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第2课时　线段的垂直平分线的画法
第15章　15.2　线段的垂直平分线
沪科版（2024）数学八年级上册
1.了解得到线段的垂直平分线的几种方法的原理，能用尺规作已知线段的垂直平分线.(重点)
2.掌握三角形三边垂直平分线的交点的性质及应用.(难点)
学习目标
如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站，使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？
情境引入
一、线段的垂直平分线的画法及应用
问题　怎样得到线段的垂直平分线？
(1)用　　　　量出线段的长，找出线段的　　　　，再过中点用三角板画线段的垂线即可得到线段的垂直平分线；
(2)通过折纸也可以得到线段的垂直平分线.如图，在半透明的纸上画一条线段AA'，折叠使点A与A'　　，得到的　　　所在的直线就是线段AA'的垂直平分线；
刻度尺
中点
重合
折痕l
(3)用尺规作图，作出线段AB的垂直平分线.
作法：
①如图，分别以点A，B为圆心，以大于　 　长为半径画弧，交于点E，F.
②过点E，F作直线.
则直线　　　就是线段AB的垂直平分线.
AB
EF
知识梳理
1.用尺规作线段垂直平分线依据：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.
2.用尺规作线段垂直平分线需注意问题：作图时所画弧的半径一定要大于已知线段长的一半，这是为了保证分别以线段两端点为圆心所画的弧有两个交点.
例1
如图，已知点A、点B以及直线l.
(1)用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使PA=PB；(保留作图痕迹，不要求写出作法)
解　如图所示.
(2)在(1)中所作的图中，若AM=PN，BN=PM，求证：∠MAP=∠NPB.
证明　在△AMP和△PNB中，
所以△AMP≌△PNB(SSS)，
所以∠MAP=∠NPB.
(2025·安徽芜湖镜湖区质检)如图所示，AB是一条线段，AD∥BC.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段AB的垂直平分线(保留作图痕迹，不写作法)；
跟踪训练1
解　如图所示.
证明　因为AD∥BC，所以∠A=∠B.
因为EF 垂直平分AB，所以AO=BO，∠AOE=∠BOF.
在△AOE和△BOF中，
所以△AOE≌△BOF(ASA)，
所以AE=BF.
(2025·安徽芜湖镜湖区质检)如图所示，AB是一条线段，AD∥BC.
(2)若(1)中所作的垂直平分线交AB于点O，交AD于点E，交BC于点F，求证：AE=BF.
跟踪训练1
二、三角形三边垂直平分线的交点及应用
(课本P135例题)已知：如图，△ABC的边AB，AC的垂直平分线相交于点P.
求证：点P在BC的垂直平分线上.
例2
证明　连接PA，PB，PC.
∵点P在AB，AC的垂直平分线上，(已知)
∴PA=PB，PA=PC.
(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)
∴PB=PC.(等量代换)
∴点P在BC的垂直平分线上.
(到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上)
反思感悟
三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等.
在△ABC中，直线m，n分别是边BC，AC的垂直平分线，直线m，n交于点O，过点O作OH⊥AB于点H.求证：AH=BH.
跟踪训练2
证明　如图，连接OA，OB，OC，
因为直线m是边BC的垂直平分线，
所以OB=OC，
因为直线n是边AC的垂直平分线，
所以OA=OC，
所以OA=OB，
因为OH⊥AB，
所以∠AHO=∠BHO=90°，
在△ABC中，直线m，n分别是边BC，AC的垂直平分线，直线m，n交于点O，过点O作OH⊥AB于点H.求证：AH=BH.
跟踪训练2
证明　在Rt△AHO和Rt△BHO中，
所以Rt△AHO≌Rt△BHO(HL)，
所以AH=BH.
1.(2025·广西南宁横州市期末)使用尺规作线段AB的垂直平分线CD的痕迹如图所示，下列说法不正确的是
A.弧①②的半径长一定相等
B.弧③④的半径长一定相等
C.弧②③的半径长一定相等
D.弧①的半径长大于AB长度的一半
√
解析　由作图痕迹得BD=AD，BC=AC，所以A选项和B选项不符合题意；
BC与AD可以相等，也可以不相等，所以C选项符合题意；
BD>AB，所以D选项不符合题意.
2.到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形
A.三边垂直平分线的交点
B.三条高所在直线的交点
C.三条中线的交点
D.三条角平分线的交点
√
3.如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l成轴对称图形.请作出对称轴l.(只保留作图痕迹，不用写作图步骤)
解　如图，连接AA'，作AA'的垂直平分线l，
则直线l即为所求.
4.尺规作图：任意画一个锐角三角形，求作一点P，使P点到三角形的三个顶点距离相等.(不用证明，保留作图痕迹即可)
解　如图，点P即为所求.
作AB和BC的垂直平分线，两条线相交于点P.
5如图，△ABC 中，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，
E，G 分别为垂足，∠DAF=20°．
(1)若△DAF的周长为 6，求BC的长；
(2)求∠BAC的度数．
A
B
C
E
D
G
F
20°
解：(1)∵△DAF 的周长为6，
∴DA+FA+DF=6.
∵DE，FG 分别为AB，AC 的垂直平分线，
∴DA=DB，FA=FC，
∴BC=DB+DF+FC=DA+DF+FA=6.
随堂演练
A
B
C
E
D
G
F
20°
解：(2)∵DA=DB，EA=EB，DE=DE，
∴△DAE ≌△DBE，∴∠DAB＝∠B，
同理：∠FAC=∠C，∴∠DAB+∠FAC=∠ B+∠C.
∵∠DAF=20°，
∴∠DAB+∠ FAC+∠B+∠C
=180°－20°=160°，
∴∠DAB+∠FAC=80°，
∴∠BAC=80°+20°=100°．
如图，△ABC 中，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，
E，G 分别为垂足，∠DAF=20°．
(2)求∠BAC的度数．
随堂演练
如图，AD 为∠ BAC 的平分线，交BC 于点D，AE=AF，请判断线段AD 所在的直线是否为线段EF 的垂直平分线，若是，请给予证明；若不是，请说明理由.
解 ：线段AD所在的直线是线段EF 的垂直平分线.
证明如下：如图，连接DE，DF.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAD=∠FAD.
在△AED和△AFD中，
∴△AED ≌△AFD.(SAS)
随堂演练
谢谢

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