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(共28张PPT)
第1章　推理与证明
1.2　证　明
青岛版（2024）数学八年级上册
1.明确推理的意义，知道要判断一个数学结论是否正确，必须进行逻辑推理.(重点)
2.了解基本事实，学会代数推理与几何证明.(难点)
学习目标
情境引入
观察、实验、类比和归纳是我们发现规律，获取一般结论的重要的方法.但是，用这些方法得到的结论一定正确吗？观察图中的两条黑线，他们是直线吗？
一、逻辑推理的必要性
知识梳理
在数学上，仅凭观察、实验、类比、归纳等方法得出的命题，只是一种猜想，并一定正确.若要确定命题是真命题，还需要经过严密的逻辑推理加以证实.
例1
当n=1，2，3，4，5时，代数式n2-3n+7的值是质数吗？你能肯定对于所有的自然数，式子n2-3n+7的值都是质数吗？
解　当n=1，2，3，4，5时，n2-3n+7的值分别是5，5，7，11，17，全是质数.而当n=6时，n2-3n+7=62-18+7=25=52.所以对于所有自然数，式子n2-3n+7的值不都是质数.
举反例是判断一个结论错误的最好方法.
反思感悟
跟踪训练1
当n为正整数时，代数式(n2-5n+5)2的值都等于1吗？
解　当n=1时，(n2-5n+5)2=12=1；
当n=2时，(n2-5n+5)2=(-1)2=1；
当n=3时，(n2-5n+5)2=(-1)2=1；
当n=4时，(n2-5n+5)2=12=1；
当n=5时，(n2-5n+5)2=52=25≠1，
所以当n为正整数时，(n2-5n+5)2不一定等于1.
二、代数推理
知识梳理
1.人们把公认的真命题作为_________.
2.以基本事实为依据来证实其他命题.如“如果a=b，b=c，那么a=c”“如果a>b，b=c，那么a>c”，这两个命题的推理中就用到：一个量可以用它的等量来替换，即_________.这就是一个基本事实.
3.在代数中，可以依据定义、运算法则、运算律、公式、等式(不等式)的基本性质等进行运算和推理.
基本事实
等量代换
例2
(课本P7例1)说明下列命题是真命题：
(1)如果ab=a(a是有理数，且a≠0)，那么b=1；
解　因为ab=a(a是有理数，且a≠0)(已知)，
所以ab÷a=a÷a(等式的基本性质).
所以b=1(除法的运算法则).
(2)如果a，b都是奇数，那么a+b是偶数.
解　因为a，b都是奇数(已知)，
设a=2m+1，b=2n+1，其中m，n是整数(奇数的定义)，
所以a+b=2m+1+2n+1=2(m+n+1)(乘法配律).
因为m，n是整数(已知)，
所以m+n+1是整数(整数的基本性质).
所以2(m+n+1)是偶数(偶数的定义).
所以a+b是偶数(等量代换).
跟踪训练2
说明下列命题是真命题：
(1)如果a-b=-b，那么a=0；
解　因为a-b=-b，(已知)
所以a-b+b=-b+b，(等式的基本性质)
所以a=0.(加法运算法则)
(2)如果a，b都是偶数，那么a-b也是偶数.
解　因为a，b都是偶数，(已知)
设a=2n，b=2m，其中m，n是整数，(偶数的定义)
所以a-b=2n-2m=2(n-m)，(乘法分配律的逆运用)
因为m，n是整数，(已知)
所以n-m是整数，(整数的基本性质)
所以2(n-m)是偶数，(偶数的定义)
所以a-b是偶数.(等量代换)
三、几何证明
1.几何中学过的基本事实：
(1)两点确定一条直线；
(2)两点之间线段最短；
(3)同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
(4)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
(5)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
2.证明：从定义、基本事实及已知条件出发，通过逻辑推理的方法证实命题的过程叫作_____.
知识梳理
证明
3.定理：我们把经过推理证实的真命题叫作_____.
4.定义、定理和基本事实一样，可以作为证明的依据.
5.证明的步骤：
一般地，几何证明过程有以下三个步骤：
(1)根据题意，画出图形；
(2)结合图形，写出“已知”“求证”；
(3)写出“证明”.
知识梳理
定理
例3
(课本P9例2)证明：等角的余角相等.
已知：如图，∠α=∠β，∠1是∠α的余角，∠2是∠β的余角.
求证：∠1=∠2.
证明　因为∠1是∠α的余角，∠2是∠β的余角(已知)，
所以∠1+∠α=90°，∠2+∠β=90°(余角的定义).
所以∠1+∠α=∠2+∠β(等量代换).
因为∠α=∠β(已知)，
所以∠1=∠2(等式的基本性质).
解此类题目，首先分清待证命题的条件和结论，然后把文字语言叙述的条件和结论“翻译”成图形语言和符号语言.
反思感悟
跟踪训练3
求证：直角三角形的两个锐角互余.
已知：如图所示，在△ABC中，∠C=90°，
求证：∠A与∠B互余.
证明　因为∠A+∠B+∠C=180°(三角形内角和等于180°)，
且∠C=90°，(已知)
所以∠A+∠B=180°-∠C=90°，(等式的基本性质)
所以∠A与∠B互余.(两个角互余的定义)
1.下列句子中，是基本事实的是
A.若a=b，b=c，则a=c
B.对顶角相等
C.有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形
D.相等的角一定是对顶角
√
2.如图所示，∠AOB=∠COD=90°，那么∠AOC= ________，依据是________________.
∠BOD
同角的余角相等
解析　因为∠AOB=∠COD=90°，
所以∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°，
根据同角的余角相等，
所以∠AOC=∠BOD.
3.说明下列命题是真命题(a，b均不为0)：
(1)如果a+b=3，那么a=3-b；
解　因为a+b=3，(已知)
所以a+b-b=3-b，(等式的基本性质)
所以a=3-b.(加法运算法则)
(2)如果3a=2b，那么=.
解　因为3a=2b，(已知)
所以=，(等式的基本性质)
所以=.(除法运算法则)
4.在每步后的括号内填写该步推理的依据.
如图，已知直线AB与CD交于点O，ON平分∠DOB，若∠BOC=110°，求∠AON的度数.
解：因为∠BOC=110°，(　　　　　　)
∠BOC+∠BOD=180°，(　　　　　　)
所以∠BOD=180°-110°=70°，
因为ON为∠BOD 的平分线，(　　　　　　)
所以∠BON=∠DON=35°，(　　　　　　)
因为∠AOD=∠BOC=110°，(　　　　　　)
所以∠AON=∠AOD+∠DON=110°+35°=145°.(　　　　　　)
解　因为∠BOC=110°，(已知)
∠BOC+∠BOD=180°，(平角的定义)
所以∠BOD=180°-110°=70°，
因为ON为∠BOD 的平分线，(已知)
所以∠BON=∠DON=35°，(角平分线的定义)
因为∠AOD=∠BOC=110°，(对顶角相等)
所以∠AON=∠AOD+∠DON=110°+35°=145°.(角的和的定义)
谢谢

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