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(共33张PPT)
第1章　1.3　几何证明举例
第2课时　
三角形内角和定理及其推论
青岛版（2024）数学八年级上册
1.探究用多种方法证明三角形内角和定理，知道作辅助线是证明中的重要方法.
2.知道什么叫推论，会证明三角形内角和定理的两个推论.
3.利用三角形内角和定理探索并掌握直角三角的性质定理和判定定理.
学习目标
课堂引入
上学期，我们从基本事实出发说明了“三角形的内角和等于 180°”的正确性.怎样证明它呢？
一、三角形内角和定理
问题1　证明：三角形的内角和等于180°.
已知：如图所示，∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
提示　方法一　如图①，过点A作PQ∥BC，
则∠1=∠B，∠2=∠C(两直线平行，内错角相等).
因为∠1+∠BAC+∠2=180°(平角的定义)，
所以∠B+∠BAC+∠C=180°(等量代换).
方法二　如图②，过点C作CE∥AB，
则∠1=∠A(两直线平行，内错角相等)，
∠B+∠BCE=180°(两直线平行，同旁内角互补).
因为∠BCE=∠BCA+∠1，
所以∠B+∠BCA+∠1=180°(等量代换)，
所以∠B+∠BCA+∠A=180°(等量代换).
方法三　如图③，作BC的延长线CD，过点C作CE∥AB.
所以∠B=∠ECD(两直线平行，同位角相等)，
∠A=∠ACE(两直线平行，内错角相等).
因为∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°(平角的定义)，
所以∠ACB+∠A+∠B=180°(等量代换).
知识梳理
三角形的内角和定理：三角形的内角和等于______.
180°
例1
如图，已知五边形ABCDE.你知道五边形的内角和等于多少度吗？你能运用三角形内角和定理证明吗？
解　五边形的内角和等于540°.证明如下：
如图，连接AC，AD.由三角形内角和定理可知，
∠1+∠2+∠B=180°，
∠3+∠4+∠5=180°，
∠6+∠7+∠E=180°，
所以∠1+∠2+∠B+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠E=540°.
又因为∠BAE=∠1+∠5+∠7，∠BCD=∠2+∠3，∠CDE=∠4+∠6，
所以∠BAE+∠B+∠BCD+∠CDE+∠E=540°.
所以五边形的内角和等于540°.
跟踪训练1
如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F.已知∠A=30°，∠FCD=80°，求∠D的度数.
解　因为DE⊥AB，所以∠FEA=90°.
因为在△AEF中，∠FEA=90°，∠A=30°，
所以∠AFE=180°-∠FEA-∠A=60°.
又因为∠CFD=∠AFE，
所以∠CFD=60°.
所以在△CDF中，∠CFD=60°，∠FCD=80°，
所以∠D=180°-∠CFD-∠FCD=40°.
二、三角形内角和定理的推论
问题2　观察如图，若CE∥AB，则三角形的一个外角∠ACD和与它不相邻的两个内角∠A，∠B之间有怎样的数量关系？
提示　因为CE∥AB，
所以∠ACD=∠ACE+∠ECD=∠A+∠B.
所以∠ACD>∠A，∠ACD>∠B.
知识梳理
1.由基本事实或定理直接推出的真命题叫作_____.
2.三角形内角和定理的推论
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角.
推论
例2
(课本P16例3)如图，在△ABC中，∠B=∠C，D是BC边上的一点.过D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，D.求证：∠FDE=∠C.
证明　因为DE⊥AB，DF⊥BC(已知)，
所以∠DEB=90°，∠FDC=90°(垂直的定义).
因为∠EDC是△EBD的外角(已知)，
所以∠EDC=∠B+∠DEB(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和).
因为∠EDC=∠FDE+∠FDC(已知)，
所以∠FDE+∠FDC=∠B+∠DEB(等量代换).
所以∠FDE+90°=∠B+90°(等量代换).
所以∠FDE=∠B(等式的基本性质).
因为∠B=∠C(已知)，
所以∠FDE=∠C(等量代换).
跟踪训练2
如图，∠A=18°，∠B=42°，∠D=28°，求∠AED的度数.
解　因为∠ACD是△ABC的一个外角，
所以∠ACD=∠A+∠B，
因为∠A=18°，∠B=42°，
所以∠ACD=60°.
因为∠AED是△CDE的一个外角，
所以∠AED=∠ACD+∠D，
因为∠D=28°，∠ACD=60°，
所以∠AED=88°.
三、直角三角的性质定理和判定定理
问题3　在Rt△ABC中，∠C=90°(如图所示)，两个锐角∠A与∠B有什么数量关系？反过来成立吗？
提示　在Rt△ABC中，因为∠A+∠B+∠C=180°，
所以∠A+∠B=180°-∠C.
因为∠C=90°，
所以∠A+∠B=90°.
同样，也可以证明它的逆命题是真命题.
1.直角三角形的性质定理
直角三角形的两个锐角互余.
2.直角三角形的判定定理
有两个角互余的三角形是直角三角形.
知识梳理
例3
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE是∠ABC的平分线.
求证：∠CFE=∠CEF.
证明　因为∠BCA=90°，
所以∠ACD+∠BCD=90°，
因为CD为AB边上的高，
所以CD⊥AB，
所以∠ADC=90°，
所以∠A+∠ACD=90°，
所以∠A=∠BCD，
因为BE是∠ABC的平分线，
所以∠ABE=∠CBE，
因为∠CEF是△ABE的外角，
所以∠CEF=∠A+∠ABE，
因为∠CFE是△CBF的外角，
所以∠CFE=∠BCD+∠CBE，
所以∠CFE=∠CEF.
跟踪训练3
如图，在△ABC中，D为AB上一点，∠A=∠2，
∠1=∠B.
(1)判断△ABC的形状；
解　△ABC是直角三角形，理由如下：
因为∠A=∠2，∠1=∠B，
所以∠A+∠2+∠1+∠B=180°，
所以∠A+∠B=90°，
所以∠ACB=90°，
所以△ABC是直角三角形.
(2)判断CD是否与AB垂直.
解　CD⊥AB，理由如下：
因为∠A+∠B=90°，∠A=∠2，
所以∠2+∠B=90°，
所以∠CDB=90°，所以CD⊥AB.
1.一个三角形三个内角度数的比为2∶7∶3，那么这个三角形是
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
√
2.在△ABC中，∠C=90°，∠A=2∠B，则∠B的度数为
A.20° B.30°
C.40° D.50°
√
解析　在△ABC中，∠C=90°，
则∠A+∠B=90°，
因为∠A=2∠B，所以∠B=30°.
3.如图，AB∥CD，∠A=37°，∠C=63°，那么∠F等于
A.26° B.63°
C.37° D.60°
√
4.如图，D是△ABC的BC边上一点，∠B=∠BAD，∠ADC=80°，∠BAC=70°，
求：(1)∠B的度数；
解　因为∠ADC是△ABD的外角.
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.
又因为∠B=∠BAD，
所以∠B=×80°=40°.
(2)∠C的度数.
解　在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C=180°，
∠C=180°-40°-70°=70°.
谢谢

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