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第1课时　用合并同类项解一元一次方程
第5章　5.3　一元一次方程的解法
青岛版（2024）数学七年级上册
1.通过回顾和应用等式的基本性质，解形如ax=b的一元一次方程，体会方程中的“化归”思想.(重点)
2.通过合作交流，会利用合并同类项解ax+bx=c的形式的方程，明确解方程的基本步骤和每一步的依据，进一步体会方程中的“化归”思想.(重点)
3.通过找出实际问题中的相等关系，列出方程求解，进一步巩固合并同类项解方程的步骤，体会模型思想的应用.(难点)
学习目标
1.一元一次方程的定义：
方程中只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫作一元一次方程.
2.等式的基本性质：
等式的基本性质1：等式两边都加上(或减去)同一个代数式，结果仍是等式.
如果a=b，那么a±c=b±c.
等式的基本性质2：等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍是等式.
如果a=b，那么ac=bc；如果a=b，c≠0，那么=.
课堂引入
一、利用等式的性质解形如ax=b的一元一次方程
知识梳理
求方程的解的过程，叫作解方程.
解一个以x为未知数的方程，就是把方程转化为x=c(c为常数)的形式.
例1
　　利用等式的性质解方程：-5x=20.
解　方程两边同时除以-5，得
-5x÷(-5)=20÷(-5)，
化简，得x=-4.
反思感悟
(1)解一元一次方程要应用等式的基本性质，将一元一次方程“化归”为“x=a”的形式.
(2)形如ax=b的一元一次方程要应用等式的基本性质2，两边同除以a，从而得到x=.
　　　利用等式的性质解下列方程：-3x=15.
跟踪训练1
解　两边同时除以-3，得x=-5.
二、利用合并同类项解形如ax+bx=c的一元一次方程
问题1　某校三年共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2倍，今年购买数量又是去年的2倍.前年这个学校购买了多少台计算机？(只列方程)
提示　设前年购买计算机x台，则去年购买计算机2x台，今年购买计算机4x台.根据问题中的相等关系：前年购买量+去年购买量+今年购买量=140台，列方程得x+2x+4x=140.
问题2　观察列出的一元一次方程，思考这个一元一次方程能不能变成ax=b的形式？变形的依据是什么？
提示　x+2x+4x=140的左边是整式的加法，可以利用整式的加法运算法则进行计算，x+2x+4x=7x，从而将一元一次方程x+2x+4x=140变形为7x=140，从而将ax+bx=c的形式变成了ax=b的形式，变形的依据是整式的加减中的合并同类项.
问题3　如何解列出的方程？并注明每一步的依据与方法.
提示　x+2x+4x=140.
合并同类项，得7x=140，(合并同类项法则计算：x+2x+4x=7x)
系数化为1，得x=20.(等式的基本性质2，方程两边同除以7)
知识梳理
1.将ax+bx=c方程中的同类项进行合并，把以x为未知数的一元一次方程变形为ax=b(a≠0，a，b为已知数)的形式，然后利用等式的基本性质2，方程两边同时除以a，从而得到x=.
2.利用合并同类项解一元一次方程的步骤：合并同类项，系数化为1.
　　解下列方程：
(1)2x-x=6-8；
例2
解　合并同类项，得-x=-2，
系数化为1，得x=4.
(2)7x-2.5x+3x-1.5x=-15×4-6×3.
解　合并同类项，得6x=-78，
系数化为1，得x=-13.
反思感悟
(1)合并同类项的目的是将原方程转化成ax=b(a≠0)的形式，依据是合并同类项的法则.
(2)系数化为1的依据是等式的基本性质2.将方程ax=b(a≠0)的两边同时除以a，当a为分数时，可将方程两边同时乘a的倒数.
　　 　(1)这是小明做的几道题，请同学们帮他检查一下，如果不对，请纠正.
①4a+a+3a=10.
解：合并同类项，得7a=10，
系数化为1，得a=.
②-2x-4x=2.
解：合并同类项，得-6x=2.
系数化为1，得x=-3.
跟踪训练2
③4x-5x=7.
解：合并同类项，得-x=7，
系数化为1，得x=.
④x-2x-x=10.
解：合并同类项，得-x=10，
系数化为1，得x=-25.
解　①合并同类项，得8a=10，
系数化为1，得a=.
②合并同类项，得-6x=2，
系数化为1，得x=-.
③合并同类项，得-x=7，
系数化为1，得x=-7.
④合并同类项，得-x=10，
系数化为1，得x=-4.
(2)解下列方程：
①5x-2x=9；
解　合并同类项，得3x=9，
系数化为1，得x=3.
②x+x=7.
解　合并同类项，得2x=7，
系数化为1，得x=.
三、根据“总量=各部分量的和”列形如ax+bx=c的一元一次方程解决问题
　　有一列数，按一定规律排列成1，-3，9，-27，81，-243，….其中某三个相邻数的和是-1 701，这三个数各是多少？
例3
解　设所求的三个数分别是x，-3x，9x.
由三个数的和是-1 701，得x-3x+9x=-1 701.
合并同类项，得7x=-1 701.
系数化为1，得x=-243.
所以-3x=729，9x=-2 187.
即这三个数是-243，729，-2 187.
反思感悟
分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是解决实际问题的一种数学方法.
　　　(1)某工厂的产值连续增长，去年是前年的1.5倍，今年是去年的2倍，这三年的总产值为550万元.则前年的产值是多少？
跟踪训练3
解　设前年的产值是x万元.则x+1.5x+2×1.5x=550，解得x=100.
即前年的产值是100万元.
(2)足球表面是由若干个黑色五边形和白色六边形皮块围成的，黑、白皮块数目的比为3∶5，一个足球表面一共有32个皮块，黑色皮块和白色皮块各有多少个？
解　设黑色皮块有3x个，则白色皮块有5x个.
列方程3x+5x=32，解得x=4.
所以3x=12，5x=20，
即黑色皮块有12个，白色皮块有20个.
1.下列方程合并同类项正确的是
A.由 3x-x=-1+3，得 2x=4
B.由 2x+x=-7-4，得 3x=-3
C.由 15-2=-2x+x，得 3=x
D.由 6x-2-4x+2=0，得 2x=0
√
2.如果x=m是方程x-m=1的解，那么m的值是
A.0 B.2 C.-2 D.-6
√
3.请欣赏一首诗：
太阳下山晚霞红，我把鸭子赶回笼，一半在外闹哄哄，一半的一半进笼中，剩下十五围着我，鸭有多少请算清.
根据诗的内容，设共有x只鸭子，列方程为　　　　　.将方程合并同类项，得　　 ，方程两边同时乘　　，得x=　　.
x-x-x=15
x=15
4
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4.解下列方程：
(1)-3x+0.5x=10；
解　合并同类项，得-2.5x=10，
系数化为1，得x=-4.
(2)3y-4y=-25-20.
解　合并同类项，得-y=-45，
系数化为1，得y=45.
5.某洗衣机厂2025年计划生产洗衣机25 500台，其中Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机的数量之比为1∶2∶14，则这三种洗衣机计划各生产多少台？
解　设计划生产Ⅰ型洗衣机x台，则计划生产Ⅱ型洗衣机2x台，Ⅲ型洗衣机14x台，
依题意，得x+2x+14x=25 500，解得x=1 500，
则2x=3 000，14x=21 000.
即计划生产Ⅰ型洗衣机1 500台，Ⅱ型洗衣机3 000台，Ⅲ型洗衣机21 000台.
求方程的解的过程，叫作 。
解一个以x为未知数的方程，就是把方程转化为 的形式。
课堂小结：
利用合并同类项解一元一次方程的一般步骤：
第一步：
第二步：
解方程
x＝c(c为常数)
合并同类项
系数化为1
化简
求解
依据：乘法分配律
依据：等式的基本性质2
本课结束

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