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【R·数学八年级上册】
第5课时 “斜边、直角边”
14.2 三角形全等的判定
复习导入
判定方法 简称 图示
A
B
C
C'
A'
B'
A
B
C
C'
A'
B'
A
B
C
C'
A'
B'
A
B
C
C'
A'
B'
三边分别相等
两边和它们的
夹角分别相等
两角和它们的
夹边分别相等
两角分别相等且其中
一组等角的对边相等
SSS
SAS
AAS
ASA
探究新知
对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？
A
B
C
A'
B'
C'
探究新知
①一条直角边和一锐角分别相等
②斜边和一锐角分别相等
ASA
或AAS
A
B
C
A'
B'
C'
AAS
A
B
C
A'
B'
C'
用“HL”判定直角三角形全等
③两直角边分别相等
SAS
A
B
C
A'
B'
C'
如果满足斜边和一条直角边分别相等呢？能证明全等吗？
A
B
C
A'
B'
C'
探究新知
用“HL”判定直角三角形全等
C
用三角板和圆规，画一个Rt△ABC，使得∠C=90° 一直角边BC=8cm，斜边AB=10cm。
动手操作
10cm
8cm
探究新知
用“HL”判定直角三角形全等
思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？
B
A
斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）
在Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ （HL）
AB= A′B′，
BC = B′C′，
几何语言：
C
A
B
C'
A'
B'
探究新知
用“HL”判定直角三角形全等
例1 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为 C，D，
AC = BD. 求证 BC = AD.
A
B
D
C
分析：
求证 BC = AD.
已知 AC⊥BC，BD⊥AD，AC = BD
求证 Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).
探究新知
用“HL”判定直角三角形全等
证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD
∴∠C =∠D =90°.
AB = BA，
AC = BD .
在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中，
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL).
∴ BC = AD.
A
B
D
C
应用“HL”的前提条件是在直角三角形中
这是应用“HL”判定方法的书写格式
利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路
探究新知
用“HL”判定直角三角形全等
如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC = BD.
求证 BC = AD.
变式训练
证明:如图，连接AB.
∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠C =∠D = 90°，
在Rt△ABC 和Rt△BAD 中，
AB= BA，
AC = BD，
∴Rt△ABC ≌ Rt△BAD (HL)，
∴BC=AD.
（1）_______________（ ）；
（2）_______________（ ）；
（3）_______________（ ）；
（4）_______________（ ）.
变式训练
如图，AC⊥BC，BD⊥AD，要证明△ABC ≌ △BAD，需要添加一个什么条件？请说明理由.
BC =AD
AC = BD
∠CAB = ∠DBA
∠CBA = ∠DAB
HL
HL
AAS
AAS
A
B
D
C
归纳：两个直角三角形全等的判定思路
已知 可选方法 寻找对应相等的条件
一锐角 （A）
斜边 （H/S）
ASA
直角与已知锐角的夹边
AAS
已知锐角(或直角)的对边
HL
一直角边
一锐角
AAS
已知 可选方法 寻找对应相等的条件
一 直角边（L/S）
HL
斜边
SAS
另一直角边
ASA
已知边相邻的锐角
AAS
已知边所对的锐角
归纳：两个直角三角形全等的判定思路
1. 如图，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，则能够直
接证明△ABC≌△ADC的理由是(　D　)
A. ASA B. AAS
C. SAS D. HL
D
练习巩固
2. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD
≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要添加条件
；若添加条件∠B＝∠C，则可直接用“ ”判定.
AB＝AC　
AAS　
练习巩固
练习巩固
3. 如图，AE⊥BD，CD⊥BD，AB = BC，BE = CD，则 ∠ABC = _______°.
90
4. 如图，已知AD，AF分别是△ABC和△ABE的高，AD＝AF，AC＝AE. 求证：
(1)△ABD≌△ABF；
证明：(1)∵AD，AF分别是
△ABC和△ABE的高，
∴∠D＝∠F＝90°.
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL).
练习巩固
如图，已知AD，AF分别是△ABC和△ABE的高，
AD＝AF，AC＝AE. 求证：
∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL).
∴CD＝EF.
由(1)得△ABD≌△ABF，BD＝BF.
∴BD－CD＝BF－EF，即BC＝BE.
练习巩固
课堂小结
斜边、
直角边
内容
前提条件
探索方法
斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等
在直角三角形中
只需找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一组对应边相等）
用“HL”判定两个直角三角形全等
通过这节课的学习，你有什么收获
课后作业
1.必做题：教材第45页 习题14.2第11、12题。
2.有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P,Q 两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？

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