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(共42张PPT)
　任意角、弧度制及三角函数的概念
2026年高考数学一轮复习专题课件★★　
角的概念
(1)角的定义：一条射线绕着它的______旋转所成的图形．
(2)象限角：在平面直角坐标系中，如果角的顶点在原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角α的终边落在____________就称α为第几象限角(终边落在坐标轴上的角不属于任何象限)．
(3)终边相同的角： _________________ ．
与α终边相同的角的集合为_________________________．
回归教材
端点
第几象限
两角的终边重合
{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}
(4)各象限角的集合为：
第一象限：_____________________________________________，
第二象限：_____________________________________________，
第三象限：_____________________________________________，
第四象限：_____________________________________________．
{α|k·360°<α{α|k·360°＋90°<α{α|k·360°＋180°<α{α|k·360°－90°<α角度制与弧度制
(1)1度的角：把圆周等分成360份，每一份所对的______叫1°的角．
(2)1弧度的角：_______________的圆弧所对的圆心角叫1弧度的角．
(3)1°=_______＝弧度；1弧度＝_______度．
(4)若扇形的半径为r，圆心角的弧度数为α，则此扇形的弧长l＝_______，面积S＝_______＝_______．
圆心角
弧长等于半径长
|α|·r
任意角的三角函数
(1)定义一：利用单位圆定义角α的正弦、余弦、正切．
定义二：设α是一个任意角，α的终边上任意一点(非顶点)P的坐标是(x，y)，它与原点的距离为r，则sin α＝___，cos α＝ ___ ，tan α＝ ___ ．
(2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．
1．判断下面结论是否正确．(对的打“√”，错的打“×”)
(1)锐角是第一象限角，反之亦然．
夯实双基
答案　(1)×　
答案　(2)×　
答案　(3)×　
答案　(4)×　
(5)－300°角与60°角的终边相同．
答案　(5)√　
(6)若A＝{α|α＝2kπ，k∈Z}，B＝{α|α＝4kπ，k∈Z}，则A＝B.
答案　(6)×
2．与2 025°终边相同的角是(　　)
A．35°　　　　　　　　　 B．135°
C．－35° D．－135°
√
四
4．已知扇形的圆心角为30°，其弧长为2π，则此扇形的面积为_________．
12π
5. (2025·《高考调研》原创)如图，角α的终边与单位圆(圆心为原点，
题型一　 角的概念及其表示
(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；
题型一　 角的概念及其表示
(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；
∴α1的终边在第一象限，α2的终边在第二象限．
(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们有相同终边的所有角．
(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们有相同终边的所有角．
【答案】　(2)β1＝108°，与之终边相同的角有－612°，－252°，β2＝－420°，与之终边相同的角有－60°
设θ＝k·360°＋β1(k∈Z)，∵－720°<θ＜0°，
∴－720°∴在－720°～0°之间与β1有相同终边的角是－612°和－252°.同理β2＝－420°，且在－720°～0°之间与β2有相同终边的角是－60°.
状元笔记
(1)迅速进行角度和弧度的互化，准确判断角所在的象限是学习三角函数知识必备的基本功．
(2)若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化成2kπ＋α(0≤α＜2π)(k∈Z)的形式，然后再根据α所在的象限予以判断，这里要特别注意是π的偶数倍而不是整数倍．
(3)若要求出在某一指定范围内的某个特殊的角，通常可像本例一样化为不等式去求出对应的k值．
√
√
√
已知α为第三象限角，则 是第________象限角，2α的终边在_________________________________，π＋α是第________象限角，π－α是第________象限角．
二、四
第一、二象限或y轴的非负半轴上
一
四
状元笔记
　判断角的终边所在象限的方法
(1)判断θ的终边在哪个象限，只需把θ改写成θ0＋k·360°，k∈Z，其中θ0∈[0°，360°)即可．
(2)对 的终边判断象限归属问题可采用等分象限法，如图．
思考题2　(1)【多选题】已知角2α的终边在x轴的上方，那么角α可能是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
√
√
(2)如果α为第一象限角，那么①sin 2α；②cos 2α；③sin ；
④cos 中必定为正值的是________．
①
题型二　 弧度制及其应用
已知扇形的圆心角是α(0＜α＜2π)，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
(2)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积S最大？
(3)若α＝ ，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积．
【答案】　(2)当α＝2时，S最大　
状元笔记
　 弧度制的应用
(1)在弧度制下计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．
(2)从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．
(3)记住下列公式：①l＝|α|R；②S＝ lR；③S＝ |α|R2.其中R是扇形的半径，l是弧长，α为圆心角，S是扇形面积．
思考题3　(1)已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角α(0＜α＜2π)的弧度数是________．
1或4
(2) (2025·沧州七校联考)数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边△ABC，再分别以A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形(如图所示)．若莱洛三角形的周长为2π，则其面积是___________．
题型三　 三角函数的定义及其应用(微专题)
微专题1　三角函数的定义
(1)已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－4m，3m)(m≠0)，则2sin α＋cos α的值为____________________．
√
状元笔记
三角函数的定义的应用，
已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；
已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置．
√
√
【解析】　由题意，设终边上一点P(x，y)．若角α的终边位于第一象限，
若角α的终边位于第三象限，令x＝－1，则y＝－4，
微专题2　三角函数值符号的判定
sin 2cos 3tan 4的值(　　)
A．小于0 B．大于0
C．等于0 D．不存在
√
状元笔记
三角函数值符号的判定方法
此类题的关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据三角函数值在各象限的符号确定函数值的符号．
－1
本课总结
1．弧度制与角度制不能混用，如α＝2kπ＋30°(k∈Z)，β＝k·360°＋ (k∈Z)都是不正确的．
2．相等的角终边一定相同，但终边相同的角不一定相等．
3．终边在坐标轴上的角，不能称为任何象限的角．
5．用弧度制表示终边相同的角时，如α＋2kπ(k∈Z)，式子中2kπ是π的偶数倍，而不是π的整数倍，如α＋9π与α终边不相同．
利用三角函数的定义解三角不等式
利用三角函数的定义解三角不等式
在单位圆中分别画出不等式①②的解集对应的区域，其公共区域为不等式组的解集，如图中阴影部分所示，
【探究】　(1)角α的终边与单位圆的交点为P(cos α，sin α)．
(2)利用三角函数线解三角不等式的步骤：
①确定区域的边界；②确定区域；③写出解集．

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