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第1课时　余角和补角
第6章　6.6　余角和补角
青岛版（2024）数学七年级上册
1.通过观察图形、猜想、验证的探究过程，总结出余角和补角的定义，能应用互余和互补的定义结合方程思想，解决求角的度数的问题.(重点)
2.通过问题探究，总结出余角和补角的性质，能运用性质解决简单的实际问题.(重点、难点)
学习目标
1.计算：26°18'+73°42'；128°34'+51°26'.
2.时间为三点、六点时，钟面上时针和分针所成的角分别是多少度？
情境引入
一、余角和补角的定义
问题1　如图，通过观察图形，先猜想∠1和∠2有什么关系？∠3和∠4有什么关系？然后通过测量验证你的结论.
提示　∠1+∠2=90°.∠3+∠4=180°.
知识梳理
1.如果两个角的和为90°，就说这两个角 (简称 )，其中一个角叫作另一个角的 .
如图①，∠1与∠2的和为90°，则∠1与∠2互为余角.
几何语言：
因为∠1+∠2=90°，
所以∠1与∠2互为余角.
互为余角
互余
余角
知识梳理
2.如果两个角的和为 ，就说这两个角 (简称 )，其中一个角叫作另一个角的 .
如图②，∠3与∠4的和为180°，则∠3与∠4互为补角.
几何语言：
因为∠3+∠4=180°，
所以∠3与∠4互为补角.
180°
互为补角
互补
补角
例1
　　(1)连线：图中给出的各角，哪些互为余角？
(2)连线：图中给出的各角，哪些互为补角？
(3)若一个角的补角等于它的余角的4倍，求这个角的度数.
解　设这个角为x°，则它的补角为(180-x)°，余角为(90-x)°.
根据题意，可列方程180-x=4(90-x)，
解得x=60.
则这个角的度数是60°.
跟踪训练1
∠α ∠α的余角 ∠α的补角
5° 85° 175°
32° 58° 148°
45° 45° 135°
77° 13° 103°
62°23' 27°37' 117°37'
x°(0观察表格可得结论：
锐角的补角比它的余角大　　.
90°
二、余角和补角的性质
问题2　已知∠1与∠2，∠3都互为余角，那么∠2和∠3的大小有什么关系？
提示　由∠1与∠2，∠3都互为余角，
得∠2=90°-∠1，
∠3=90°-∠1，
所以∠2=∠3.
问题3　已知∠1与∠2互补，∠3与∠4互补.若∠1=∠3，那么∠2和∠4相等吗？为什么？
提示　由∠1与∠2互补，得∠1+∠2=180°，
所以∠2=180°-∠1.
由∠3与∠4互补，得∠3+∠4=180°，
所以∠4=180°-∠3.
又因为∠1=∠3，
所以∠2=∠4.
知识梳理
1.余角的性质
同角或等角的余角 .
2.补角的性质
同角或等角的补角 .
相等
相等
　　如图，D是直线EF上一点，∠CDE=90°，∠1= ∠2，则图中哪些角互为余角？哪些角互为补角？除∠1=∠2外，还有哪些相等的角？
例2
解　互为余角的有：
∠1与∠ADC，∠1与∠BDC，∠2与∠BDC，∠2与∠ADC.
互为补角的有：
∠1与∠ADF，∠2与∠ADF，∠2与∠BDE，∠1与∠BDE，∠EDC与∠FDC.
相等的角有：∠ADC=∠BDC，∠EDB=∠ADF，∠EDC=∠FDC.
反思感悟
互余、互补是两个角的数量关系，与它们的位置无关.
　　 　观察图形，回答下列问题：
跟踪训练2
解　4对.∠A与∠B互余，∠A与∠2互余，
∠1与∠B互余，∠1与∠2互余.
(1)图中有哪几对互余的角，并将它们列举出来；
解　∠B=∠2，∠A=∠1，
理由：同角的余角相等.
(2)图中哪几对角是相等的角(直角除外)？说明它们相等的原因.
1.已知∠A=65°，则∠A的补角等于
A.125° B.105°
C.115° D.95°
√
2.已知α=36°42'，则α的余角等于
A.57°18' B.52°18'
C.53°18' D.36°43'
√
3.已知∠A与∠B互余，∠B与∠C互补，若∠A=60°，则∠C=　　　.
150°
4.如图，已知∠AOC=∠BOD=90°.
(1)若∠BOC=20°，求∠AOB的度数；
解　∵∠BOC=20°，∠AOC=90°，
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=110°.
(2)∠COD与∠AOB互补吗？请说明理由.
解　∠COD与∠AOB互补，理由如下：
∠COD+∠AOB=∠COD+∠BOC+∠AOC
=∠BOD+∠AOC
=180°.
5.如图，点A，O，B在同一直线上，OC，OD分别是∠AOE，∠BOE的平分线．
(1)求∠COD的度数；
解：∵点A，O，B在同一直线上，
∴∠AOE+∠BOE=180°，
又∵OC，OD分别是∠AOE，∠BOE的平分线，
∴∠COD=∠AOE+∠BOE=(∠AOE+∠BOE)=90°；
5.如图，点A，O，B在同一直线上，OC，OD分别是∠AOE，∠BOE的平分线．
(2)写出所有互余的角；
(3)写出所有互补的角．
解： (2)4对，∠AOC与∠EOD，∠AOC与∠BOD，∠COE与∠EOD，∠COE与∠BOD；
(3)5对，∠AOC与∠COB，∠COE与∠BOC，∠EOD与∠AOD，∠BOD与∠AOD，∠AOE与∠BOE．
课堂小结
1.互为余角
如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角，简称“互余”.
2.互为补角
如果两个角的和为180°(平角)，那么称这两个角 互为补角，简称“互补”.
同角或等角的余角相等.
3.余角的性质：
同角或等角的补角相等.
4.补角的性质：
本课结束

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