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6.5　角的比较与运算
第6章　基本的几何图形
青岛版（2024）数学七年级上册
1.通过类比线段的长短的比较，探究出角的比较的方法，体会类比思想，并能准确比较角的大小.(重点)
2.通过观察角的位置与数量关系，从形的角度注意角的运算问题，能够用几何语言表述角的和差倍分.(重点)
3.通过对折一个角，探究角平分线(三等分线)的定义与性质，灵活利用角的平分线解答角的相关计算问题.(重点、难点)
学习目标
类比线段长短的比较，你认为该如何比较两个角的大小？
情境引入
一、角的比较
问题1　我们已经知道了比较两条线段长短的方法，怎样比较两个角的大小？
提示　①度量法比较，②叠合法比较.
知识梳理
1.度量法比较
用量角器量出角的度数，根据度数的大小来比较.
2.叠合法比较
将两个角的顶点及一边重合，把两个角的另一边放在重合边的同侧比较.
注意点：(1)角的顶点必须重合；
(2)一边必须重合，另一边落在重合边的同侧.(“两重一同”)
例1
　　(1)如图，已知两个角∠AOB，∠A'O'B'，观察图形填空(用“=”“>”“<”填空)：
∠AOB　　∠A'O'B'　∠AOB　　∠A'O'B'　∠AOB　　∠A'O'B'
<
=
>
(2)①若∠1=∠2，∠2=∠3，则∠1　　∠3；若∠1>∠2，∠2>∠3，则∠1　　∠3(用“=”“>”“<”填空)；
②归纳：角的大小具有　　性.
=
>
传递
二、角的运算
问题2　图中共有几个比平角小的角？它们之间有什么关系？
提示　图中有3个比平角小的角：∠AOC，∠AOB，∠BOC.
它们的关系：∠AOC是∠AOB与∠BOC的和，记作∠AOC=∠AOB+∠BOC；
∠AOB是∠AOC与∠BOC的差，记作∠AOB=∠AOC-∠BOC；
类似地，∠BOC=∠AOC-∠AOB.
问题3　如图所示：
(1)∠AOC是哪两个角的和？
提示　∠AOC=∠AOB+∠BOC.
(2)∠AOB是哪两个角的差？
提示　∠AOB=∠AOC-∠BOC或∠AOB=∠AOD-∠BOD.
(3)如果∠AOB=∠COD，则∠AOC与∠BOD的大小关系如何？
提示　∠AOC=∠BOD.
知识梳理
角的和差倍分：上一节角的度数的计算是从数的角度计算的，而本节课是从形的角度求角的和差倍分，所以在计算的过程中，一定要结合图形进行解题.
　　如图，O是直线AB上一点，∠AOC=53°17'，求∠BOC的度数.
例2
解　由题意可得∠AOB=180°，∠AOB=∠AOC+∠BOC.
所以∠BOC=∠AOB-∠AOC=180°-53°17'=126°43'.
反思感悟
涉及到度、分、秒的角度的运算时逢60要进位，相减时要借1作60.
　　　已知O是直线MN上介于点M，N之间的一点，∠NOP=58°36'42″，求∠MOP的度数.
跟踪训练1
解　依题意可知∠MON是平角.
因为∠MON=∠MOP+∠NOP，
所以∠MOP=∠MON-∠NOP=180°-58°36'42″=121°23'18″.
三、角的平分线
问题4　在一张纸上画出一个∠AOC并剪下，将这个角对折，使其两边重合，折痕记作OM，它与角两边所成的两个角的大小有什么关系？
提示　∠AOM和∠MOC相等.
知识梳理
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的 .
应用格式
如图①，如果OB是∠AOC的平分线，
那么∠AOC=2∠AOB=2∠BOC，∠AOB=∠BOC=∠AOC.
类似地，还有角的三等分线，如图②，OB，OC是∠AOD的三等分线，∠AOB= =∠COD= ，∠AOD=3∠AOB=3∠BOC=3∠COD.
平分线
∠BOC
∠AOD
　　已知∠AOB=40°，自点O引射线OC，若∠AOC∶∠COB=2∶3.求OC与∠AOB的平分线OD所成的角的度数.
例3
解　分以下两种情况：
①如图1，OC在∠AOB的内部，OD平分∠AOB，
设∠AOC=2x，则∠COB=3x，
因为∠AOB=40°，
所以2x+3x=40°，
解得x=8°，
所以∠AOC=2×8°=16°.
因为OD平分∠AOB，
所以∠AOD=20°，
所以∠COD=∠AOD-∠AOC=20°-16°=4°.
②如图2，OC在∠AOB的外部，OD平分∠AOB，
设∠AOC=2x，
则∠COB=3x，
因为∠AOB=40°，
所以3x-2x=40°，解得x=40°，
所以∠AOC=2×40°=80°，
因为OD平分∠AOB，
所以∠AOD=20°，
所以∠COD=∠AOC+∠AOD=80°+20°=100°.
所以OC与∠AOB的平分线OD所成的角的度数为4°或100°.
反思感悟
涉及到角度的计算时，除常规的和、差、倍、分计算外，通常还需运用方程思想和分类讨论思想解决问题.
　　　把一个平角7等分，每一份是多少度的角(精确到分)？
跟踪训练2
解　180°÷7=25°+5°÷7
=25°+300'÷7
≈25°43'.
即每一份是25°43'的角.
1.如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，则∠α与∠β的大小关系为
A.∠α<∠β B.∠α=∠β
C.∠α>∠β D.无法估测
√
解析　将∠α平移，使∠α与∠β两个角的顶点重合，∠α下边的一条边与∠β下边的一条边重合，
可得∠α上面的一条边在∠β的内部，
所以∠α<∠β.
2.(1)如图①，若∠AOC=35°，∠BOC=40°，则∠AOB=　　；
(2)如图②，若∠AOB=60°，∠BOC=40°，则∠AOC=　　；
(3)若∠AOB=60°，∠AOC=30°，则∠BOC=　　 　　.
75°
20°
30°或90°
3.如图，OC平分∠AOD，∠BOD=2∠AOB.若∠AOD=114°，求∠BOC的度数.
解　因为∠AOD=∠AOB+∠BOD=114°，∠BOD=2∠AOB，
所以∠AOB=∠AOD=38°，
因为OC平分∠AOD，
所以∠AOC=∠AOD=57°，
所以∠BOC=∠AOC-∠AOB=57°-38°=19°.
4.如图，∠AOB=170°，∠AOC=∠BOD=90°，求∠COD的度数.
解　因为∠AOB=170°，∠AOC=∠BOD=90°，
所以∠BOC=∠AOB-∠AOC=170°-90°=80°，
所以∠COD=∠BOD-∠BOC=90°-80°=10°.
角平分线、角的三等分线
角的和差关系
比较两个角的大小
本堂小结
本课结束

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