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第十四章 全等三角形
14.2 三角形全等的判定
第1课时 SAS
学习目标
1
掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 能熟练应用SAS证明两个三角形全等.
经历从全等三角形的性质到SAS的探究过程，体会分类讨论思想；在应用SAS解决问题时，体会转化思想.
在探究和证明的过程中，发展直观想象和数学抽象素养，培养逻辑推理能力，提高有条理地思考和表达的能力；在解决实际问题的过程中，增强数学建模意识和应用意识.
2
3
A
B
C
D
E
F
边：AB=DE，AC=DE，BC=EF
角：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F
全等三角形的定义及性质
回顾知识
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
情景引入
为班级文化建设，装饰教室，现在需要每人裁剪一张三角形卡纸与老师手中的三角形卡纸全等，你需要知道几个与边或角有关的条件才能剪出来呢？
探索新知
有一条边对应相等的三角形
有一个角对应相等的三角形
探索新知 —— 一个条件
两条边
两个角
50°
30°
6cm
4cm
4cm
50°
一边一角
30°
3cm
探索新知 —— 两个条件
三个角
60°
90°
30°
60°
90°
不一定全等
不一定全等
探索新知 —— 三个条件
两边及其夹角
探索新知 —— 三个条件
如图，直观上，如果∠A，AB，AC的大小确定了，△ABC的形状、大小也就确定了.也就是说，在△A'B'C′与△ABC中，如果∠A′=∠A，A′B′=AB，A'C′=AC，那么△A'B′C′≌△ABC.这个判断正确吗
判定两个三角形全等的基本事实
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
(简写成“边角边”或“SAS”)
探索新知 —— SAS
在△ABC和△A'B'C'中
AC=A'C'
∠CAB=∠C'A'B'
AB=A'B'
∴△ABC △A'B'C'(SAS)
几何语言
特别提醒：在做题时往往在相等的边或角上作相同的标记，方便辨别和判定全等三角形.
典例精析
例1 如图，AC=AD，AB平分∠CAD，求证∠C=∠D.
练1 如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和点B.连接AC并延长到点D，使CD=CA.连接BC并延长到点E，使CE=CB.连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离.为什么
巩固练习
解：在△DCE和△ACB中，
CD=CA,
∠DCE=∠ACB,
CE=CB,
∴ △DCE≌△ACB(SAS).
∴ DE=AB,
∴ 量出DE的长就是A,B的距离.
巩固练习
练2 如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C.求证∠A=∠D.
解：∵ BE=CF,
∴ BE+EF=CF+EF，
∴ BF=CE.
在△ABF和△DCE中，
AB=DC,
∠B=∠C,
BF=CE,
∴ △ABF≌△DCE(SAS).
∴ ∠A=∠D.
练3 如图，已知AB=AC，请再添加一个条件 ，使
△ABE≌△ACD（无需添加任何辅助线或点）．
AE=AD
巩固练习
证明：∵BE∥DF，∴∠BEA＝∠DFC.
∵AF＝CE，∴AF＋EF＝CE＋EF，
即AE＝FC.
在△AEB和△FCD中，
∴△AEB≌△FCD(SAS)．
∴∠A=∠C
∴AB∥CD.
AE=CF(已知），
∠BEA=∠DFC（已证），
BE=DF（已证），
练4 如图,点A、F、E、C在同一条直上,AF=CE,BE∥DF,BE=DF.
求证:AB∥CD.
巩固练习
变1 如图，CA＝CD，∠ACD＝∠BCE，请添加一个条件 ，
使△ABC≌△DEC．
巩固练习
CB＝CE
思考 我们知道，如果两个三角形的两边和它们的夹角分别相等，那么这两个三角形全等.如果两个三角形的两边和其中一边的对角分别相等，那么这两个三角形全等吗
反例 如图，在△ABC 和△ABD 中，
AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，
但△ABC 与△ABD 显然不全等.
这说明，
两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.
想一想
链接中考
1.（2024 宁夏）如图，AC，BD相交于点O，OB＝OD，要使
△AOB≌△COD，添加一个条件是 .（只写一个）
OA＝OC
链接中考
2.（2025·陕西）如图，点D是△ABC的边BC延长线上一点，BD=AB，
DE∥AB，DE=BC.求证:BE= AC.
证明: ∵DE∥AB，
∴∠BDE=∠ABC，
在△BDE与△ABC中，
BD=AB，
∠BDE=∠ABC，
DE=BC，
∴△BDE≌△ABC(SAS),
∴BE=AC.
变2 如图，点E是正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直
角三角形，其中∠EBF=90°，连接CE、CF.
求证：△ABF≌△CBE．
巩固练习
证明：∵△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，
∴BE=BF，
∴∠ABC-∠CBF=∠EBF-∠CBF，
∴∠ABF=∠CBE，在△ABF和△CBE中，
AB=CB
∠ABF=∠CBE
BF=BE
∴△ABF≌△CBE(SAS)．
像这样两个顶角相等的等腰三角形共顶点时，所连接形成的两个三角形全等.
模型名称：手拉手模型
证明方法：SAS
模型和结论要牢记！
模型拓展
证明：在正方形ABCD中，AC=AB,∠DAB=∠ABE=90°
在△DAF和△ABE中，
∴△DAF≌△ABE(SAS)．
AD=BA，
∠DAF=∠ABE，
AF=BE，
练5 如图，在正方形ABCD中，AF＝BE，AE 与DF 相交于点O.
求证：△DAF≌△ABE；
巩固练习
模型拓展
像这样的模型叫做十字架模型，后面还会遇到它的变形.
归纳总结
全等三角形的判定（SAS） 边角边 （SAS） 和 分别相等的两个三角形全等. 图示 符号语言
边边角 （SSA） 两边和 分别相等的两个三角形 . 它们的夹角
两边
其中一边的对角
不一定全等
作业布置
必做：课本：习题14.2 第1，2，14题
质量检测：基础达标部分
探究性作业：请同学们用长度合适的木棒制作能体现 SSA 不能证明三角形全等的模型，下节课分享制作思路与结论.
选做：质量检测：素养提升部分

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