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(共25张PPT)
第1章　1.3　几何证明举例
第1课时
　平行线的性质定理和判定定理
青岛版（2024）数学八年级上册
1.经历平行线的性质定理和判定定理的推理过程，会利用基本事实推理出定理.(重点)
2.了解互逆命题的概念，知道原命题成立时，逆命题不一定成立.了解逆定理的概念.(难点)
学习目标
情境引入
根据基本事实“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”，能够证得平行线的性质定理Ⅰ：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.那么，如何利用它们证明平行线的其他性质和判定定理呢？
一、平行线的性质定理和判定定理
知识梳理
条件 结论
平行 线的 判定 定理 基本事实 同位角相等 两直线平行
定理Ⅰ 内错角相等 两直线平行
定理Ⅱ 同旁内角互补 两直线平行
平行 线的 性质 定理 定理Ⅰ 两直线平行 同位角相等
定理Ⅱ 两直线平行 内错角相等
定理Ⅲ 两直线平行 同旁内角互补
例1
(1)证明平行线的性质定理Ⅱ：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.
已知：如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点O和P.
求证：∠AOP=∠OPD.
证明　因为AB∥CD(已知)，
所以∠OPD=∠EOB(两直线平行，同位角相等).
因为∠EOB=∠AOP(对顶角相等)，
所以∠AOP=∠OPD(等量代换).
(2)证明平行线的性质定理Ⅲ：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.
已知：如图，直线a∥b，∠1和∠2是直线a，b被直线c
截出的同旁内角.
求证：∠1+∠2=180°.
证明　因为a∥b(已知)，
所以∠2=∠3(两条直线平行，同位角相等).
因为∠1+∠3=180°(平角的定义)，
所以∠1+∠2=180°(等量代换).
(3)证明平行线的判定定理Ⅰ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
已知：如图，直线EF分别交AB，CD于点O和P，∠AOP
=∠OPD.
求证：AB∥CD.
证明　因为∠EOB=∠AOP(对顶角相等)，
∠AOP=∠OPD(已知).
所以∠EOB=∠OPD(等量代换).
所以AB∥CD(同位角相等，两直线平行).
(4)证明平行线的判定定理Ⅱ：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
已知：如图，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的同旁
内角，且∠1与∠2互补.
求证：a∥b.
证明　因为∠1与∠2互补(已知)，
所以∠1+∠2=180°(两角互补的定义)，
所以∠2=180°-∠1(等式的性质)，
又因为∠3+∠1=180°(平角的定义)，
所以∠3=180°-∠1(等式的性质)，
所以∠2=∠3(等量代换)，
所以a∥b(同位角相等，两直线平行).
跟踪训练1
(课本P13例1)如图，∠1=∠2.求证：∠3+∠4=180°.
证明　因为∠1=∠2(已知)，
所以AB∥CD(同位角相等，两直线平行).
所以∠3+∠4=180°(两直线平行，同旁内角互补).
二、互逆命题与逆定理
问题　观察例1中的(1)和(3)，(2)和(4)中的两个命题，发现它们的结论和条件有什么关系？
提示　(1)和(2)中命题的条件和结论分别是(3)和(4)中命题的结论和条件.
知识梳理
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫作_________.如果把其中一个命题叫作_______，那么另一个命题叫作它的_______.如果一个定理的逆命题也是真命题，那么这个逆命题叫作原定理的_______.
互逆命题
原命题
逆命题
逆定理
例2
(课本P13例2)写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是真命题还是假命题.
(1)对顶角相等；
解　如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.假命题.
(2)在同一平面内，如果两条直线没有公共点，那么这两条直线平行.
解　在同一平面内，如果两条直线平行，那么这两条直线没有公共点.真命题.
命题的真假与互逆命题之间没有关系，即如果原命题是真命题，逆命题不一定是真命题.
反思感悟
跟踪训练2
先判断下列命题的真假，然后写出逆命题，并判断逆命题的真假.
(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；
解　原命题是真命题.逆命题：如果两条直线只有一个交点，那么它们相交.逆命题是真命题.
(2)如果a>b，那么a2>b2；
解　原命题是假命题.逆命题：如果a2>b2，那么a>b.逆命题是假命题.
(3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；
解　原命题是真命题.逆命题：如果两个数的和为零，那么它们互为相反数.逆命题是真命题.
(4)如果ab<0，那么a>0，b<0.
解　原命题是假命题.逆命题：如果a>0，b<0，那么ab<0，逆命题是真命题.
1.
2.互逆命题、逆命题.
1.如图所示，∠1=75°，要使a∥b，则∠2等于
A.75° B.95°
C.105° D.115°
√
解析　因为∠1的同位角与∠2互为补角，
所以∠2=180°-75°=105°.
2.下列命题的逆命题正确的是
A.若一个整数的各个数位上数字之和是3，那么这个整数能被3整除
B.直角都相等
C.若两个角相等，那么这两个角的补角相等
D.如果a=b，则a2=b2
√
3.如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=40°时，∠1的度数为
A.40° B.45°
C.50° D.55°
√
解析　如图，因为AB∥CD，
所以∠3=∠2，
因为∠2=40°，所以∠3=40°，
所以40°+90°+∠1=180°，所以∠1=50°.
4.如图.(1)从∠1=∠4，可以推出____∥____，
理由是________________________；
(2)从∠ABC +∠______=180°，可以推出AB∥CD，
理由是_________________________；
(3)从∠___=∠___，可以推出AD∥BC，
理由是_______________________；
(4)从∠5=∠_____ ，可以推出AB∥CD，
理由是_______________________.
AB
CD
内错角相等，两直线平行
BCD
同旁内角互补，两直线平行
3
2
内错角相等，两直线平行
ABC
同位角相等，两直线平行
5.如图，已知AC∥DE，∠A=∠D，求证：AB∥CD.
证明　因为AC∥DE，
所以∠ACD=∠D(两直线平行，内错角相等)，
因为∠A=∠D，
所以∠A=∠ACD，
所以AB∥CD(内错角相等，两直线平行).
谢谢

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