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数列的概念
在现实世界中，许多事物的数量可以排成一列数.例如:
(1)如图,在超市的货架上摆放有一些罐头，最顶上一层有2听罐头，其余每一层的罐头数都比它上面一层的罐头数多2，共堆了8层，则从上到下每层的罐头数依次为：
导语
2
4
6
10
14
8
12
16
①
(2) 《庄子·天下》有一句话:“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”
12， 14， 18， 116， 132……
?
(3)某家庭一年内1—12月的用电量（单位kW·h）依次为：
110，120，90，80，62，80，103，115，84，65，81，95.
(4) ????,2????,3????,4????，···的正弦值依次为：0,0,0,0,···.
?
(5)正整数1,2,3,4,5,6,···被3除的余数依次为：1，2，0，1，2，0，1，2，0，···.
?
②
③
④
⑤
思考：上述①、②、③、④、⑤五列数有什么共同特征？
自主探究一
PART 01
把这些例子的共同特征抽象出来，我们可以得到数列的概念：
数列的一般形式可以写为a1,a2,a3,… ,an … ,简记为
数列
数列的项
首项
第2项
第n项
按照一定顺序排列着的一列数
数列中每一个数
排在第一位的数
排在第2位的数
排在第n位的数
数列的分类：
（1）按项的个数分： 项数有限的数列叫作有穷数列；项数无限的数列叫作无穷数列.
（2）按数列的“项间的大小比较”(随序号变化的情况)来分：
从第2项起，每一项都大于它的前一项。
递增数列
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项。
常数列
各项都相等
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项。
摆动数列
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式．
思考
1. 可以看作 的一个函数，那么它的定义域是什么？
正整数集 或者它的一个有限子集
2.利用一个数列的通项公式，你能确定这个数列哪些方面的性质？
我们可以根据数列的通项公式写出数列．
从函数的观点看:数列的通项公式就是数列的解析表达式．
例如，数列①②的一个通项公式分别是:
课堂练习
PART 02
例1：已知数列????????的通项公式为????????=?????2????+1.
（1）写出数列的前5项及第n+1项；
（2） 1315和20222025都是这个数列的项吗?若是，是第几项?.
?
分析 (1)根据数列的通项公式求数列的具体项，就是求函数值.
(2) 要判断一个数是不是数列{an}中的项，实际上就是判断是否存在正整数n，使得an等于这个数.
解:（1）在通项公式中依次取n=1,2,3,4,5得到数列的前5项分别为?12,0,14,25,12 .
用n+1代替通项公式????????=?????2????+1中的n得到数列的第n+1项是?????1????+2,
即????????+1=?????1????+2.
?
（2）若1315是数列{????????}的项，则号1315=?????2????+1，解得n=432?，不是整数.
因此， 1315不是数列{????????}的项.
同样地，若20222025是数列{????????}的项，则20222025?= ?????2????+1?，解得n=2024.
因此， 20222025是数列{????????}的项，是第2 024项.
?
例1：已知数列????????的通项公式为????????=?????2????+1.
（1）写出数列的前5项及第n+1项；
（2） 1315和20222025都是这个数列的项吗?若是，是第几项?.
?
例2：观察下面各数列,试着写出它的一个通项公式:
（1） ?1，1，?1，1，···? （2） 9，99，999，9999，··· （3）12，?34，78，?1516，···?
?
解:（1）因为这个数列的前4项为：因为这个数列的前4项为(-1)1，(-1)?，(-1)3，(-1)4，由此得到它的一个通项公式an=(-1)n.
（2）因为这个数列的前4项为：10 ??1， 102?1?， 103?1?， 104?1 ，
由此可得到它的一个通项公式：????????=10?????1.
?
例2：观察下面各数列,试着找出它的一个通项公式:
（3）12，?34，78，?1516，···
?
（3）因为这个数列的前4项为： (?1)2·2?12?，(?1)3·22?122，(?1)4·23?123， (?1)5·24?124?，由此可得到它的一个通项公式：????????=(?1)????+1·2?????12????.
?
　　另外，观察例2(1)中的数列，可以发现:当n为奇数时，an=-1；当n为偶数时， an =1.于是它的通项公式也可写为
由此可知，数列的通项公式并不唯一.
　　例2(1)中的数列具有周期性，你能借助三角函数再写出它的一个通项公式吗?
要注意的是，不是所有数列都能写出通项公式.
由于数列{an}可以看作定义域为正整数集(或其子集)的函数，于是数列也可以用列表法和图象法来表示.
例如，对于数列③，我们可以用如下列表的方法来直观的表示：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
月份（n）
用电量（ an ）
月份（n）
用电量（ an ）
1
110
7
103
2
120
8
115
3
90
9
84
4
80
10
62
5
62
11
81
6
80
12
95
数列③，也可以用图象直观的表示：
从图象上可以清楚地看到，这个家庭哪个月用电量最多，哪个月用电量最少，哪些月用电量在增加，哪些月用电量在减少，用电量随月份的变化也一目了然.
数列的图象是一系列孤立的点．
PART 05
课堂小结
我们学到了
哪些新的数学知识？
我们运用了
哪些解题方法和数学思想？
01
02
谢谢观看
Thank you

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