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第七章　相交线与平行线
专项培优4 平行线中常见作辅助线的类型
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B
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答 案 呈 现
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1．如图，∠E＝∠B＋∠D，猜想AB与CD有怎样的位置关系，并说明理由．
【点方法】本题可通过连接B，D两点构造截线BD，进而利用平行线的判定说明AB∥CD.)
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【解】AB∥CD.理由：如图，连接BD.
在三角形BDE中，∠1＋∠2＋∠E＝180°.
∵∠E＝∠3＋∠4，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，
即∠ABD＋∠CDB＝180°.∴AB∥CD.
2. 抖空竹是一种传统杂技节目，是国家级非物质文化遗产之一．某同学观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE＝92°，∠DCE＝121°，则∠AEC的度数是(　　)
A．30° B．29°
C．28° D．27°
【点拨】如图，延长DC交AE于F.∵AB∥CD，
∠BAE＝92°，∴∠CFE＝92°.∵∠DCE＝121°，∴∠ECF＝59°.∴∠AEC＝180°－59°－92°＝29°.
【答案】 B
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3．如图，已知AB∥CD，∠A＝35°，∠E＝105°，则∠C的度数为(　　)
A．65°
B．70°
C．75°
D．60°
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【点拨】如图，过点E作PE∥AB，则∠1＝∠A＝35°.
∵AB∥CD，∴PE∥CD.∴∠C＝∠2＝∠AEC－∠1＝105°－35°＝70°.故选B.
【答案】 B
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4．下列各图中的MA1与NAn＋1平行．
(1)图①中的∠A1＋∠A2＝________，图②中的∠A1＋∠A2＋∠A3＝________，图③中的∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＝________；
(2)第(n－1)个图中的∠A1＋∠A2＋∠A3＋…＋∠An＝__________.
180°
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360°
540°
180°(n－1)
5．如图，已知AB∥CD，点E是平面内一点．若∠D＝65°，∠B＝40°，求∠BED的度数．
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【解】如图，过点E作EF∥AB，
∴∠FEB＝∠B＝40°.
∵AB∥CD，∴EF∥CD.
∴∠FED＝∠D＝65°.
∴∠BED＝∠FED－∠FEB＝25°.
6．如图，AB∥CD.
(1)若∠B＝130°，∠C＝30°，求∠BEC的度数；
【解】如图，过点E向左作EF∥AB，
则∠B＋∠BEF＝180°.∵∠B＝130°，
∴∠BEF＝180°－∠B＝180°－130°＝50°.
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD.∴∠FEC＝∠C.
∵∠C＝30°，∴∠FEC＝30°.
∴∠BEC＝∠BEF＋∠FEC＝50°＋30°＝80°.
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(2)探究∠B，∠C，∠BEC三者之间的数量关系，并说明理由．
【解】∠B＋∠BEC－∠C＝180°.理由如下：如图．
由(1)得∠FEC＝∠C，∠B＋∠BEF＝180°.
∵∠BEF＝∠BEC－∠FEC，
∴∠BEF＝∠BEC－∠C.
∴∠B＋∠BEF＝∠B＋
∠BEC－∠C＝180°.
7．已知：直线AB∥CD，BE—EC是一条折线段，BP平分∠ABE.
(1)如图①，若BP∥CE，试说明：∠BEC＋∠DCE＝180°；
【解】延长DC交BE于点K，交BP于点T，如图①.
∵AB∥CD，∴∠ABT＝∠BTK.∵BP平分∠ABE，
∴∠ABP＝∠PBK.∴∠BTK＝∠TBK.∵BP∥CE，
∴∠BTK＝∠KCE，∠TBK＝∠KEC.
∴∠KCE＝∠KEC.
∵∠KCE＋∠DCE＝180°，
∴∠KEC＋∠DCE＝180°，
即∠BEC＋∠DCE＝180°.
(2)如图②，CQ平分∠DCE，直线BP，CQ交于点F.写出∠E和∠F之间的数量关系，并说明理由．
【解】∠E＋2∠F＝180°.理由如下：
延长AB交FQ于点M，延长DC交BE于点N，如图②.
∵CQ平分∠DCE，∴∠DCQ＝∠ECQ.
设∠ABP＝∠EBP＝α，∠DCQ＝∠ECQ＝β，
∴∠FBM＝∠ABP＝α，∠MBE＝180°－2α，
∠NCE＝180°－2β，∠FCN＝∠DCQ＝β.
∵AB∥DC，∴∠CNE＝∠MBE＝180°－2α，
∠FMB＝∠NCF＝β.∴∠F＝180°－
∠FBM－∠FMB＝180°－α－β＝180°－(α＋β)，
∠E＝180°－∠NCE－∠CNE＝
180°－(180°－2β)－(180°－2α)＝2(α＋β)－180°.
∴∠E＋180°＝2(180°－∠F)．
∴∠E＋2∠F＝180°.
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8．如图，AB∥EF，BC⊥CD，则∠α，∠β，∠γ之间的关系是(　　)
A．∠β＝∠α＋∠γ
B．∠α＋∠β＋∠γ＝180°
C．∠α＋∠β－∠γ＝90°
D．∠β＋∠γ－∠α＝90°
【点拨】如图，分别过C，D作AB的平行线CM和DN.
∵AB∥EF，∴AB∥CM∥DN∥EF.∴∠α＝∠BCM，∠MCD＝∠NDC，∠NDE＝∠γ.
∴∠α＋∠β＝∠BCM＋∠CDN＋
∠NDE＝∠BCM＋∠MCD＋
∠γ.∵BC⊥CD，∴∠BCD＝90°.∴∠α＋∠β＝90°＋∠γ，即∠α＋∠β－∠γ＝90°.故选C.
【答案】 C
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9. 小荣学习了角平分线的定义以及平行线的判定与性质的相关知识后，对角之间的关系进行了拓展探究．如图①，直线AB∥CD，直线AC分别交AB，CD于点A，C，AK，CK分别是∠BAC，∠DCA的平分
线，并且相交于点K.
【问题解决】(1)∠BAC，∠DCA的平分线AK，CK所夹的∠K的度数为________；
90°
【问题探究】(2)如图②，∠BAK，∠DCK的平分线相交于点K1，请写出∠AK1C与∠AKC之间的等量关系，并说明理由；
【拓展延伸】(3)在图③中作∠BAK1，∠DCK1的平分线相交于点K2，作∠BAK2，∠DCK2的平分线相交于点K3，以此类推，作∠BAK2 025，∠DCK2 025的平分线相交于点K2 026，求出∠K2 026的度数．
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第七章　相交线与平行线
阶段综合培优测 相交线
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D
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答 案 呈 现
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145°；5°
65°
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一、选择题(每题4分，共32分)
1. 下面四个选项中，∠1与∠2是对顶角的是(　　)
D
2．[邢台月考]利用三角板或量角器判断，图中哪两点所成的直线能与直线l垂直？(　　)
A．点M和点N
B．点P和点Q
C．点M和点Q
D．点N和点P
C
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3．下列命题中，是假命题的是(　　)
A．对顶角相等
B．正数大于负数
C．垂线段最短
D．若|a|＝|b|，则a＝b
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D
4．如图，河道l的一侧有A，B两个村庄，现要铺设一条管道把河水引向A，B两村，下列四种方案中最节省材料的是(　　)
B
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5．如图，下列说法错误的是(　　)
A．∠1与∠2是同位角
B．∠3与∠4是内错角
C．∠1与∠3是同旁内角
D．与∠A是同旁内角的角共有4个
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C
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6. 如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日某地正午太阳光线与水平面的夹角β为54°.若光能利用率最高，则集热板与水平面的夹角α是(　　)
A．26° B．30°
C．36° D．54°
C
7．在同一个平面内，P是直线l外一点，A，B，C是l上不同的三个点，已知PA＝1，PB＝2，PC＝3，若点P到l的距离是h，则(　　)
A．0＜h≤1 B．h＝1 C．h＝2 D．h＝3
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A
8．[衡阳期末]如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，OD⊥OF，OB平分∠DOG，给出下列结论：①当∠AOF＝60°时，∠DOE＝60°；②OD为∠EOG的平分线；③与∠BOD相等的角有3个；④∠COG＝∠AOB－2∠EOF.其中正确的结论为(　　)
A．①②④ B．②③④
C．①③④ D．①②③④
【点拨】因为OE⊥AB，OD⊥OF，
所以∠BOE＝∠AOE＝∠DOF＝90°.
所以∠AOF＋∠EOF＝90°，∠EOF＋∠EOD＝90°，∠EOD＋∠BOD＝90°.　
所以∠EOF＝∠BOD，∠AOF＝∠DOE.
所以当∠AOF＝60°时，∠DOE＝60°.故①正确；
因为OB平分∠GOD，所以∠GOD＝2∠BOD.
因为∠DOE＝90°－∠BOD，所以∠DOE不一定等于∠GOD.
所以OD不一定是∠EOG的平分线．故②不正确；
因为OB平分∠DOG，所以∠BOD＝∠BOG.
所以∠BOD＝∠BOG＝∠EOF＝∠AOC.故③正确；
因为∠COG＝∠AOB－∠AOC－∠BOG，∠AOC＝∠BOG＝∠EOF，
所以∠COG＝∠AOB－2∠EOF，故④正确．
故其中正确的结论为①③④.
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【答案】C
二、填空题(每题5分，共20分)
9．如图所示，若∠AOB＝35°，则∠BOD＝________；当剪刀口∠AOB增大5°时，∠COD增大________．
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145°
5°
10．如图，直线AB，CD相交于点O，∠2－∠1＝15°，∠3＝130°，则∠2的度数是________．
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65°
11．在如图所示的6个角中，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，则a＋b－c的值为________．
0
【点拨】在题图的6个角中，同位角有∠1与∠6，∠3与∠5，共2对，即a＝2，内错角有∠2与∠3，∠4与∠6，共2对，即b＝2，同旁内角有∠1与∠2，∠2与∠4，∠4与∠5，∠1与∠5，共4对，即c＝4，所以a＋b－c＝2＋2－4＝0.
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12. 已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC，射线OF⊥CD于点O，且∠BOF＝40°，则∠COE＝______．
【点拨】当点F和点C在AB同侧时，根据垂直定义得∠COF＝90°，结合∠BOF＝40°，得∠AOC＝50°，根据角平分线的定义，得∠COE＝25°；当点F和点C在AB异侧时，易得∠BOC＝50°，易得∠AOC＝130°，易得∠COE＝65°.
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65°或25°
三、解答题(共48分)
13．(8分)小明用一副三角板自制对顶角的“小仪器”：第一步将三角板ABC的AC边延长至点P且使AC固定，第二步将另一个三角板CDE的直角顶点与前一个三角板直角顶点重合，摆放成如图所示的方式，
延长DC至点F，∠PCD与∠ACF就是一
组对顶角．已知∠1＝30°，求∠ACF的
度数．
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【解】因为∠ACB＝90°，∠1＝30°，所以∠PCD＝180°－90°－30°＝60°.因为∠PCD＝∠ACF，所以∠ACF＝60°.
14．(10分)两条直线被第三条直线所截，∠1是∠2的同旁内角，∠3是∠2的内错角．
(1)画出示意图；
【解】如图所示(示意图不唯一)．
(2)若∠1＝3∠2，∠2＝3∠3，求∠1，∠2的度数．
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15．(12分)如图，已知直线AB与CD交于点O，EO⊥AB，且∠DOE＝2∠BOD.
(1)求∠COE的度数；
【解】因为EO⊥AB，所以∠BOE＝90°.
所以∠BOD＋∠DOE＝90°.
因为∠DOE＝2∠BOD，所以3∠BOD＝90°.
所以∠BOD＝30°.所以∠DOE＝60°.
所以∠COE＝180°－∠DOE＝120°.
(2)过点O在AB上方作射线OF，若∠COF＝4∠BOF，求∠DOF的度数．
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【解】因为∠BOD＝30°，
所以∠COF＋∠BOF＝180°－∠BOD＝150°.
因为∠COF＝4∠BOF，所以5∠BOF＝150°.
所以∠BOF＝30°.所以∠DOF＝∠BOD＋∠BOF＝60°.
16．(18分)已知：直线AB与直线CD交于点O，过点O在AB上方作OE⊥AB.
(1)如图①，OP为∠AOD内的一条射线，当∠1与∠2满足什么条件时，OP⊥CD？请说明理由．
【解】当∠1＝∠2时，OP⊥CD.理由如下：因为OE⊥AB，所以∠AOE＝90°，即∠AOC＋∠1＝90°.
因为∠1＝∠2，所以∠AOC＋∠2＝90°，即∠POC＝90°.所以OP⊥CD.
(3)如图③，在(2)的条件下，过点O作OF⊥CD，经过点O画直线MN，若射线OM平分∠BOD，请直接写出图中与2∠EOF度数相等的角．
【解】∠AOD，∠BOC，∠FON，∠EOM.
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【点拨】由(2)知∠AOC＝60°.因为射线OM平分∠BOD，∠AOC＝∠BOD，所以∠BOM＝∠DOM＝∠AON＝∠CON＝30°.因为OE⊥AB，OF⊥CD，所以∠AOE＝∠BOE＝∠COF＝90°.所以易得∠AOC＝∠EOF＝60°.所以易得∠AOD＝∠BOC＝∠FON＝∠EOM＝120°＝2∠EOF，所以与2∠EOF度数相等的角是∠AOD，∠BOC，∠FON，∠EOM.(共13张PPT)
第七章　相交线与平行线
专项培优3 平行线的性质在求角的大小中的几种类型
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B
B
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16°
18°
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1．如图，若∠1与∠2互补，∠3＝130°，则∠4等于(　　)
A．75°
B．50°
C．45°
D．135°
B
2．如图，DE平分∠ADC，∠A与∠B互补，∠1＝35°，则∠2＝(　　)
A．95°
B．110°
C．105°
D．100°
B
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3．如图，AC⊥CD于点C，ED⊥CD于点D，AB∥EF，∠CAE＝25°，∠BAE＝10°，则∠DEF的度数为(　　)
A．30°
B．35°
C．40°
D．45°
【点拨】∵AC⊥CD，ED⊥CD，∴∠C＝∠D＝90°.∴AC∥DE.∴∠DEA＝∠CAE＝25°.∵AB∥EF，∠BAE＝10°，∴∠FEA＝∠BAE＝10°.∴∠DEF＝∠DEA＋∠FEA＝25°＋10°＝35°，故选B.
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【答案】 B
4. 如图是螳螂的示意图，AB∥DE，∠ABC＝126°，∠CDE＝70°，则∠BCD的度数为________．
16°
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5. 如图①是指甲剪利用杠杆原理操作，图②是使用指甲剪的侧面示意图，∠CEO＝90°，未使用指甲剪时，杠杆BC与上臂OC重合；使用时，下压点A至A′时，B刚好至B′点，当A′B′∥OE时，两刀片咬合，连接CB′，则此时CB′平分∠OCE，
若∠CB′A′＝126°，
则∠COE的度数
为________．
18°
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【点拨】如图，延长CB′交OE于点H，∵A′B′∥OE，∴∠OHC＝∠CB′A′＝126°.∴∠CHE＝180°－
∠OHC＝54°.∵∠CEO＝90°，∴∠ECH＝90°－∠CHE＝36°.∵CB′平分∠OCE，
∴∠ECO＝2∠ECH＝72°.
∴∠COE＝90°－∠ECO＝
90°－72°＝18°.
6．如图①是一张长方形的纸片，将这张长方形的纸片沿EF折叠成图①的形状．
张明同学发现折叠之后，四边形CDEF
与四边形C′D′EF是完全相同的图形，因
此折痕恰好是∠DED′的平分线．
(1)图①中，若∠DEF＝70°，求∠EMB的值；
【解】∵EF平分∠DED′，∠FED＝70°，
∴∠DED′＝2∠FED＝140°.
∵AD∥BC，∴∠EMB＝∠DED′＝140°.
(2)将长方形纸片的左边沿着EG折叠，右边沿着EF折叠，如图②所示，若两条折痕形成的夹角∠FEG＝70°，求FC′与EA′形成的夹角∠FNE的度数．
【解】根据题意，结合翻折可知，
∠GEA＝∠GEA′，∠DEF＝∠D′EF，
∴∠AED′＝180°－∠DEF－∠D′EF＝180°－2∠D′EF，
∵∠FEG＝70°，∴∠D′EF－∠D′EG＝∠FEG＝70°.
∴∠D′EF＝∠D′EG＋70°.
∵∠D′EA′＝∠GEA′＋∠GEA－∠AED′，
∴∠D′EA′＝2∠GEA′－(180°－2∠D′EF)．
∴∠D′EA′＝2∠GEA′－[180°－2(∠D′EG＋70°)]，
∴∠D′EA′＝2(∠GEA′＋∠D′EG)－40°，
∴∠D′EA′＝2∠D′EA′－40°.∴∠D′EA′＝40°.
∵D′E∥C′F，∴∠ENF＝∠D′EA′＝40°.
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第七章　相交线与平行线
章末培优 全章热门考点整合应用
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35°
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138°
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B
①②④
A
①③⑤
144°
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1．下列语句中，不是命题的是(　　)
A．对顶角相等
B．两条直线不平行就相交
C．延长线段AB到点C，使得BC＝BA
D．同旁内角互补
C
2．[保定开学]命题“在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”是________命题(填“真”或“假”)，其条件是____________________________________．
真
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在平面内，两条直线垂直于同一条直线
3. 对于命题“若|a|＞|b|，则a＞b”，举出能说明这个命题是假命题的一组a，b的值，则a＝________，b＝_____．
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－2
1
(答案不唯一)
4．如图，点P与直线l上的四个点A，B，C，D的所有连线中，最短的线段是(　　)
A．PA
B．PB
C．PC
D．PD
B
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5．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠AOD＝125°，则∠EOC＝________．
返回
35°
6．如图，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB＝5.点D是AB边上的动点(除A，B点外)，则线段CD长度的取值范围是________．
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7．[承德期末]如图是一把剪刀，在使用过程中，若∠COD增加20°，则∠AOB(　　)
A．减少20°
B．增加20°
C．不变
D．增加40°
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B
8．如图，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOC＝70°，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE∶∠EOD＝3∶2，则∠AOE＝________.
138°
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9. (1)如图，请你找出汉字“土”中所有的同位角、内错角、同旁内角；
【解】同位角：∠1与∠5，∠2与∠6；内错角：∠3与∠6，∠4与∠5；同旁内角：∠3与∠5，∠4与∠6.
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(2)写出你姓氏中所有的同位角、内错角、同旁内角．
略．
10. 如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线OA经平面镜后反射入眼，若CB∥OA，∠CBO＝122°，∠BON＝90°，则入射角∠AON的度数为(　　)
A．22°
B．32°
C．35°
D．122°
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B
①②④
【点拨】①∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠BEC.
∵BG平分∠ABE，∴∠ABE＝2∠ABG.
∴∠BEC＝2∠ABG.故①正确．
②如图①，过点F作FH∥CD.
∵AB∥CD，∴AB∥CD∥FH.∴∠BAF＋∠AFH＝180°，∠DEF＝∠EFH.∴∠AFH＝180°－∠BAF＝100°.∵∠AFH＝∠AFE－∠EFH，∴∠AFE－∠EFH＝100°.∴∠AFE－∠DEF＝100°.故②正确．
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12. 如图，已知CD平分∠MCB，FH⊥MB于点H，∠1＝132°，∠2＝∠3，∠MCB＝48°.
(1)试说明：MB⊥CD；
【解】∵∠1＝132°，∠MCB＝48°，
∴∠1＋∠MCB＝180°.∴DE∥BC.∴∠2＝∠DCB.
又∵∠2＝∠3，∴∠3＝∠DCB.
∴HF∥CD.∴∠BHF＝∠BDC.
又∵FH⊥MB，∴∠BDC＝∠BHF＝90°.∴MB⊥CD.
(2)求∠MDE的度数．
返回
【解】∵CD平分∠MCB，∠MCB＝48°，∴∠DCB＝24°.∵∠BDC＝90°，∴∠B＝180°－90°－24°＝66°.
∵DE∥BC，∴∠MDE＝∠B＝66°.
13. 苏州园林中的花窗图案丰富多样，美不胜收．下列花窗图案中可以由一个基本图案经过平移得到的是(　　)
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A
14．[广州期中]如图，在三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3 cm，AC＝4 cm，BC＝5 cm，将三角形ABC沿BC方向平移a cm(a<5)，得到三角形DEF，且AC与DE相交于点G，连接AD.下列结论：①AD∥BC；②AD＝EC＝a cm；
①③⑤
【点拨】由平移的性质可得，AD∥BC，AD＝EB＝CF＝a cm，故①正确，②不正确；
阴影部分的周长为AD＋EC＋AC＋DE＝BE＋EC＋
AC＋AB＝BC＋AC＋AB＝12 cm，故③正确；
a＝2时，四边形ABFD的周长为AB＋BC＋FC＋DF＋AD＝16 cm，三角形ABC的周长比四边形ABFD的周长少4 cm，故④不正确；
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15．如图，已知AO⊥BO，DO⊥CO，∠AOD＝4∠BOC，则∠AOD的度数为________．
144°
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16. 如图，已知直线l1∥l2，直线l3交l1于点C，交l2于点D，P是CD上的一个动点(不与点C，D重合)．当点P在直线CD上运动时，请你探究∠1，∠2，∠3之间的关系．
【解】分三种情况：
(1)当点P在线段CD上
运动时，如图①，过
点P向左作PE∥l1，∴∠APE＝∠1.∵l1∥l2，∴PE∥l2.∴∠BPE＝∠3，∴∠2＝∠APE＋∠BPE＝∠1＋∠3.(2)当点P在l1上方运动时，如图②，过点P向左作PF∥l2，∴∠FPB＝∠3.∵l2∥l1，∴PF∥l1.∴∠FPA＝∠1，∴∠2＝∠FPB－∠FPA＝∠3－∠1.
(3)当点P在l2下方运动时，如图③，过点P向左作PM∥l2，∴∠BPM＝∠3.∵l1∥l2，∴PM∥l1，∴∠APM＝∠1.∴∠2＝∠APM－∠BPM＝∠1－∠3.
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第七章　相交线与平行线
专项培优2 相交线中的角的识别与角度计算
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1．如图，已知四边形ABCD，点E在AD的延长线上．
(1)在图中画出∠DAB的对顶角；
【解】如图，∠GAH即为所求．
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(2)写出∠1的同位角；
(3)写出∠C的同旁内角．
【解】∠1的同位角是∠DAB.
∠C的同旁内角是∠B和∠ADC.
2．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC.
(1)若∠EOC＝60°，求∠BOD的度数；
(2)若∠EOD－∠EOC＝20°，求∠BOD的度数．
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(1)求∠FOG的度数；
(2)写出∠AMO的所有同位角、内错角，并求它们的度数和．
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【解】∠AMO的所有同位角为∠COF，
内错角为∠DOE，∠MOG.
因为∠COM＝120°，所以∠COF＝∠DOE＝60°，
所以∠MOG＝∠DOE＋∠DOG＝120°.
所以∠COF＋∠MOG＋∠DOE＝240°.
4.观察图①～图④，回答下列问题：

(1)请你写出图①、图②、图③和图④中分别有几对同旁内角；
【解】题图①中有2对同旁内角，题图②中有8对同旁内角，题图③中有18对同旁内角，题图④中有32对同旁内角．
返回(共30张PPT)
第七章　相交线与平行线
阶段综合培优测 平行线的性质与判定
1
D
B
B
答 案 呈 现
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2
3
4
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6
A
A
7
8
9
10
11
12
B
20°
80
13
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一、选择题(每题5分，共30分)
1．[湖北中考]数学中的“≠”可以看作两条平行的线段被第三条线段所截而成，放大后如图所示．若∠1＝56°，则∠2的度数是(　　)
A．34° B．44°
C．46° D．56°
D
2．[保定期中]小优把一副三角板在桌面上摆放成如图所示的形状，∠E＝30°.若DE∥AB，则∠1的度数为(　　)
A．65°
B．75°
C．85°
D．95°
B
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3．如图，下列条件无法判定BC∥AD的是(　　)
A．∠1＝∠2＋∠3
B．∠2＝∠4
C．∠3＝∠5
D．∠D＋∠4＋∠5＝180°
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B
4．如图，点D，E，F分别在三角形ABC的边CA，AB，BC上，连接DE，EF，若∠1＝∠B，∠2＝75°，则∠3的度数为(　　)
A．105°
B．95°
C．85°
D．75°
A
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5. 如图，平行于主光轴的光线经过凹透镜后，其折射光线的反向延长线交于主光轴的焦点F.若∠1＋∠2＝35°，则∠AFB的度数为(　　)
A．35° B．55°
C．70° D．145°
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【点拨】如图，根据题意可得AC∥FO，DB∥FO，∴∠AFO＝∠1，∠BFO＝∠2.
∵∠1＋∠2＝35°，∴∠AFB＝∠AFO＋∠BFO＝
∠1＋∠2＝35°.故选A.
【答案】 A
6．[保定月考]题目：“如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝65°，将△MNC沿MN折叠得到△MNC′，若MC′与△ABC的边平行，求∠C′MN的度数．”甲答：∠C′MN＝57.5°，乙答：∠C′MN＝25°，丙答：∠C′MN＝35°，则正确的是(　　)
A．只有甲的答案对
B．甲、乙的答案合在一起才完整
C．乙、丙的答案合在一起才完整
D．三人的答案合在一起才完整
C
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【答案】 B
二、填空题(每题5分，共20分)
7. 如图，直线a，b被直线c所截，添加一个条件：____________________，使a∥b.
∠2＝∠3(答案不唯一)
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8．[沧州期中]如图，已知AB∥CD∥EF，若∠1＝60°，∠3＝140°，则∠2＝________.
20°
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9．如图，AB∥CD，∠1＝150°，∠2＝110°，则∠3＝________°.
80
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10. 如图，将长方形纸片ABCD沿MN折叠得到图①，再沿PM折叠得到图②，已知AB∥CD，AM>DN.
(1)如图①，若∠EPN＝70°，则∠AMN＝________°；
35
(2)如图②，若∠AMG＝k∠CNM，则∠CPM的度数为________°(用含k的代数式表示)．
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三、解答题(共50分)
11．(12分)如图，点D，E分别为三角形ABC的边AB，AC上的点，点F，G分别在BC，AB上，∠AED＝∠C，∠DEF＝∠B，∠EFG＝90°.请说明FG⊥AB.
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【解】∵∠AED＝∠C，∴DE∥BC.
∴∠DEF＝∠EFC.
∵∠DEF＝∠B，∴∠EFC＝∠B.
∴DB∥EF.∴∠AGF＋∠EFG＝180°.
∵∠EFG＝90°，∴∠AGF＝90°.∴FG⊥AB.
12．(18分) 近年来，健康骑行成为一种时尚、环保的运动，深受人们的青睐. 小郑的自行车示意图如图所示，其中AB∥CD，∠ACD＝80°，∠CDB＝60°，∠CAE＝40°.
(1)求∠ABD的度数；
【解】∵AB∥CD，∴∠CDB＋∠ABD＝180°.
∵∠CDB＝60°，∴∠ABD＝120°.
(2)试判断AE与BD的位置关系，并说明理由．
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【解】AE∥BD.理由如下：
∵AB∥CD，∴∠ACD＋∠CAB＝180°.
∵∠ACD＝80°，∴∠CAB＝100°.
∵∠CAE＝40°，∴∠EAB＝60°.
∴∠ABD＋∠EAB＝120°＋60°＝180°.∴AE∥BD.
13．(20分)已知点A在射线CE上，∠C＝∠ADB.
(1)如图①，若AC∥BD，请说明：AD∥BC；
【解】∵AC∥BD，∴∠DAE＝∠D.
∵∠C＝∠D，∴∠DAE＝∠C.∴AD∥BC.
(2)如图②，若BD⊥BC，请探究∠DAE与∠C的数量关系；
【解】∠DAE＋2∠C＝90°.设CE与BD的交点为G.
∵∠D＋∠DAE＋∠DGA＝180°，∠DGA＋∠CGB＝180°，∴∠CGB＝∠D＋∠DAE.∵BD⊥BC，∴∠CBD＝90°.在三角形BCG中，∠CBD＋∠CGB＋∠C＝180°.∴∠CGB＋∠C＝90°.
∴∠D＋∠DAE＋∠C＝90°.
又∵∠D＝∠C，∴2∠C＋∠DAE＝90°.
(3)如图③，在(2)的条件下，∠BAC＝∠BAD，过点D作DF∥BC交射线CE于点F，当∠DFE＝8∠DAE时，求∠BAD的度数．
【解】设∠DAE＝α，则∠DFE＝8α.
∵∠DFE＋∠AFD＝180°，∴∠AFD＝180°－8α.
∵DF∥BC，∴∠C＝∠AFD＝180°－8α.
由(2)知2∠C＋∠DAE＝90°，
∴2(180°－8α)＋α＝90°.∴α＝18°.
∴∠C＝180°－8α＝36°＝∠ADB.
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