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第六章　二元一次方程组
6．2 二元一次方程组的解法
第1课时 代入消元法
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【答案】C
7. 老师设计了一个解方程组的接力游戏，某学习小组的四名成员每人做一步，每人只能看到前一人给的步骤，并进行下一步计算，再将结果传递给下一人，用合作的方式完成该方程组的解题过程，过程如图所示，合作中出现错误的成员是(　　)　　
A．甲 B．丙 C．乙和丁 D．甲和丙
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【答案】B
8. 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b，2b＋c，2c＋3d，4d.例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16.当接收方收到密文14，9，23，28时，解密得到的明文为(　　)
A．7，7，1，4 B．6，4，1，7
C．4，6，1，7 D．1，6，4，7
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【点拨】由题意可得，a＋2b＝14，2b＋c＝9，2c＋3d＝23，4d＝28，解得a＝6，b＝4，c＝1，d＝7.所以解密得到的明文为6，4，1，7.
【答案】B
9. 对于有理数，规定新运算：x※y＝ax＋by＋xy，其中a，b是常数，已知：2※1＝9，(－3)※3＝－6，则4※6的值为________．
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(2)若方程组的解满足x＋y＝0，求m的值；
(3)当m每取一个值时，2x－2y＋mx＝8就对应一个方程，而这些方程有一组公共解，求这组公共解．
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第六章　二元一次方程组
6．3 二元一次方程组的应用
第2课时 二元一次方程组的应用——行程问题、百分率问题、工程问题
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1. 请欣赏孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪，千里只用五分钟；归时五分行六百，试问风速是多少？大致意思是：孙悟空追寻妖精的行踪，去时顺风，1 000里只用了5分钟，回来时逆风，5分钟只走了600里，则风的速度是每分钟(　　)
A．30里 B．40里 C．50里 D．60里
B
2. “天无三日晴，地无三里平”是一句形容贵州中部地区自然环境的谚语．某工程队在一次高速公路修建过程中，晴天每天修建260 m，雨天每天修建120 m，他们连续修建了1 480 m，平均每天修建148 m，那么这几天中雨天有(　　)
A．4天 B．6天 C．8天 D．10天
C
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3．五一期间，某超市促销，由顾客抽奖决定折扣，某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折(按售价的70%)和九折销售，共付款386元，这两种商品原售价之和为500元，则甲、乙两种商品的原售价分别为________、________．
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320元
180元
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90 km/h
180 km/h
5．[张家口期中]为打造一河两岸景观带，需对一段长
350 m的河边道路进行整治，任务由A，B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治15 m，B工程队每天整治10 m，共用时30天，求两工程队整治的天数．
A工程队整治的天数
A工程队整治道路的总长度
(2)从上述方程组中任选一组，将其补全，解答问题．
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6．广州某工程公司下属的甲工程队、乙工程队分别承包了白云区人和镇的A工程、B工程，甲工程队晴天需要14天完成，雨天工作效率下降30%；乙工程队晴天需要15天完成，雨天工作效率下降20%，实际上两个工程队同时开工，同时完工，两个工程队各工作了(　　)
A．15天 B．16天 C．17天 D．18天
【答案】C
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7．某开发区去年出口创汇额为25亿美元，今年达到30.55亿美元，已知今年上半年出口创汇额比去年同期增长18%，下半年比去年同期增长25%，则去年上半年和下半年的出口创汇额分别是________、________．
10亿美元
15亿美元
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8．[宁波月考]自行车轮胎安装在后轮上只能行驶3 000 km就要报废，安装在前轮上，则可以行驶5 000 km才报废．为使一对轮胎能够行驶尽可能多的路程后报废，在自行车行驶一段路程后，将前后轮胎进行调换，这样安装在自行车上的一对轮胎最多可以行驶多少________km.
3 750
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9. 为落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的精神，某校利用课后服务时间，在七年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共16个班级参加．
(1)比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分．某班级在15场比赛中获得总积分为41分，问该班级胜负场数分别是多少？
(2)根据比赛情况，学校商店对某篮球在甲、乙两校区的销售单价进行了如下调整：甲校区上涨10%，乙校区降价5元．已知销售单价调整前甲校区比乙校区少10元，调整后甲校区比乙校区少1元，求调整前甲、乙两校区该篮球的销售单价．
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10.周末，小明和他的爸爸来到如图所示的运动场进行跑步锻炼，绕运动场一圈的路程为400 m.
(1)若两人同时同起点相向而跑，则经过36 s后首次相遇；若两人同时同起点同向而跑，则经过180 s后，爸爸首次从后面又追上小明，问小明和
爸爸的速度各为多少？
(2)假设爸爸的速度是6 m/s，小明的速度是5 m/s.两人进行400 m赛跑，同时同起点同向出发，等爸爸跑到半圈时，故意降速为4 m/s.按此继续比赛，小明能否在400 m终点前追上爸爸？如果能，求追上时距离终点还有多少米；如果不能，请说明理由．
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第六章　二元一次方程组
6．1 二元一次方程组
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C
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3. 明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？
设哪吒有x个，夜叉有y个，则根据条件所列方程组为(　　)
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D
4．[秦皇岛期中]把3x－4y＝7改写为用含y的式子表示x，得x＝________．
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5．如果(a－2)x|a|－1＋3y＝100是关于x，y的二元一次方程，那么a的值为________．
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－2
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6. 写出二元一次方程2x＋3y＝8的一组整数解：
____________________．
16
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8．已知关于x，y的二元一次方程2x－3y＝t，其取值如下表，则p的值为(　　)
A．9 B．11
C．13 D．15
【点拨】由表格可得2m－3n＝5，2(m＋2)－3(n－2)＝p，将2(m＋2)－3(n－2)＝p整理得2m－3n＝p－10.所以p－10＝5，解得p＝15.
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x m m＋2
y n n－2
t 5 p
D
9. 2025年10月31日，我国神舟二十一号载人飞船成功发射，为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车(两种客车都要租)，若每名师生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有(　　)
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
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【答案】B
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第六章　二元一次方程组
6．2 二元一次方程组的解法
第3课时 用合适的方法解二元一次方程组
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2；1
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解以上方程组比较适合选择的方法是(　　)
A．①②用代入法，③④用加减法
B．①③用代入法，②④用加减法
C．②③用代入法，①④用加减法
D．②④用代入法，①③用加减法
B
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3. 在y＝kx＋b中，当x＝2时，y＝1；当x＝3时，y＝4，则当x＝5时，y＝________.
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10
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【答案】B
6．[邢台月考]如图，约定：上方相邻的左数与右数之差等于这两数下方箭头共同指向的数．
对于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是(　　)
结论Ⅰ：若m的值为－3，则y的值为－1；
结论Ⅱ：不论m，n取何值，2x＋y的值为定值，且满足条件的x和y的非负整数解有3组．
A．Ⅰ和Ⅱ都正确 B．Ⅰ和Ⅱ都不正确
C．Ⅰ正确Ⅱ不正确 D．Ⅰ不正确Ⅱ正确
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【答案】D
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2
1
9．小明和小刚在计算两个正整数相加时，小明在第一个加数后面加了个0，得到的和是126，小刚在第二个加数后面加了个0，得到的结果是72，则这两个正整数的和应该是________．
18
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10. 我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了一道有趣的题目，大意是：100个和尚分100个馒头，刚好分完．大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分1个馒头．问大、小和尚各有多少人？
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11.对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足|x－y|＝1，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”．
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第六章　二元一次方程组
6．3 二元一次方程组的应用
第1课时 二元一次方程组的应用——配套问题、年龄问题、和差倍分问题
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1．甲、乙两数的和为50，且甲数的2倍比乙数大10，则甲、乙两数分别是(　　)
A．30，20 B．10，40 C．20，30 D．40，10
C
2．父子二人，已知10年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍，10年后父亲的年龄是儿子年龄的2倍，则儿子出生时，父亲的年龄是(　　)
A．30岁 B．27岁 C．26岁 D．25岁
A
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3. 2025年亚冬会期间，某工艺厂准备生产亚冬会会徽“超越”和亚冬会吉祥物“滨滨”“妮妮”．该厂主要用甲、乙两种原料，已知生产一套亚冬会会徽需要甲原料和乙原料分别为4盒和3盒，生产一套亚冬会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为5盒和10盒．该厂购进甲、乙原料的量分别为20 000盒和30 000盒，若所进原料全部用完，则该厂能生产亚冬会吉祥物________套．
2 400
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4. 我国交通基础设施建设取得了举世瞩目的成就，建成了全球最大的高速铁路网、高速公路网．这十年，中国铁路、公路一共增加里程约110万公里，其中公路增加里程比铁路增加里程的20倍多0.8万公里，求十年来铁路增加里程和公路增加里程．
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5. 为弘扬革命传统精神，清明节期间，某校组织540名学生前往烈士陵园缅怀革命先烈．现租用大、小两种客车共10辆，恰好能一次性运完全部学生．已知这两种车的限载人数分别为60人和40人，求这两种客车各租用多少辆．
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6．某货运公司临时接到一个任务，从工厂同时运送A，B两种货物各20箱到展馆．货运公司调派甲货车运送A种货物，乙货车运送B种货物，A种货物每箱80 kg，B种货物每箱70 kg.因为两种货物包装箱完全一样，装运工人一时疏忽，使得两车虽然所装货物数量正确，但部分货物却装混了．运送途中安检时，两车过地秤，发现甲车比乙车的货物重160 kg，则甲车货物装错的有(　　)
A．5箱 B．4箱 C．3箱 D．2箱
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【答案】D
7．某工厂有m名工人，每名工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件，其中某产品每套由4个A型零件和3个B型零件配套组成，现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套，现50天恰好完成1 200套产品的生产任务，则m的值为_____．
40
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9．某工厂加工圆柱形的茶叶盒，购买了n块相同的金属板材，已知每块金属板材可以有A，B，C三种裁剪方式，如图，A方式：裁剪成6个圆形底面和1个侧面．B方式：裁剪成3个侧面．C方式：裁剪成9个圆形底面．已知2个圆形底面和1个侧面组成1个圆柱形茶叶盒，且要求圆形底面与侧面恰好配
套．现已有2块金属板材
按C方式裁剪，其余都按
A，B两种方式裁剪．
(1)设有x块金属板材按A方式裁剪，y块金属板材按B方式裁剪．
①可以裁剪出圆形底面共________个(用含x的代数式表示)，侧面共________个(用含x，y的代数式表示)．
(6x＋18)
(x＋3y)
②当n＝20时，最多能加工多少个圆柱形茶叶盒？
(2)现将n块相同的金属板材全部裁剪完，为了使加工成的圆形底面与侧面恰好配套，则n的值可以是__________
(其中40≤n≤50)．
40或45或50
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类别 原材料 出酒率
粮食酒 粮食糟醅(含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水) 30%
芋头酒 芋头糟醅(含芋头、小曲和蒸馏水) 20%
已知第一次实验蒸馏出粮食酒和芋头酒共16 kg；第二次实验蒸馏出粮食酒和芋头酒共36 kg，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍．
(1)求第一次实验分别用了多少千克粮食糟醅和芋头糟醅．
【解】两次实验得到的粮食酒总量为
(40＋40×2)×30%＝36(kg)，
设需要准备z kg大米，则粮食糟醅的质量为4z kg，
由题意可得4z×30%×80%＝36，解得z＝37.5.
答：需要准备37.5 kg大米．
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第六章　二元一次方程组
6．2 二元一次方程组的解法
第2课时 加减消元法
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C
B
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3x－6y＝2
4. 已知a，b都是有理数，观察下表，则m＝________.
3
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a，b的运算 a＋b a－b a＋2b
运算的结果 5 9 m
5. 已知|3x－y－13|＋(x＋y－3)2＝0，则yx的值为_______．
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1
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C
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【答案】A
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【答案】D
10．有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货26吨，则4辆大货车与3辆小货车一次可以运货________吨．
24
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1
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14
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(2)求(2a＋b)2 026的值．
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第六章　二元一次方程组
6．4 三元一次方程组*
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D
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1∶3∶2
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4．已知单项式7a3x＋y－zb12cx＋y＋z与2a3b2x－yc5的和还是单项式，则x＝________，y＝________，z＝________．
4
－4
5
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【点方法】解三元一次方程组时，先消去哪个“元”都是可以的，得到的结果都一样，我们应该根据方程组中各方程的特点选择最为简便的解法，灵活地确定消元步骤和消元方法，不要盲目消元．
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6．在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝－1时，y＝3；当x＝0时，y＝1；当x＝1时，y＝1.求这个等式中a，b，c的值．
7．如图是一个有三条边的算法图，每个“ ”里有一个数，这个数等于它所在边的两个“○”里的数之和，请你通过计算确定三个“○ ”里的数之和，并且确定三个“○”里应填入的数．
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【答案】A
9．[北京西城区期末]现有圆锥、圆柱、球若干个，其中相同形状的几何体大小、质量都相等，将它们分别放在三个天平的托盘中，三个天平都处于平衡状态，用“ ”分别代表圆锥、圆柱、球，示意图如图①②③，其中图③的天平右边托盘中是n个球，那么n的值为(　　)
A．8 B．7 C．6 D．5
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【点拨】设一个圆锥的质量为x，一个圆柱的质量为y，一个球的质量为z，
由题图①得2x＋5z＝3y＋z，整理得2x－3y＝－4z，①
由题图②得3x＋3z＝2x＋2y，整理得x－2y＝－3z，②
由①－②×2，得y＝2z，
将y＝2z代入②，得x－4z＝－3z，则x＝z，
那么2x＋y＋2z＝2z＋2z＋2z＝6z，即n＝6.故选C.
【答案】C
10. 已知在多项式ax2＋bx＋c中，a，b，c为常数，x的取值与多项式对应的值如下表，则n的值为________．
23
x 1 －5 2 －6
ax2＋bx＋c m m＋12 7 n
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【点拨】当x＝1时，a＋b＋c＝m，① 当x＝2时，4a＋2b＋c＝7，② 当x＝－5时，25a－5b＋c＝m＋12，③ 当x＝－6时，36a－6b＋c＝n，④ 由③－①，得24a－6b＝12，即4a－b＝2, 由④－②，得32a－8b＝n－7，所以8(4a－b)＝n－7.所以n－7＝16，解得n＝23.
－15
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12．信息安全保障越来越受到人们重视．已知某加密规则为：明文x，y对应的密文为x＋2y－k，2x＋y－k.若明文x，y互为相反数，接收方收到的密文分别为2和－1，则k的值为____________．
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【点方法】像这种已知未知数之间数量比的问题，通常采用设参数的方法，将“多元”化为“一元”，使解题过程更简便．
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14．在由边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”，顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记
为L，如图，图中的三角形ABC
是格点三角形，其中S＝2，
N＝0，L＝6；
图中格点多边形DEFGHI所对应的S，N，L分别是S＝7，N＝3，L＝10.经探究发现，任意格点多边形的面积S可表示为S＝aN＋bL＋c，其中a，b，c为常数，求当N＝82，L＝38时，S的值．
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