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第1课时　线段垂直平分线的性质与判定
第15章　15.2　线段的垂直平分线
沪科版（2024）数学八年级上册
1.理解线段垂直平分线的性质和判定.(重点)
2.能运用线段垂直平分线的性质和判定进行推理计算.(难点)
学习目标
线段的垂直平分线：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，又叫作线段的中垂线.
课堂引入
一、线段垂直平分线的性质及应用
问题1　如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3…是l上的点，那么点P1，P2，P3…到点A与点B的距离之间有何数量关系？
(1)观察与度量，可以发现P1A=　　，P2A=　　，P3A=　　　，…；
(2)猜想与验证，过程如下：
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在l上.
求证：PA=PB.
证明：因为l⊥　　　　，
所以∠PCA=　 　=90°.
又AC=　　　，PC=　　　，
所以△PCA≌　　　(SAS).
所以PA=　　　.
P1B
P2B
P3B
AB
∠PCB
CB
PC
△PCB
PB
知识梳理
线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离_____.
相等
例1
如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，∠CAD=20°，∠ACB的补角是110°.求证：BE=AC.
证明　如图，连接AE，
因为∠ACB的补角是110°，
所以∠ACB=180°-110°=70°，
因为∠DAC=20°，
所以∠DAC+∠ACD=90°，
所以AD⊥EC，
因为DE=DC，
所以AE=AC，
如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，∠CAD=20°，∠ACB的补角是110°.求证：BE=AC.
证明　因为EF垂直平分AB，
所以AE=BE，
所以BE=AC.
例1
反思感悟
(1)见垂直平分线，注意连接线段端点和垂直平分线上的点，得到线段相等.
(2)能用线段的垂直平分线的性质得到线段相等，就尽量不要再去证明全等.
(1)(2025·安徽蚌埠蚌山区期末)如图，在△ABC中，AB=5，AC=7，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则△ABD的周长是　　.
跟踪训练1
解析　因为DE垂直平分BC，
所以DB=DC，
所以△ABD的周长=AD+BD+AB=AD+CD+AB=AC+AB=7+5=12.
12
(2)如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD于点O.
①求证：△ABC≌△ADC；
证明　因为AC垂直平分BD于点O，
所以AB=AD，CB=CD.
在△ABC和△ADC中，
所以△ABC≌△ADC(SSS).
②图中还有多少对全等的三角形？请把它们写出来.
解　图中还有2对全等三角形.
△ABO≌△ADO，△CBO≌△CDO.
二、线段垂直平分线的判定及应用
问题2　问题1中的条件与结论反过来，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？
已知：如图，PA=PB.
求证：点P在线段AB的垂直平分线上.
证明：过点P作线段AB的垂线PC，垂足为C.
则∠PCA=　 　=90°.
在Rt△PCA和　　　　中，
因为PA=　　，PC=　　，
所以Rt△PCA≌　　　　(HL).
所以AC=BC.
又PC⊥AB，
所以点P在线段AB的　 　　上.
∠PCB
Rt△PCB
PB
PC
Rt△PCB
垂直平分线
知识梳理
线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离 的点在线段的垂直平分线上.
相等
如图，已知E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C，D是垂足，连接CD，与∠AOB的平分线交于点F.求证：OE是CD的垂直平分线.
例2
证明　因为E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，
在△ODE与△OCE中，
所以△ODE≌△OCE(AAS).
所以EC=ED，OC=OD，
所以点O，E在CD的垂直平分线上，
所以OE是CD的垂直平分线.
反思感悟
判定某条直线是线段的垂直平分线时，必须根据“两个”点与线段两端点的距离相等，才能断定过此“两点”的直线是线段的垂直平分线.
(2025·安徽淮南田家庵区期中)如图，在△ABC中，∠BAC>90°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，F，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点M，N，直线EF，MN交于点P.
求证：点P在线段BC的垂直平分线上.
跟踪训练2
证明　如图，连接PA，PB，PC.
因为PE垂直平分AB，PM垂直平分AC，
所以PA=PB，PA=PC，
所以PB=PC，
所以点P在线段BC的垂直平分线上.
1.如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是
A.ED=CD B.AD=BD
C.AB=AC D.BD=AC
√
2.(2025·广西河池凤山县期末)下列条件中，不能判定直线MN是线段AB(M，N不在AB上)的垂直平分线的是
A.MA=MB，NA=NB
B.MA=MB，MN⊥AB
C.MA=NA，MB=NB
D.MA=MB，MN平分AB
√
解析　因为MA=MB，NA=NB，
所以直线MN是线段AB的垂直平分线；
因为MA=MB，MN⊥AB，
所以直线MN是线段AB的垂直平分线；
当MA=NA，MB=NB时，直线MN不一定是线段AB的垂直平分线；
因为MA=MB，MN平分AB，
所以直线MN是线段AB的垂直平分线.
3.如图，在△ABC中，AB=AC=20 cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于点D，若△DBC的周长为35 cm，则BC的长为　　　　.
15 cm
解析　因为DE垂直平分AB，
所以AD=BD，
因为△DBC的周长为35 cm，
所以BC+BD+CD=BC+AD+CD=BC+AC=35(cm)，
因为AC=20 cm，
所以BC=15 cm.
4.如图，在△ABC中，BD，CE相交于点O，∠BEC=∠CDB=90°，且BD=CE.求证：点O在线段BC的垂直平分线上.
证明　因为∠BEC=∠CDB=90°，CE=BD，BC=CB，
所以Rt△BEC≌Rt△CDB，
所以∠ECB=∠DBC，
所以OB=OC，
所以点O在线段BC的垂直平分线上.
5，如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB与E，D为垂足，连结EC.
(1)求∠ECD的度数；(2)若CE=5，求BC的长.
解：(1)∵DE垂直平分AC，∴CE=AE，
∴∠ECD=∠A=36°.
(2)∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=ACB=72°，
又∵∠ECD=36°，
∴∠BCE=∠ACB-∠ECD=36°，
∴∠BEC=72°=∠B，∴BC=EC=5.
随堂演练
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