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(共24张PPT)
第1章　1.3　几何证明举例
第3课时　反证法
1.了解反证法的概念及证明的基本步骤.(重点)
2.会利用反证法证明简单命题.(难点)
学习目标
课堂引入
当一个命题从已知条件出发不易直接证得结论时，还有其他方法吗？
一、反证法的概念
知识梳理
先提出与命题的结论相反的假设，再从假设出发推出矛盾，从而证明命题成立的方法叫作_______.
反证法
例1
(1)在证明“△ABC中至少有一个角大于或等于60°”时，第一步应假设
A.△ABC中没有一个角大于或等于60°
B.△ABC中所有角都大于60°
C.△ABC中有两个角大于或等于60°
D.△ABC中有一个角大于或等于60°
√
(2)用反证法证明“若ab2”时，应假设
A.a≤b B.a≥b
C.a2≤b2 D.a2≥b2
√
(1)反证法的假设待证命题不成立，或是命题的反面成立.
(2)常用的表述与否定表述：
反思感悟
表述 至少有一个 至多有一个 大于 小于
否定表述 一个也没有 至少有两个 小于或等于 大于或等于
跟踪训练1
(1)用反证法证明“在△ABC中，∠A，∠B对边是a，b.若∠A<∠B，则a(2)用反证法证明“若|a|≠|b|，则a≠b”时，应首先设_____；
(3)用反证法证明命题“已知△ABC中，CA=CB，求证：∠A<90°”时，第一步应先假设_________；
(4)用反证法证明命题“已知△ABC的三边长a，b，c(a≤b_____________.
a≥b
a=b
∠A≥90°
△ABC
是直角三角形
二、用反证法证明命题
知识梳理
用反证法证明一个命题，一般有三个步骤：
①否定结论——假设命题的结论不成立；
②推出矛盾——从假设出发，根据已知条件，经过推理，得出一个与命题的条件、定义、基本事实、定理等相矛盾的结果；
③肯定结论——由矛盾判定假设不成立，从而证明命题成立.
例2
(课本P18例4)证明：平行于同一条直线的两条直线平行.
已知：如图，直线a∥c，b∥c.
求证：a∥b.
证明　假设直线a与b不平行，那么a与b相交，设交点为P.
因为a∥c，b∥c(已知)，
所以过点P有两条直线与直线c平行.
这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾.
所以直线a与b不平行的假设是不成立的.
所以a∥b.
宜用反证法的题型：
(1)以否定性判断作为结论的命题；
(2)以“至多”“至少”或“不多于”等形式陈述的命题；
(3)关于“唯一性”结论的命题；
(4)一些不等量命题的证明；
(5)有些基本定理或某一知识体系的初始阶段等等.(如平行线的传递性的证明)
反思感悟
跟踪训练2
证明平行线的性质定理Ⅰ：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.
已知：如图，直线AB∥CD，直线EF与AB，CD分别相交于点G，H.
求证：∠1=∠2.
证明　假设∠1≠∠2.
过点G作直线A'B'，使∠EGB'=∠2.
所以A'B'∥CD(同位角相等，两直线平行).
因为AB∥CD(已知)，
所以过点G就有两条直线AB，A'B'与直线CD平行.
这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾.
所以∠1≠∠2的假设是不成立的.
所以∠1=∠2.
反证法的概念、证明的步骤.
1.在证明“等腰三角形的两个底角是锐角”时，先假设“等腰三角形的两个底角不是锐角”，这种证明方法是
A.举反例法 B.整体代入法
C.反证法 D.数学归纳法
√
2.用反证法证明“已知△ABC中，AB=AC，求证：∠B<90°”时，第一步应先假设________成立
A.∠B≥90° B.∠B>90°
C.∠A>90° D.∠A≥90°
√
3.用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤：
①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，所以∠A=∠B=90°不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设三角形的三个内角∠A，∠B，∠C中有两个直角，不妨设∠A=∠B=90°.
正确的顺序应为
A.①②③　　　　B.①③②　　　　C.②③①　　　　D.③①②
√
4.已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个数中至少有一个大于或等于.
证明　假设这五个数都小于，则五个正数的和一定小于1，与已知矛盾，故原命题正确，即已知五个正数的和等于1，这五个正数中至少有一个大于或等于.
5.“aA.a≠b B.a>b C.a=b D.a≥b
6.用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a//b”，应假设( )
A.a不垂直c B.a，b都不垂直c
C.a⊥b D.a与b相交
D
D
随堂演练
8.用反证法证明“一个三角形中不可能有两个直角”时，应先假设____________________________.
7.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是(　　)
A.两个内角是直角 B.有三个内角是直角
C.至少有两个内角是直角 D.没有一个内角是直角
D
一个三角形中有两个直角
随堂演练
6.用反证法证明：三角形最多有一个直角.
证明：假设△ABC中有两个角是直角，
即∠A=∠B=90°，
∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°，
这与“三角形内角和为180°”相矛盾，
∴假设不成立，即三角形最多只有一个直角.
随堂演练
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