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(共23张PPT)
14.3.1 角的平分线的性质
1.三角形全等的判定方法有哪些？
温故知新
2.什么是角的平分线？
SSS SAS ASA或AAS HL（直角三角形专用）
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的
两个角的射线叫做这个角的角平分线。
C
如图，是视频中的平分角的仪器，其中AB=AD,BC=DC.将点A放在∠A的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线.你能说明它的道理吗？
E
证明：在△ACD和△ACB中
AD=AB
DC=BC
CA=CA（公共边）
∴ △ACD △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
你从中受到哪些启发？
如何用尺规作一个角的平分线？
已知：∠AOB
求作：∠AOB的平分线.
O
A
B
③ 作射线 .射线OC为∠AOB的平分线.
① 以点 为圆心，适当长为半径画弧，
交OA于点 ，OB于点 ；
合作探究
（一弧两交点）
（两弧一交点）
（作射线）
如何画出∠AOB的平分线呢？
② 分别以点 为圆心， 的长为半径画弧，
两弧在∠AOB 内部交于点 .
在∠AOB的平分线OC上任取一点P，过点P画出OA、OB 的垂线PD、PE．测量PD和PE，并作比较，你能得到什么结论？
在OC 上再取几个点试试？
通过刚刚的测量，你发现了角的平分线的什么性质？
猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等
探究新知
角的平分线的什么性质
命题证明：角平分线上的点到角两边的距离相等
证明：∵ OC是∠AOB的角平分线
∴ ∠AOC=∠BOC
∵PE⊥OB PD⊥OA
∴∠ODP=∠OEP=90°
在△DOP和△EOP中
∠AOC=∠BOC
∠ODP=∠OEP
OP=OP
∴ △DOP≌△EOP（AAS) ∴ PD=PE
已知：OC是∠AOB的角平分线， 点P在OC上，
PD⊥OA
PE⊥OB
求证：PD=PE
×
【判断正误】
1.如图，OC 平分∠AOB，点P 在OC 上，D，E 分
别为OA，OB 上的点，则PD =PE． ( )
小试牛刀
【判断正误】
2.如图，点P 在OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足
分别为D，E，则PD =PE． ( )
×
C
小试牛刀
【判断正误】
3.如图，OC 平分∠AOB，点P 在OC 上，PD⊥OA，
垂足为D．若PD =3，则点P 到OB 的距离为3． ( )
√
O
小试牛刀
几何命题的证明步骤
明确命题中的已知和求证；
根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；
经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程。
总结经验
典例精析
1. 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说 明∠AOC=∠BOC的依据是（ ）
N
M
SSS
ASA
AAS
角平分线上的点到角两边的距离相等
A.
C.
B.
D.
A
2如图，△ABC中，AD 是∠BAC 的平分线， DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足分别为E，F．
求证：ED =FD．
证明： ∵ AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB , DF⊥AC
∴ ED= FD. (角平分线上的点到角 两边的距离相等）
典例解析
3如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P．
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE.
同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
D
E
F
拓展练习
4 如图在△ABC中，∠C =90 ° ，BE 平分∠ABC 交AC于点E， ED⊥AB于点D，若DE=1.5cm，AE=3cm，则
CE=_________,AC=___________.
1.5cm
4.5cm
典例解析
5.【变式练习】 如图在△ABC中，∠C =90 ° ，
BE 平分∠ABC 交AC于点E， 若 AC=5cm，
AE=3cm，则点E 到AB 的距离为__________.
2cm
温馨提示：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高
典例精析
1. 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说 明∠AOC=∠BOC的依据是（ ）
N
M
SSS
ASA
AAS
角平分线上的点到角两边的距离相等
A.
C.
B.
D.
A
典例精析
2、如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF，
∠EDB= 60°，则∠EBF=_______°，BE=_______.
60
BF
典例精析
3、如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是(　　)
F
小技巧：有角平分线做两边的垂线是比较常见的辅助线做法。
课堂小结
角平分线
尺规作图
属于基本作图，必须熟练掌握
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
辅助线
过角平分线上一点向两边作垂线段
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