相似，且相似比为，则 与
的周长之比是( )
B
A. B. C. D.
3.如图，，若 ， ，则 的度数
是( )
C
A. B. C. D.
4.如图,已知点,分别在的, 边上,
,则下列各式成立的是( )
B
A. B.
C. D.
5.鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金
比例,是自然界最美的鬼斧神工.如图,是 的黄金分
割点,若线段的长为,则 的长为
( )
A
A. B.
C. D.
6.（2024·青海）如图,和相交于点 ,请你添加一个条件____________
________________,使得 .
-
（答案不唯一）-
7. （2024·扬州）物理课上我们学过小孔成像的原理,它是
一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法.如图,燃烧的蜡烛（竖直
放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像,设 ,
,小孔到的距离为,则小孔到 的距离为_____ .
-20-
8.（2023·鄂州）如图,在平面直角坐标系中,与位似,原点
是位似中心,且.若,则点 的坐标是________.
--
9.（2024·乐山）如图,在梯形中,,对角线和交于点 .若
,则 ____.
--
10.如图，在中， ，正方形的四个顶点都在 的
边上.
（1）求证： ;
证明： ， .
正方形的四个顶点都在 的边上，
， ，
， ，
.
（2）若正方形的边长是,,求 的长.
解： 正方形的边长是, ,
.
， ，
,
.
11.如图,在中, , ,,
是上一点,,垂足为 .若,则 的
长为( )
A
A. B. C. D. 3
12.如图，在中，，，是
边的中点，是边上一动点.若与 相
似，则 的长为________．
-5或-
13.（2025·成都）如图，在中，点在边上，点关于直线
的对称点落在内，射线交射线于点，交射线于点 ，射
线交边于点 .
【特例感知】
（1）如图1，当时，点在 的延长线上，求证：
;
证明：由对称的性质得， .
四边形 是平行四边形，
，， .
， .
， .
，， .
又， .
【问题探究】
（2）在（1）的条件下，若，，求 的长;
解：， .
， .
， ，
，
， .
由对称的性质得 .
四边形 是平行四边形，
， ，
， ，
即，解得 ，
， .
【拓展延伸】
（3）如图2，当时，点在边上，若，求 的值.
（用含 的代数式表示）
解：如图，延长，交于点 .
设， ,
， ，
， ，
，
.
由对称的性质得， .
，即 ， ，
，即 ， .
四边形是平行四边形， .
由对称的性质得， .
， ，
.
， .
，， .
又， ，
，即， .
，， ，
，解得 ，
.
又， ，
.(共17张PPT)
第一部分 回顾教材篇
第四章 三角形
微专题 中点问题常用性质及辅助线作法
一阶 方法训练
二阶 综合训练
一阶 方法训练
方法一 考虑构造中位线
例1 如图,在中,,分别是,的中点,连接,交于点 ,求证:
.
证明:如图,过点作交于点 .
为 的中点，为 的中位线，
， .
为 的中点，,
， .
， ,
， .
例2 如图,在中,是的中点,过点作 交于点,交的
延长线于点,若是的中点, ,则 的长为____.
-9-
例3 如图,在中,于点,且,是 的中点,若
,则 的长为____.
-4-
方法二 考虑构造中线
例4 把两个含 角的直角三角尺按如图所示摆放,为
的中点,连接，若,则 的长为______.
--
例5 如图,在中,,,为 的中点,过点
作于点,则 的长为_ ____.
--
情形1 如图1，当图形中出现两个中点时，考虑构造中位线.
情形2 如图2，当图形中出现中点时，考虑过中点作已知长度的线段的平
行线构造中位线.
【结论】 .
情形1 如图，在中, ,为 的中点,连接 .
【结论】 .
情形2 如图，在等腰三角形中，为底边 的中点，连接 .
【结论】 ， .
方法三 考虑构造倍长中线
例6 如图,在中,是边上的中线, ,
,,则 的长为____.
-6-
例7 如图,在中, ,为边的中点,
为边上一点,连接,,过点作交
于点,连接,若,则 ____.
-4-
例8 如图,在正方形中,,是的中点,是上异于, 两点的
任意一点,连接,,若,求 的值.
解:如图,延长至点,使得,连接 ,设
，则 .
是的中点, .
在和中,
，
, ,
,,, 三点共线.
,
, .
在 中,由勾股定理得 ,
即 ，解得或 （舍去）,
即 .
图1
情形1 遇三角形中存在中线时，考虑延长中线，作与中线相等的线段构造
全等三角形.
条件：如图1，在中，是 边上的中线.
辅助线作法1：延长至点，使,连接 .
辅助线作法2:过点作交的延长线于点 .
结论： .
图2
情形2 遇三角形中存在一条线段过一边的中点时，考虑延长这条线段，作
等线段构造全等三角形.
条件:如图2，在中，是的中点，是 上一点，连接 .
辅助线作法1：延长至点，使,连接 .
辅助线作法2：过点作交的延长线于点 .
结论： .
二阶 综合训练
1.如图,在中, ,,, 分别
是三边的中点,连接,,若,则 的长
是( )
C
A. 6 B. 2 C. 3 D. 4
2.如图，在中,,分别为,的中点,过点 作
于点,为上一点,且,连接 ,若
,,则 _______.
--
3.如图,在菱形中, ,,分别是边,
的中点,连接,,若,则 的长为_______.
--
4.如图,在中, , , 为
边的中点,点在边上,连接,若 ,
则的度数为_____ .
-55-
5.如图,在中,,分别以点,为圆心,大于 的长为半径画弧，
两弧相交于,两点,作直线交于点,连接,若, ,则
的长为________.
--
6.如图,在中, ,,,是的中点,点在边
上,连接,若,则 的长为_ ____.
--(共15张PPT)
第一部分 回顾教材篇
第四章 三角形
微专题 简单相似模型
一阶 模型训练
二阶 综合训练
一阶 模型训练
A字模型
例1 在中，，,是边 上的点.
（1）如图1，点在边上，若,,则 的长为_ ___;
--
（2）如图2，点在边上，若,,则 的长为_ ____;
（3）如图3，若,则与 的周长比为____;
（4）如图4，当 时，若，则 的长为_ ____.
--
--
--
例2 如图，在中，,,分别是边,,上的点， ,
.若，则 的值为____.
--
正A字型（公共角， ）
结论： .
母子型（公共角,公共边, ）
结论：, .
模型总结：两个三角形有一个公共角，再找出另一组
对应角相等，或该角的两组邻边对应成比例即可证明
这两个三角形相似.当题目中未明确相似三角形的对应顶点时，注意分类讨论.
8字模型
例3 如图，在中，是的中点， 与相交于点，则与
的比是( )
C
A. B. C. D.
例4 如图，在四边形 中， ,与相交于点
，且 .
（1）求证： ;
证明： ,
,,, 四点共圆.
, .
.
（2）求 的值.
解： ,
.
在中， .
， .
正8字型
结论： .
反8字型
结论： .
模型总结：两个三角形有一组隐含的等角（对顶角），
再得到另一组对应角相等，或对顶角的两边对应成比例
即可证明两个三角形相似.
二阶 综合训练
1.如图，在中，点在线段上，连接，要使与 相
似，只需添加一个条件即可，这个条件不能是( )
A
A. B.
C. D.
2.如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点 .若
，，求 的长.
解： 四边形 是矩形，
, , .
在中， .
是的中点， .
,, .
， .
， .
3.如图，在中，，,以为直径的 分别交
,于点,，连接.求 的长.
解：如图，连接 . 为 的直径，
,即 .
又 ，是 的中点.
.
在中， .
， .
又, .
.. .
4.如图，在四边形中，平分 , ,是
的中点，连接, ,与相交于点 .
（1）求证： ;
证明：平分,
.
又,
.
. .
（2）若，,求 的值.
解：，， ,
.
，是 的中点.
.
又， .
又，， .
又， .(共15张PPT)
第一部分 回顾教材篇
第四章 三角形
微专题 简单全等模型
一阶 模型训练
二阶 综合训练
一阶 模型训练
平移模型
例1 如图，点，，，在同一条直线上，， ，
.求证： .
证明： ，
,即 .
,,, .
在和中， .
模型总结：沿某一直线平移其中一个三角形，可与另一个三角形重合，一
般存在两组对应边分别平行.通常需要在移动方向上加（减）公共线段，得
到对应边相等;利用平行线的性质得到对应角相等.
轴对称模型
例2 （2024·乐山）如图，是 的平分线，.
求证： .
证明：是 的平分线，
.
在和中，
.
模型总结：所给图形关于某一直线成轴对称时，要注意其隐含条件，如公
共边、公共角、对顶角相等.#1.2
旋转模型
例3 （2024·云南）如图，在和 中，，
, .求证： .
证明： ,
,
即 .
在和中，
.
模型总结：（1）共顶点：利用共顶点的角的和（差）得到对应角相等.
（2）不共顶点：①利用公共线段的和（差）得到对应线段相等;
②利用平行线的性质得到对应角相等.#1.2
二阶 综合训练
1.如图，是线段的中点， ，要证明 ，可添加
的条件是___________________________.（写出一个即可）
（答案不唯一）-
2.如图，已知,, .求证： .
证明： ,
，即 .
， .
在和中，
.
3.（2024·镇江）如图， , .
（1）求证： ;
证明：在和中，
.
（2）若 ，则_____ .
-20-
4.如图，在中，的平分线交 于点，为上一点，且
,连接 .
（1）求证： ;
证明：是 的平分线，
.
在和中，
.
（2）若,的周长为15，求 的周长.
解：, .
的周长为 ,
.
又 ,
的周长=
.
5.如图，在中， ,于点 ，点在上，且
.
（1）求证： ;
证明：, .
又 , ,
， .
在和中，
.
（2）判断直线和 的位置关系，并说明理由.
解： .理由如下：
如图，延长交于点 .
, .
又 ,
.
.
,即 .

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