资源简介

课题名称：数学选择性必修第一册 第1章1.1数列的概念 第二课时 教学设计
教学方法： “一体二化三导四学”教学模式和自主学习模式. （一体二化三导四学：以学生为主体，教学内容问题化，教学活动探究化，引导，指导，督导，自主学习，探究学习，合作学习，体验学习）
教学目标： 1. 了解数列递推公式的定义； 2. 理解递推公式与通项公式的异同； 3. 会根据数列的首项和递推公式写出数列的后续各项； 4. 通过对数列递推公式的探究,培养学生动手试验,大胆猜想数列的通项公式，学会用累加法和累乘法求数列的通项公式.
教学重点、难点： 教学重点：1.理解用递推公式定义数列的方法； 2.能根据递推公式和首项写出数列的后续各项． 教学难点：根据数列的递推公式和首项,猜想该数列的通项公式，学会用累加法和累乘法求数列的通项公式.
教学过程
【教学过程与设计】 整个教学过程是由问题链驱动的，共分为五个环节： 创设情境启迪思维 深入探究获得新知 课堂实练巩固提高 变式训练提炼方法 小结反思拓展引申
【教学程序与设计意图】 （一）创设情境——启迪思维 问题一：公元1202年,意大利数学家斐波那契(约1170一约1240)在《算盘全书》中提出了一个有趣的兔子紫殖问题:“假定一对刚出生的小兔子一个月后能长成大兔子，再过一个月后就能生出一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子，设所生小兔子都是一雌一雄，均无死亡.问一对刚出生的兔子一年后可繁殖多少对兔子 我们借助图形来直观呈现兔子繁殖问题前几个月的情况(如图)： 问题二：观察上图，寻找规律，记第n个月的兔子对数为Fn，则 F2，F3，...，F12分别是多少呢？ 通过观察，计数，推理，得到 F1=1，F2=1，F3=2，F4=3，F5=5，F6=8，...，F12=144.这说明，一年过后，一对兔子会变成144对兔子。我们用数字将数列{Fn}排列出来: 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…. 就得到了著名的斐波那契数列。 【设计意图】这个引入从数学文化入手，通过问题一，引导学生感知图像语言的直观，通过问题二，让学生感到既耳目一新，又能深刻感受到数学存在于生活中，存在于我们悠久的文化中，从而引导学生用数学的眼光去观察生活。 （二）深入探究——获得新知 问题三：按照问题一的条件不变，问一对刚出生的兔子16月后可繁殖多少对兔子 由此我们能否发现项与项之间的关系呢？ 观察续写斐波那契数列，我们得到16月后可繁殖987对兔子。并且我们不难发现: Fn=Fn-1+Fn-2(n≥3)。 一般地，如果数列{an}的任一项an+1与它的前一项an之间的关系可用一个公式来表示，即an+1 =f(an)，n≥1，那么这个公式就叫作数列{an}的递推公式；a1称为数列{an}的初始条件. 由递推公式和初始条件可确定数列{an}，这是表示数列的又一种重要方法. 【设计意图】这一环节首先让学生自主思考，然后小组合作探究，通过探究，抓住了学生的注意力，深化问题一，通过实际问题的解决，从中抽象一般概念.
（三）课堂实练——巩固提高 I．直接应用内化新知 例1.2500多年前的古希腊毕达哥拉斯学派在研究数时，喜欢把数描述成沙滩上的小石子.他们发现1，3，6，10，15， …这些数量的石子，都可以排成三角形(如图)，并称这样的数为“三角形数”.记图中小圆的个数依次构成数列{an} ，试写出数列{an} 的一个递推关系，并求出数列{an}的通项公式.
II．灵活应用提升能力 例 2. 根据递推公式和初始条件， （1）写出数列{an} 的前5项； （2）写出数列{an} 的前5项之和. 变式1.观察下图，写出点数{an} 的一个递推关系，并求出数列{an}的通项公式. 变式2. 【设计意图】这个环节，我设置了1个问题以及2个变式，通过实际问题的解决，让学生感受数列的递推关系的探究，并体会用累加法求数列的通项公式的过程。变式1是对例题方法的巩固；变式2在例题的方法基础上进行变通，学会用累乘法求数列的通项公式。在整个课堂中，我通过一题多变设置，使学生不仅收获了数学知识和方法，还使学生的逻辑推理能力和解题能力得到一定的提升。
（四）小结反思——拓展引申 课堂小结 （1）我们学到了哪些新的数学知识？ （2）我们运用了哪些解题方法和数学思想？(共18张PPT)
数列的概念
第二课时
情景与问题
数列的递推公式与单调性
问题:某种生物细胞在实验室的培养过程中,每小时分裂一次(一个分裂为两个)
经过12小时,由1个这种细胞可以繁殖成多少个细胞
解:设经过n个小时,这种细胞由1个可繁殖成个,细胞的个数形成一个数列{an}
数列的递推公式与单调性
细胞每小时分裂一次,得
由,并根据,得
因此经过12个小时,这种细胞由1个可繁殖成4096个
依此类推 ,,
知识讲解
数列的递推公式与单调性
如果数列的任一项与它的前一项之间的关系可用一个公式来表示,即
那么这个公式就叫作数列的递推公式;称为数的 初始条件
由递推公式和初始条件可确定数列
问题解决
数列的递推公式与单调性
解:反复利用递推公式,列表如下:
n 1 2 3 4 5 …
an 1 3 7 15 31 …
根据递推公式和初始条件
写出数列的前5项,并猜想数列的通项公式
数列的前5项分别是:,,,,
因为,,,,
猜想:
例1
数列的递推公式与单调性
2500多年前的古希腊,毕达哥拉斯学派在研究数时,喜欢把数描述成沙滩上的小石子他们发现1,3,6,10,15,…这些数量的石子.都可以排成三角形(如图),并称这样的数为“三角形数”.记图中小圆的个数依次构成数列,试写出数列的一个递推关系
解:由图可知,,,,
例2
数列的递推公式与单调性
在第个“三角形数”图案的下面添加个小圆,即得到第个“三角形数”
图案,因此
, ,为数列的一个递推关系
数列的递推公式与单调性
可以发现:
对于数列(1),从第2项起,每一项都大于它的前一项
对于数列(2),从第2项起,每一项都小于它的前一项
对于数列(3),(5),从第2项起,有些项大于它的前一
项,有些项小于它的前一项
对于数列(4),它的每一项都相等
(3) 110,120,90,80,62,80,103,115,84,65,81,95
(4) 0,0,0,0,….
(5) 1,2,0,1,2,0,1,2,0,….
(2) , , , ,
(1) 2,4,6,8,10,12,14,16
….
单调性是函数的重要性质.数列也是函数,也有类似的性质
数列的递推公式与单调性
如果从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项,那么这个数列叫作摆动数列
各项都相等的数列叫作常数列
一般地,对于一个数列,如果从第2项起,每一项都大于它的前一项,即
那么这个数列叫作递増数列
如果从第2项起,每一项都小于它的前一项,即,那么这个数列叫作递减数列
数列的递推公式与单调性
(3) 110,120,90,80,62,80,103,115,84,65,81,95
(4) 0,0,0,0,….
(5) 1,2,0,1,2,0,1,2,0,….
(2) , , , ,
(1) 2,4,6,8,10,12,14,16
….
递增数列
递减数列
摆动数列
摆动数列
常数列
数列的递推公式与单调性
从数列的图象上看,递增数列的图象是一系列从左至右上升的孤立点
递减数列的图象是一系列从左至右下降的孤立点
摆动数列的图象是一系列从左至右有升有降的孤立点
常数列的图象是一系列从左至右呈水平状的孤立点
递增数列
递减数列
摆动数列
常数列
数列的递推公式与单调性
(1) (2)
判断下列数列的单调性:
解:(1)因为
所以,即数列是递减数列
例3
数列的递推公式与单调性
所以
,即数列是递增数列
解:(2)因为
(1) (2)
判断下列数列的单调性:
例3
数列的递推公式与单调性
(2)数列的单调性
(l)数列的递推公式,它与初始条件联合起来是表示数列的重要方法.许多
与数列有关的应用问题最后都归结为这种数学模型,值得同学们反复体会
本节课的主要内容有两点:
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