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(共30张PPT)
青岛版（2024）数学七年级上册
第2课时　角的运算中的思想方法
第6章　6.6　余角和补角
通过小组合作解答例题，总结出方程思想、分类讨论思想、整体思想在角的计算中的解题思路，并能准确应用解决角的相关的计算问题.(重点、难点)
学习目标
一、角的计算中方程思想的应用
例1
　　如图，∠AOB，∠COB，∠COD的度数之比是2∶1∶3，且∠AOC+∠DOB=140°，求∠AOD的度数.
解　设∠COB为x°，则∠AOB=2x°，∠COD=3x°，根据题意得x+2x+x+3x=140，
解得x=20，
则∠AOD=2x°+x°+3x°=6x°=6×20°=120°.
反思感悟
在求角的度数时，通常把角的度数设为一个未知数，并根据所求角与角之间的关系列方程，题中以比例形式给出角之间的关系时，通常将每份设为x.
知识梳理
方程思想就是从分析问题的数量关系入手，通过设定未知数，就可以把未知数看成已知数，把未知量与已知量的数量关系转化为方程等数学模型，我们可以用列方程的方法求角的度数.
　　　若∠α和∠β互为余角，∠α和∠γ互为补角，∠β与∠γ的和等于周角的，则这三个角分别为
A.75°，15°，105° B.60°，30°，120°
C.50°，40°，130° D.70°，20°，110°
跟踪训练1
√
解析　设∠α为x°，则∠β为(90-x)°，∠γ为(180-x)°.根据题意得(90-x)+(180-x)=×360.解得x=75，所以∠α=75°，∠β=15°，∠γ=105°.
二、角的计算中分类讨论的应用
　　如图，已知OC是∠AOB的平分线.
(1)当∠AOB=66°时，求∠AOC的度数；
例2
解　因为OC是∠AOB的平分线，
所以∠AOC=∠AOB，
因为∠AOB=66°，所以∠AOC=33°.
(2)在(1)的条件下，∠EOC=90°，请在图中补全图形，并求∠AOE的度数；
解　如图1，
∠AOE=∠COE+∠COA=90°+33°=123°.
如图2，
∠AOE=∠COE-∠COA
=90°-33°=57°.
所以∠AOE的度数为123°或57°.
(3)当∠AOB=α时，∠EOC=90°，直接写出∠AOE的度数(用含α的代数式表示).
解　∠AOE=90°+α或∠AOE=90°-α.
反思感悟
在有关角的计算问题中，经常遇到位置不确定的问题，这类问题往往需要用到分类讨论的方法解决.
知识梳理
分类讨论是指研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究时，我们将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果使整个问题得到解决.
　　　已知∠AOB=45°，OC是∠AOB的一条三等分线，则∠AOC的度数是
A.15° B.30°
C.15°或30° D.不能确定
跟踪训练2
√
解析　当∠AOC=∠AOB时，∠AOC=×45°=15°，
当∠AOC=∠AOB时，∠AOC=×45°=30°，
则∠AOC的度数是15°或30°.
三、角的计算中整体思想的应用
　　如图，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起.
(1)若∠DCE=30°，求∠ACB的度数；
例3
解　因为∠DCE=30°，∠ACD=90°，
所以∠ACE=∠ACD-∠DCE=90°-30°=60°，
因为∠BCE=90°，
所以∠ACB=∠ACE+∠BCE=60°+90°=150°.
(2)试判断∠ACE与∠BCD的大小关系，并说明理由.
解　∠ACE=∠BCD，理由如下：
因为∠ACD=∠BCE=90°，
所以∠ACE+∠ECD=∠BCD+∠ECD=90°，
所以∠ACE=∠BCD.
反思感悟
求解几个角的和时，单个的角不易求出，往往把所要求解的几个角当作一个整体来求.
知识梳理
整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法.
　　　如图所示，OC，OE分别是∠AOD，∠BOD的平分线，且∠AOB=150°，求∠COE的度数.
跟踪训练3
解　因为OC，OE分别是∠AOD，∠BOD的平分线，
所以∠DOE=∠BOD，∠COD=∠AOD，
所以∠COE=∠DOE+∠COD=∠BOD+∠AOD=(∠BOD+∠AOD) =∠AOB=×150°=75°.
1.已知一个角的余角比这个角的补角的小12°，求这个角的度数.
解　设这个角的度数为x°，则它的余角为(90-x)°，它的补角为(180-x)°，
由题意得90-x=(180-x)-12，
解得x=76，
所以这个角的度数是76°.
2.如图，点O为直线AB上一点，将直角三角板OCD的直角顶点放在点O处.已知∠AOC的度数比∠BOD的度数的3倍多10°.
(1)求∠BOD的度数；
解　设∠BOD=x°，
因为∠AOC的度数比∠BOD的度数的3倍多10°，所以∠AOC=(3x+10)°，又因为∠COD=90°，
所以x+(3x+10)+90=180，
解得x=20，所以∠BOD=20°.
(2)若OE，OF分别平分∠BOD，∠BOC，求∠EOF的度数.(写出必要的推理过程)
解　因为OE，OF分别平分∠BOD，∠BOC，
所以∠BOE=∠BOD，∠BOF=∠BOC=(∠BOD+∠COD)，
所以∠EOF=∠BOF-∠BOE=(∠BOD+∠COD)-∠BOD=∠COD=45°.
3.如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，已知∠AOC不是直角，射线OD平分∠AOC，射线OE平分∠BOC，射线OF平分∠DOE.
(1)当∠AOC的度数在0°到90°之间时(不包含0°和90°)，求∠FOB与∠DOC的度数和；
解　因为射线OD平分∠AOC，所以∠AOD=∠COD，
因为射线OE平分∠BOC，
所以∠COE=∠BOE，
因为∠AOC+∠BOC=180°，
所以∠DOE=∠DOC+∠EOC=∠AOC+∠BOC=90°，
因为OF平分∠DOE，所以∠DOF=∠EOF=∠DOE=45°，
所以∠FOB+∠DOC=∠FOB+∠AOD=180°-∠DOF=180°-45°=135°.
(2)若∠DOC=3∠COF，求∠AOC的度数.
解　设∠AOD=∠COD=x°，则∠AOC=2x°，
由(1)的证明过程可知∠DOE=90°，∠DOF=∠EOF=45°，
∠AOC≠90°，此时分两种情况：
①当∠AOC为锐角时，如题图，∠COF=∠DOF-∠COD=(45-x)°，
因为∠DOC=3∠COF，所以x=3(45-x)，
解得x=33.75，
所以∠AOC=2×33.75°=67.5°.
②当∠AOC为钝角时，如图，∠COF=∠COD-∠DOF=(x-45)°，
因为∠DOC=3∠COF，所以x=3(x-45)，
解得x=67.5，
所以∠AOC=2×67.5°=135°.
综上所述，∠AOC=67.5°或135°.
课堂总结
余角
余角和补角
定义：如果两个角的和等于 90°(直角)，就说这两个角互为余角.
性质：同角 (等角) 的余角相等.
补角
定义：如果两个角的和等于 180°(平角)，就说这两个角互为补角.
性质：同角 (等角) 的补角相等.
本课结束

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