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《等比数列》第2 课时教学设计
教材分析
《等比数列与指数函数》是湘教版教材选择性必修第一册1.3.2节，本节课之前我们已经学习了等差数列的概念和通项公式，等比数列的概念和通项公式，我们知道了等差数列与一次函数的关系，在此自然会去研究等比数列的通项公式的结构特点，教材先通过四个特殊的等比数列要我们求通项，由此归纳出等比数列通项公式的结构特点，再一般化，得出等比数列与指数函数的关系。然后借助指数函数的图像与性质去研究等比数列的单调性等性质，本节开头给出的四个等比数列也是等比数列单调性的四种类型，首尾呼应。本节课的内容体现了类比、从特殊到一般再从一般到特殊、函数、方程等思想。
二、教学目标
1.通过特殊的等比数列的通项公式类比归纳出等比数列与指数函数的关系。
2.借助指数函数的图像与性质研究等比数列的单调性等性质。
3.培养学生的数学抽象、数学建模、直观想象、数学运算等核心素养，提升学生归纳类比猜想证明的逻辑推理能力。
三、重点难点
重点：等比数列与指数函数的关系
难点：利用指数函数的图像与性质研究等比数列的性质
教学用具
、GGB、电脑
五、教学流程
问题导入 ->新知探究 ->新知应用 ->典例剖析 ->练习巩固 ->归纳小结
教学过程
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图 时间分配
（一） 问题导入 问题1：前面我们学习了等差数列的通项公式，知道等差数列与一次函数的关系，那么等比数列的通项公式的结构特点是什么呢？它与哪个函数有关系呢？ 问题2：已知等比数列分别满足： （2）； ；（4） 求通项公式，并观察通项公式的结构特点 给出问题1，师生共同复习等差数列与一次函数的关系，等比数列的通项公式，引导学生积极思考. 给出问题2，学生独立思考，探究，解答. 师：如果我们把变量换成实数变量， 我们就得到函数 同学们能归纳等比数列通项公式的函数结构特点吗？ 生：都是一个常数和一个指数函数的乘积，即 师：很好，这就是我们今天这节课的主要内容--等比数列与指数函数。 在学习过程中，学会类比的思想方法，探究等比数列通项公式的结构特点。 通过具体的例子，引导学生观察、猜想、归纳，引出等比数列与指数函数的关系。 1分钟 5分钟
（二）新知探究 问题3：我们知道通项公式为一次函数的数列是等差数列，类比等差，如果一个数列的通项公式为，那么它是等比数列吗？ 生：是的，我们可以根据等比数列的定义证明这个数列是等比数列，因为 进一步辨析等比数列与指数函数的关系，引导学生学会类比，学会利用等比数列的定义证明。 2分钟
（三） 新知应用 问题4：请利用指数函数的单调性判断数列（1）（2）（3）（4）的单调性。 生：因为两个函数是增函数，所以数列是递增数列，两个函数是减函数，所以数列是递增数列 追问：你能总结等比数列的单调性与首项和公比的关系吗？ 生：递增；递减 追问：公比的情形呢？ 生：常数列 追问：公比呢 生：正负交替的，不具有单调性 师：很好，我们把这种既不递增也不递减的数列成为摆动数列，反映在图像上是一系列上下波动的点，接下来教师展示图像。 学以致用，利用指数函数的单调性研究等比数列的单调性，进一步巩固数列是一种特殊的函数，我们可以借助函数的性质研究数列的性质 8分钟
（四） 典例剖析 例．若数列分别是公比为的等比数列，那么，，是等比数列吗？ 师：我们可以从那些角度去证明等比数列 生：首先，我们可以根据定义，可以证明都是等比数列，而如果是正项数列也是等比数列，但不一定是等比数列，除非；然后，我们还可以根据等比数列通项与指数函数的关系，我们可以求出通项，然后判断是否是等比数列。 师：回答特别棒，那么从类比的角度来看，我们知道如果是等差数列，那么仍然是等差数列（通项是一次函数），如果等差换成等比呢？ 生（思考一会）：是等比数列（通项是指数函数） 师：我们还可以加个系数 通过典型例题的深入剖析，加深等比数列的通项公式与指数函数的关系，帮助学生建立二者之间的对应关系，同时进一步巩固类比思想和等比数列的定义。 10 分钟
（五）练习巩固 练习1. 若数列是公比为4的等比数列，且，则数列是（ ） 公差为2的等差数列 公差为的等差数列 公比为2的等比数列 公比为的等比数列 练习2.已知等比数列是递减数列，若是方程的两根，求和. 练习3.数列的通项公式是，那么此数列中的最大项为第几项？ 学生上台板书，展示解答过程 通过练习，巩固所学知识，发现学生错误并及时纠正. 练习1巩固等差数列和等比数列通项公式及相互转化；练习2巩固等比数列的单调性的判断；练习练习3拓展利用单调性求最大项和最小项 10分钟
（六）归纳小结 本节课学习了哪些内容？ 使用展示本节课的主要内容. 系统梳理整节课所学内容. 2分钟
六、板书设计
大致板书如下：
（问题1） （问题2） （问题3） 问题4 例题1 演算区(共18张PPT)
等比数列
第2课时
情景与问题
等比数列与指数函数
大家还记得古印度国王奖励国际象棋的发明者达依尔的故事吗 达依尔说“只要在国际象棋棋盘上(共64格)摆上这么些麦子就行了:第一格一粒,第二格两粒,…,后面一格的麦子总是前一格麦子数的两倍,摆满整个棋盘,我就感恩不尽了.”这是典型的指数爆炸增长问题,通过计算可以发现粮食的总量是非常大的
等比数列与指数函数
其实等比数列和指数函数也有着非常密切的关系,今天我们一起来研究一下
知识讲解
等比数列与指数函数
已知等比数列分别满足:
(1), (2),
他们都是一个非零常数 与指数函数得出
可求得两个数列的通项公式为:
(1)
(2)
等比数列与指数函数
等比数列与指数函数
等比数列与指数函数
借助函数的性质来分析等比数列的单调性
指数函数的图象
等比数列的图象
等比数列与指数函数
①当时,指数函数递增,当时,指数函数递减
当时,函数递减
数列递减
若,,那么,则
当时,指数函数递
增,数列递增
等比数列与指数函数
①当时,指数函数递增,当时,指数函数递减
若,,那么,则当时,指数函数递减,数列递减
当时,函数递
增,数列递增
等比数列与指数函数
②当时,等比数列的各项都为常数,其图象是一系列从左至右呈水平状的孤立点
等比数列与指数函数
不为整数时没意义,这一等比数列不能通过指数函数来研究
当为奇数时
当为偶数时
可见该数列是摆动数列,即不递增也不递减
③如果时,等比数列还具有单调性吗
例如:
问题解决
等比数列与指数函数
已知数列,是项数相同的数列
(1)若数列是公差为的等差数列,数列满足
证明数列是等比数列
(2)若数列是公比为的正项等比数列,数列满足
证明数列是等差数列
例1
等比数列与指数函数
证明:
因此数列是公比为的等比数列
(2)因为,所以
因此数列是公差的等差数列
(1)因为,所以
等比数列与指数函数
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