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第1课时　线段的比较与运算
第6章　6.3　线段的比较与运算
青岛版（2024）数学七年级上册
1.通过比较生活中实物的长短，总结出比较线段的方法，并能应用尺规作图把两条线段用叠合法比较大小.(重点)
2.通过尺规作图，得到线段的和差倍分内容及线段中点的性质，感受数形结合思想.(重点)
3.通过线段和差倍分及中点的应用，掌握线段中点的性质和数量关系，能用方程思想解决问题.(难点)
学习目标
线段的性质：两点之间，线段最短.
课堂引入
一、两条线段的比较与尺规作图
问题1　(1)怎样比较两棵树的高矮？两只铅笔的长度？两个同学的身高？
提示　观察法，度量法，叠合法.
(2)已知：线段AB，CD，试比较线段AB，CD的大小.
提示　我们可用刻度尺分别测量出它们的长度来比较(度量法)或者把其中的一条线段移到另一条上来比较(叠合法).
(3)如果线段不能任意移动，怎么用叠合法比较线段的长短？
提示　让圆规的两个尖分别与AB两个端点重合，利用圆规改变线段的位置，但不改变线段的长度.
知识梳理
1.叠合法：将其中一条线段“移动”，使其一端点与另一条线段的一端点重合，两条线段的另一端点均在同一条射线上，再进行比较.
已知两条线段AB，CD，
(1)点A与点C重合，点B落在C，D之间，这时我们说线段AB小于线段CD，记作AB(2)点A与点C重合，点B落在线段CD的延长线上，这时我们说线段AB大于线段CD，记作AB>CD.
(3)点A与点C重合，点B落在点D上，这时我们说线段AB等于线段CD，记作AB=CD.
知识梳理
2.尺规作图的定义：在数学中，只使用 和 作图的方式称为尺规作图.
无刻度的直尺
圆规
例1
　　如图，已知线段AB，用尺规作一条线段等于已知线段AB.
解　作图步骤如下，
(1)用直尺作射线A'C'；
(2)用圆规在射线A'C'上截取A'B'=AB；
(3)线段A'B'为所求作的线段.
　　 　如图，已知线段a，b，求作线段AB=2a+b.
跟踪训练1
解　作图步骤如下，
(1)作射线AM；
(2)在AM上顺次截取AB1=a，B1B2=a，B2B=b，则线段AB=2a+b.
二、线段的和差倍分及中点
问题2　(1)尺规作图：如图，已知线段a，b，作一条线段，使它等于2a-b.(不写作法，保留作图痕迹)
提示　如图，线段AD即为所求.
(2)如何找到一条绳子的中点呢？如何描述一下线段中点的概念呢？(对照图形)
提示　度量或对折的方法；点M为线段AB上一点，AM=BM，此时M就是线段AB的中点.
知识梳理
1.线段的和、差(可以从数和行两个角度来思考)
如图，已知线段a，b(a>b).
(1)如图①，在射线AE上顺次截取AB=a，
BC=b，此时点C在A，B之外.
线段AC是a与b的 ，记作AC= .
(2)如图②，先在射线AE上截取线段AB=a，
再在线段AB上截取线段BC=b，此时点C在A，B之间.
线段AC是a与b的 ，记作AC= .
和
a+b
差
a-b
知识梳理
2.线段的中点
(1)如果点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，那么点M叫作线段AB的 ，这时，AM=BM=AB，或AB=2AM=2BM.
(2)几何语言：因为点M是线段AB的中点，
所以AM=MB=AB(或AB=2AM=2MB).
反之也成立：因为AM=MB=AB(或AB=2AM=2AB)，
所以点M是线段AB的中点.
中点
　　如图，已知点M是线段AB的中点.
例2
解　因为点M是线段AB的中点，AB=10 cm，
所以AM=AB=×10=5(cm).
(1)若AB=10 cm，求AM的长；
解　因为点M是线段AB的中点，BM=10 cm，
所以AB=2BM=2×10=20(cm).
(2)若BM=10 cm，求AB的长.
　　如图，B，C是线段AD上两点，且AB∶BC∶CD=3∶2∶5，E，F分别是AB，CD的中点，且EF=24，求线段AB，BC，CD的长.
例3
解　设AB=3x，则BC=2x，CD=5x，
因为E，F分别是AB，CD的中点，
所以BE=AB=x，CF=CD=x，
所以EF=BE+BC+CF=x+2x+x=6x.
因为EF=24，所以6x=24，解得x=4.
所以AB=3x=12，BC=2x=8，CD=5x=20.
反思感悟
求线段的长度时，当题目中涉及到线段长度的比例或倍分关系时，通常可以设未知数，运用方程思想求解.
　　　(1)A，B，C三点在同一直线上，线段AB=5 cm，BC=4 cm，那么线段AC的长度是
A.1 cm B.9 cm
C.1 cm或9 cm D.以上答案都不对
跟踪训练2
√
解析　分以下两种情况进行讨论：①当点C在线段AB上时，AC=AB-BC=1(cm)；②当点C在线段AB的延长线上时，AC=AB+BC=9(cm).
(2)已知A，B，C在一条直线上，线段AB=25 cm，BC=16 cm，点E，F分别是线段AB，BC的中点，则线段EF的长为
A.21 cm或4 cm B.20.5 cm
C.4.5 cm D.20.5 cm或4.5 cm
√
解析　当点C在线段AB的延长线上时，EF=EB+BF=AB+BC=20.5(cm)；当点C在线段AB上时，EF=BE-BF=AB-BC=4.5(cm).
(3)如图，点C，D把线段AB三等分，AC=n，则
①CD=BD=AC=　　，AB=　　；
②点C是线段　　的中点，线段BC的中点是点　　；
③在上述条件下，若点P是线段CD的中点，
则CP=　　，AP=　　.
n
3n
AD
D
0.5n
1.5n
1.已知线段AB，以点B为圆心，任意长为半径画弧，交直线AB与点C，D，下列说法不正确的是
A.B是CD的中点 B.AC=AD-2BC
C.AB=AC+BD D.AD=3BD
√
解析　根据画图可知，B是CD的中点，AC=AD-2BC，AB=AC+BC= AC+BD，不能判断AC与BC是否相等，故D不正确.
2.M，N两点的距离是20厘米，有一点P，如果PM+PN=30厘米，那么下面结论正确的是
A.点P必在线段MN上
B.点P必在直线MN外
C.点P必在直线MN上
D.点P可能在直线MN上，也可能在直线MN外
√
解析　根据题意得MN=20 厘米，PM+PN=30 厘米，
所以点P一定不在线段MN上，点P可能在直线MN上，也可能在直线MN外(如图所示).
3.根据图形填空：
(1)如图，AC=　　+　　；
(2)如图，增加一个点D，则AC=　　+　　+　　.
AB
BC
AB
BD
DC
4.如图，点P是线段AB的中点，点C，D把线段AB三等分.已知线段CP=1.5 cm，则线段AB的长为____cm.
解析　因为CD=CP+PD，且AC=CD=DB，
所以AB=AC+CD+DB=6CP=6×1.5=9(cm).
9
1.会比较线段的长短。
2.会用尺规作图画一条线段等于已知线段。
3.根据中点的定义进行简单推理，会计算线段的和与差。
课堂小结
本课结束

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