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(共31张PPT)
第七章　相交线与平行线
7．2 相交线
第1课时 对顶角与垂线
1
D
B
B
答 案 呈 现
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40或80
30°
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14
D
150
72°
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1．[邯郸期末]下列四个选项中，∠1和∠2是对顶角的是(　　)

A．①④ B．②④ C．①③ D．④
D
2．下列选项中，过点M作直线l的垂线，三角板放置正确的是(　　)
B
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3. 如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西68°的方向，同时观测到轮船C在东南方向，轮船B在OA的反向延长线的方向上，则∠BOC的大小为(　　)
A．24°
B．23°
C．22°
D．21°
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B
4．在同一平面内，过直线外一点作已知直线的垂线，可以作________条．
1
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5．[廊坊期中]如图，某地进行城市规划，在一条新修的公路旁有一家超市，现要在公路上建一个汽车站，为了使超市距离汽车站最近，应建在C处，其依据是________________．
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垂线段最短
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6．如图，AB⊥l1，AC⊥l2，已知AB＝12，BC＝5，AC＝13，则点A到直线l1的距离是________．
12
7. 若两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是(2x－10)°和(110－x)°，则x的值为________．
40或80
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8. 如图是光的反射规律示意图．CO是入射光线，OD是反射光线，法线EO⊥AB，∠COE是入射角，∠EOD是反射角，∠EOD＝∠COE.若∠AOC＝2∠EOD，则∠COE的度数为________．
30°
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【点拨】因为∠EOD＝∠COE，∠AOC＝2∠EOD，所以∠AOC＝2∠COE.因为EO⊥AB，所以∠AOE＝90°.所以∠AOC＋∠COE＝90°.所以2∠COE＋∠COE＝90°.所以∠COE＝30°.
9．[保定期中]如图，直线AB与CD相交于点O，OC平分∠AOE.
(1)若∠BOD＝34°，求∠AOE的度数；
【解】因为∠AOC＝∠BOD，∠BOD＝34°，
所以∠AOC＝34°.因为OC平分∠AOE，
所以∠AOE＝2∠AOC＝2×34°＝68°.
(2)过点O作OF⊥OE，若∠AOE?∠BOE＝2?3，求∠BOF的度数．
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【解】设∠AOE＝2x°，则∠BOE＝3x°，
因为∠AOE＋∠BOE＝180°，
所以2x＋3x＝180，解得x＝36.
所以∠BOE＝3×36°＝108°.
因为OE⊥OF，所以∠EOF＝90°.
所以∠BOF＝∠BOE－∠EOF＝108°－90°＝18°.
10.如图，l是一条水平线，有一条细线，其中一端系着小球，另一端固定在A点，小球由点B出发向点C摆动，B，C的位置均不高出直线l，在小球从左向右摆动的过程中，系小球的线在水平线l下方部分的线段长度(　　)
A．逐渐变短
B．逐渐变长
C．先变短，后变长
D．先变长，后变短
D
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11. 如图为《天工开物》记载的用于舂(chōng)捣谷物的工具“碓(duì)”的平面结构示意图，AB与水平线l相交于点O，AB⊥CD于点B，CF⊥l于点F，OE⊥l.若∠BOE＝60°，则∠BCF的大小为________°.
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150
72°
【点拨】因为OD平分∠AOB，所以∠AOD＝∠BOD.分两种情况：
①如图①，设∠AOD＝∠DOB＝x°，
∠BOE＝y°，则∠EOC＝2y°.根据题意
可知x＋y＝72.由题意易知2x＋3y＝2x＋2y＋y＝2(x＋y)＋y＝180，所以2×72＋y＝180，所以y＝180－2×72＝36.所以∠EOC＝36°×2＝72°；
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②如图②，设∠AOD＝∠DOB＝x°，则∠BOC＝180°－2x°，∠BOE ＝72°＋x°，所以∠EOC＝2∠BOE＝144°＋2x°.因为∠BOE＋∠BOC＋∠EOC＝360°，所以72＋x＋180－2x＋144＋2x＝360，
解得x＝－36(舍去)．
综上，∠EOC＝72°.
13．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，OG平分∠BOD，∠BOD＝α，H是OA上的一点．
(1)过点H作直线CD的垂线HF，垂足为F.
【解】如图，HF即为所作．
(2)在(1)的基础上，求∠FHO的度数(用含α的式子表示)．
【解】因为HF⊥CD，所以∠OFH＝90°.
因为∠HOF＝∠BOD＝α，所以∠FHO＝180°－∠OFH－∠HOF＝90°－α.
(3)探究∠EOG的大小和∠BOD的大小是否有关系？若有，请写出∠EOG的大小和∠BOD的大小的关系；若没有，请说明理由．
【解】∠EOG的大小和∠BOD的大小没有关系．理由如下：因为直线AB，CD相交于点O，所以
∠AOD＋∠BOD＝180°.
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14．如图，点O在直线AB上，OC⊥AB，在三角形ODE中，∠ODE＝90°，∠EOD＝60°，先将三角形ODE的一边OE与OC重合，然后绕点O按顺时针方向旋转，当OE与OB重合时停止旋转．
(1)当OD在OA与OC之间，且∠COD＝20°时，∠AOE＝________.
【点拨】因为OC⊥AB，所以∠AOC＝90°.
因为OD在OA与OC之间，∠COD＝20°，∠EOD＝60°，所以∠COE＝60°－20°＝40°.
所以∠AOE＝∠AOC＋∠COE＝90°＋40°＝130°.
130°
(2)试探索：在三角形ODE旋转的过程中，∠AOD与∠COE大小的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请说明理由．
【解】在三角形ODE旋转的过程中，∠AOD与∠COE大小的差不发生变化．
有两种情况：①如图①.因为
∠AOD＋∠COD＝90°，
∠COD＋∠COE＝60°，
所以易得∠AOD－∠COE＝
90°－60°＝30°.
②如图②.因为∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝90°＋∠COD，∠COE＝∠DOE＋∠DOC＝60°＋∠DOC，所以∠AOD－∠COE＝(90°＋∠COD)－
(60°＋∠COD)＝30°.
综上，在三角形ODE旋转的过程中，
∠AOD与∠COE大小的差不发生变化，
这个差值为30°.
(3)在三角形ODE旋转的过程中，若∠AOE＝7∠COD，试求∠AOE的大小．
【解】如图①.因为∠AOE＝7∠COD，∠AOC＝90°，∠DOE＝60°，所以90°＋60°－∠COD＝7∠COD.
所以∠COD＝18.75°.
所以∠AOE＝7×18.75°＝131.25°.
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如图②.因为∠AOE＝7∠COD，∠AOC＝90°，∠DOE＝60°，所以90°＋60°＋∠COD＝7∠COD.所以∠COD＝25°.所以∠AOE＝7×25°＝175°.
综上，∠AOE的大小为131.25°或175°.(共25张PPT)
第七章　相交线与平行线
7．2 相交线
第2课时 同位角、内错角、同旁内角
1
C
A
D
答 案 呈 现
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3；3
B
7
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11
12
140°
1
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1．[沧州月考]下列各选项中，∠1和∠2不是同位角的是(　　)
C
2．两条直线被第三条直线所截，形成了“三线八角”，为了便于记忆，同学们可用双手表示“三线八角”(两大拇指代表被截直线，食指代表截线)．下列三幅图依次表示(　　)
A．同位角、内错角、同旁内角
B．内错角、同旁内角、同位角
C．同位角、对顶角、同旁内角
D．同位角、内错角、对顶角
A
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3．[保定期中]如图，下列说法中错误的是(　　)
A．∠2与∠5是内错角
B．∠1与∠2是同位角
C．∠4与∠5是同旁内角
D．∠1与∠4是内错角
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D
4．如图，________与∠C是直线BC与________被直线AC所截的同位角，∠ADE与∠DEC是直线AB与AC被直线DE所截的________，________与∠A是直线AB与BC被直线________所截的同旁内角．
∠AED
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DE
内错角
∠C
AC
5．如图，图中内错角共有________对，同旁内角共有________对．
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3
3
【点拨】题图中内错角共有3对，分别是∠AMN与∠DNM，∠GMN与∠DNM，∠BMN与∠CNM.同旁内角共有3对，分别是∠BMN与∠DNM，∠AMN与∠CNM，∠GMN与∠CNM.
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6．如图，试分别判断∠1与∠2，∠1与∠7，∠1与∠BAD，∠2与∠9，∠2与∠6，∠5与∠8的位置关系．
【解】∠1与∠2是同旁内角，∠1与∠7是同位角，∠1与∠BAD是同旁内角，∠2与∠9没有特殊的位置关系，∠2与∠6是内错角，∠5与∠8是对顶角．
7. 如图，图①是某运动员练习掷标枪时的简笔图，图②是其示意图，下列说法：①∠1和∠2是同旁内角；②∠1和∠3是同位角；③∠3和∠4是内错角；④∠4和∠5是对顶角；⑤∠5和∠6是内错角．其中正确的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
B
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8．如图，直线b，c被直线a所截，如果∠1＝58°，∠2＝98°，那么∠3与其内错角的角度之和等于________．
140°
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1
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10. 如图，在三角形ABC所在平面内画一条直线，使得与∠C成同旁内角的角有3个．若与∠C成同旁内角的角有4个，则该怎样画这条直线？
【解】如图①，与∠C成同旁内角的角有3个，分别为∠CED，∠B，∠A.如图②，与∠C成同旁内角的角有4个，分别为∠CFG，∠B，∠CGF，∠A.(画法不唯一)
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11．一个方块从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角．跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从起始位置∠1跳到终点位置∠3写出其中两种不同路径：
路径1：∠1－同旁内角→∠9－内错角→∠3；
路径2：∠1－内错角→∠12－内错角→∠6－同位角→∠10－同旁内角→∠3.
(1)写出从起始位置∠1跳到终点位置∠8的一种路径；
【解】∠1－内错角→∠12－同旁内角→∠8.(答案不唯一)
(2)从起始位置∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点位置∠8？若能，请写出其路径．
【解】能．其路径为：∠1－同位角→∠10－内错角→∠5－同旁内角→∠8.
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12.如图①，若两条直线l1，l2被第三条直线l3所截的同旁内角∠α，∠β满足∠β＝∠α＋30°，则称∠β是∠α的关联角．
(1)已知∠β是∠α的关联角．
①当∠α＝50°时，∠β＝________°；
②当2∠α－∠β＝45°时，求∠α，∠β的度数．
80
(2)如图②，已知∠AGH是∠CHG的关联角，点O是直线EF上一定点．
①请说明∠DHG是∠BGH的关联角；
【解】因为∠AGH是∠CHG的关联角，
所以∠AGH＝∠CHG＋30°.
因为∠DHG＝180°－∠CHG，∠BGH＝180°－∠AGH，所以∠DHG－∠BGH＝180°－∠CHG－(180°－∠AGH)＝∠AGH－∠CHG＝30°.
所以∠DHG＝∠BGH＋30°.
所以∠DHG是∠BGH的关联角．
②过点O的直线MN分别交直线CD，AB于点P，Q，且∠CHG＝80°.当∠EOP是图中某个角的关联角时，请直接写出所有符合条件的∠EOP的度数．
【解】∠EOP的度数为140°或145°或155°.
【点拨】因为∠AGH是∠CHG的关联角，∠CHG＝80°，
所以∠AGH＝∠CHG＋30°＝80°＋30°＝110°.
当直线MN位于如图①所示位置时．
若∠EOP是∠AGO的关联角，则∠EOP＝
∠AGO＋30°＝110°＋30°＝140°；
若∠EOP是∠CPO的关联角，则∠EOP＝∠CPO＋30°.
因为∠CPO＝180°－∠OPH＝∠CHG＋∠HOP＝80°＋(180°－∠EOP)＝260°－∠EOP，所以∠EOP＝260°－∠EOP＋30°.所以∠EOP＝145°.
当直线MN位于如图②所示位置时．
因为∠AGH＝110°，∠CHG＝80°，
所以∠BGH＝180°－∠AGH＝180°－110°＝70°，
∠GHD＝180°－∠CHG＝180°－80°＝100°.
若∠EOP是∠BGO的关联角，则∠EOP＝∠BGO＋30°＝70°＋30°＝100°.因为∠EOP＝180°－∠HOP＝∠GHD＋∠OPH＝100°＋∠OPH＞100°；所以∠EOP＝100°不合题意，舍去．
若∠EOP是∠DPO的关联角，则∠EOP＝∠DPO＋30°.因为∠DPO＝180°－∠OPH＝∠GHP＋∠HOP＝100°＋(180°－∠EOP)＝280°－∠EOP，所以
∠EOP＝280°－∠EOP＋30°.所以∠EOP＝155°.
综上，∠EOP的度数为140°或145°或155°.
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第七章　相交线与平行线
7．6 平面图形的平移
1
C
C
B
答 案 呈 现
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5
6
A
24
7
8
9
10
11
12
1 125
B
①③④
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1．下列生活现象中，属于平移的是(　　)
A．对折一张纸 　　　　B．汽车轮胎在地面上滚动
C．拉开抽屉 　　　　 D．时钟上分针的运动
C
2. 甲骨文是古代刻在龟甲和兽骨上的文字，现在的汉字就是从甲骨文演变来的．下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是(　　)
C
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3．[邢台模拟]如图，将直线l向右平移，当直线l经过点O时，直线l还经过点(　　)
A．M
B．N
C．P
D．Q
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B
4．[南通中考]如图，将三角形ABC沿着射线BC平移得到三角形DEF.若BC＝6，EC＝4，则平移的距离为(　　)
A．2
B．4
C．6
D．8
A
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5．如图，将周长为20的三角形ABC沿BC方向平移2个单位长度得到三角形DEF，连接AD，则四边形ABFD的周长为________．
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24
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6．[承德期末]如图，在长为50 m、宽为30 m的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为5 m，其他部分均种植花草，则种植花草的面积是________m2.
1125
7. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形ABC的三个顶点都在格点处．现将三角形ABC平移得到三角形DEF，使点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F.
(1)请画出平移后的三角形DEF；
【解】如图，三角形DEF即为所求．
(2)求三角形DEF的面积；
(3)若连接AD，CF，则这两条线段之间的关系是__________．
平行且相等
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8. 小明乘电梯从一楼到五楼，向上平移了12 m，若每层楼的高度相同，则他乘电梯从十二楼到一楼(　　)
A．向下平移了28.8 m
B．向下平移了33 m
C．向下平移了26.4 m
D．向下平移了36 m
B
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9．如图，将直角三角形ABC沿斜边AC的方向平移到三角形DEF的位置，DE交BC于点G，连接BE，BG＝2，EF＝5，三角形BEG的面积为1，下列结论：①∠A＝∠BED；②三角形ABC平移的距离是2；③BE＝CF；④四边形GCFE的面积为4.其中，
正确的有________(填序号)．
①③④
【点拨】①∵直角三角形ABC沿斜边AC的方向平移到三角形DEF的位置，∴AB∥DE，AC∥BE.∴∠A＝∠GDC，∠BED＝∠GDC.∴∠A＝∠BED.∴①正确，符合题意．②三角形ABC平移的距离应该是BE的长度，易得∠ABC＝90°.∵AB∥DE，∴∠BGE＝90°，即BG⊥DE.∴BE>BG.∴BE＞2.∴②错误，不符合题意．③由平移的性质可知，BE＝CF.∴③正确，符合题意．
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④∵三角形BEG的面积是1，BG＝2，∴EG＝1×2÷
2＝1.由平移的性质知BC＝EF＝5，∴CG＝5－2＝3.∴四边形GCFE的面积为(5＋3)×1÷2＝4.∴④正确，符合题意．故正确的有①③④.
10．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，三角形ABC的顶点均在方格纸的格点上，将三角形ABC平移后使点A落在直线l上的点A′处，点B，C的对应点分别为点B′，C′.
(1)画出平移后的三角形A′B′C′；
【解】如图，三角形A′B′C′即为所求．
(2)请描述这个平移过程；
【解】三角形ABC先向上平移5个单位长度，再向右平移3个单位长度得到三角形A′B′C′.(平移过程不唯一)
(3)在直线l上找一格点D，使点A′，B′，C′，D所构成的四边形的面积为7(画出符合条件的一个点即可)．
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【解】如图，点D，D′均满足题意．(画出一个即可)
11．如图，直线AB，BC被直线AC所截，D是线段AC上的点，过点D作DE∥AB，连接AE，使∠E＝∠B.将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ.
(1)判断AE与BC的位置关系，并说明理由；
【解】AE∥BC.理由：
∵DE∥AB，∴∠BAE＋∠E＝180°.
∵∠B＝∠E，∴∠B＋∠BAE＝180°.∴AE∥BC.
(2)若∠E＝75°，DE⊥DQ，求∠Q的度数．
【解】如图，过点D作DF∥AE，则∠EDF＝∠E＝75°.
∵DE⊥DQ，∴∠EDQ＝90°.
∴∠FDQ＝∠EDQ－∠EDF＝15°.
由平移的性质，得PQ∥AE，
∴DF∥PQ.
∴∠Q＝∠FDQ＝15°.
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12. 图形在正方形网格(小正方形的边长均为1个单位长度)中沿着网格线平移，规定：若沿水平方向平移的数量为a(向右为正，向左为负，平移|a|个单位长度)，沿竖直方向平移的数量为b(向上为正，向下为
负，平移|b|个单位长度)，则把有序数对
(a，b)叫作这一平移的“平移量”．如图①，
已知三角形ABC，点A按“平移量”(2，－3)
可平移到点C.
(1)点A可看作点B按“平移量”________平移得到；
(2，4)
(2)若将三角形ABC按“平移量”(－1，1)平移得到三角形A1B1C1，请在图①中画出三角形A1B1C1；
【解】如图①所示，三角形A1B1C1即为所求．
(3)将点C按“平移量”(x，y)平移得到点D，使三角形ABD的面积与三角形ABC的面积相等，在图②中画出三角形ABD(画一种情况即可)，并写出对应的x，y.
【解】如图②，三角形ABD即为所求．∵点D由点C按“平移量”(1，2)平移得到，∴x＝1，y＝2.(答案不唯一)
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第七章　相交线与平行线
7．5 平行线的性质
第1课时 平行线的性质
1
B
B
D
答 案 呈 现
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6
130°
110°
7
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11
12
D
C
13
60°
288°
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1. 如图，直线a，b被直线c所截．若a∥b，∠1＝91°，则(　　)
A．∠2＝91°
B．∠3＝91°
C．∠4＝91°
D．∠5＝91°
B
2．[长沙中考]如图，AB∥CD，直线EF与直线AB，CD分别交于点E，F，直线EG与直线CD交于点G.若∠1＝70°，∠2＝50°，则∠GEF的度数为(　　)
A．50°
B．60°
C．65°
D．70°
B
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3．[沧州月考]如图，直线BD∥EF，两个直角三角板按图示摆放，∠ABC＝30°，∠F＝45°，若∠CBD＝10°，则∠1＝(　　)
A．75°
B．80°
C．85°
D．95°
【点拨】∵∠ABC＝30°，∠CBD＝10°，∴∠ABD＝∠ABC＋∠CBD＝30°＋10°＝40°.∵EF∥BD，∴∠FAB＝∠ABD＝40°.∵∠F＝45°，∴∠1＝180°－∠F－∠FAB＝180°－45°－40°＝95°.故选D.
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【答案】 D
4. 近几年中学生近视的现象越来越严重，为解决这一问题，某公司推出了护眼台灯，其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计)如图所示，其中BC⊥AB，ED∥AB，经使用发现，当∠DCB＝140°时，台灯光线最佳，则此时∠EDC的度数为________．
130°
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5．某县积极推进“乡村振兴计划”，要对一段水渠进行扩建．如图，已知现有水渠从A地沿北偏东50°的方向到B地，又从B地沿北偏西20°的方向到C地．现要从C地出发修建一段新水渠CD，使CD∥AB，则∠BCD的度数为________．
110°
【点拨】∵B地在A地的北偏东50°方向上，C地在B地的北偏西20°方向上，∴∠ABC＝180°－50°－20°＝110°.∵CD∥AB，∴∠BCD＝∠ABC＝110°.
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6．[石家庄裕华区期中]已知：如图，EF∥CD，∠1＋∠2＝180°.
(1)判断GD与CA的位置关系，并说明理由；
【解】GD∥CA.理由如下：
∵EF∥CD，∴∠1＋∠ACD＝180°.
∵∠1＋∠2＝180°，∴∠2＝∠ACD.∴GD∥CA.
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(2)若DG平分∠CDB，且∠A＝37°，求∠CDB的度数．
【解】∵GD∥CA，∠A＝37°，∴∠BDG＝∠A＝37°.
∵DG平分∠CDB，∴∠CDB＝2∠BDG＝74°.
7．如图，直线l1∥l2，直线AD与l1，l2 分别相交于点B，C，下列式子中表述正确的是(　　)
A．γ＝2α＋β
B．γ＝α＋2β
C．γ＝α＋β
D．γ＝α＋β－180°
【点拨】∵l1∥l2，∴∠ACE＝α.∴∠DCE＝180°－α.∵∠CED＝180°－β，∴180°－α＋180°－β＋γ＝180°.∴γ＝α＋β－180°.故选D.
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【答案】 D
8. 如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G，若∠ABE＝130°，∠CDF＝150°，则∠EGF的度数是(　　)
A．60° B．70°
C．80° D．90°
【点拨】∵PQ∥AB，CD∥PQ，∴∠ABE＋∠BGP＝180°，∠CDG＋∠DGP＝180°.∵∠ABE＝130°，∠CDF＝150°，∴∠BGP＝50°，∠DGP＝30°.∴∠EGF＝∠BGD＝∠BGP＋∠DGP＝50°＋30°＝80°.故选C.
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【答案】 C
9．[保定期末]如图，AB∥CD∥EF，则∠1，∠2，∠3之间的数量关系为___________________．
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∠2＋∠3－∠1＝180°
【点拨】∵AB∥CD∥EF，∴∠2＋∠BDC＝180°，∠CDE＝∠3.∴∠BDC＝∠CDE－∠1＝∠3－∠1.∴∠2＋∠3－∠1＝180°.
10.如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB，CD，若CD∥BE，且∠1＝30°，则∠2的度数是________．
60°
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【点拨】如图，延长FA，由折叠的性质，
可得∠3＝∠1＝30°.
∵纸带对边互相平行，
∴∠4＝∠1＋∠3＝60°.∵AC∥BD，∴∠EBD＝
180°－∠4＝120°.∵CD∥BE，∴∠2＝180°－
∠EBD＝180°－120°＝60°.
11．如图，若AB∥CD∥EF∥GH，∠OAB＝∠AOG＝108°，AO⊥OE，CO⊥OG，则∠OCD＋∠OEF＝______(这里∠OCD，∠OEF均小于180°)．
288°
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【点拨】如图，过点O作OM∥AB，∴∠BAO＋∠MOA＝180°.又∵∠BAO＝108°，∴∠MOA＝180°－108°＝72°.∵AO⊥OE，∴∠AOE＝90°.
∴∠MOE＝90°－72°＝18°.∵∠AOG＝108°，∴∠EOG＝∠AOG－∠AOE＝108°－90°＝18°.
∵CO⊥OG，∴∠COG＝90°.∴∠MOC＝∠COG－∠MOE－∠EOG＝90°－18°－18°＝54°.∴易得∠OCD＋∠OEF＝(180°×2)－(54°＋18°)＝288°.
12.综合与探究．
已知AB∥CD，E，F分别是AB，CD上的点，点P在AB，CD之间，连接PE，PF.
(1)如图①，若∠AEP＝45°，∠EPF＝80°，
求∠PFC的度数．
【解】如图，过点P作PM∥AB，
所以∠AEP＝∠1.因为AB∥CD，
所以PM∥CD.所以∠2＝∠PFC.
所以∠EPF＝∠1＋∠2＝∠AEP＋∠PFC.
因为∠AEP＝45°，∠EPF＝80°，
所以∠PFC＝∠EPF－∠AEP＝80°－45°＝35°.
(2)如图②，∠AEP与∠CFP的平分线交于点Q，猜想∠EPF与∠EQF之间有何数量关系？并说明理由．
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【解】∠EPF＝2∠EQF.
理由：由(1)可知∠EPF＝∠AEP＋∠CFP，
同理可得∠EQF＝∠AEQ＋∠CFQ.
因为EQ，FQ分别平分∠AEP，∠CFP，
所以∠AEP＝2∠AEQ，∠CFP＝2∠CFQ.
所以∠EPF＝∠AEP＋∠CFP＝2∠AEQ＋2∠CFQ＝2(∠AEQ＋∠CFQ)＝2∠EQF.
13. 将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起，AC与AE重合(如图①)，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠BAC＝30°，∠DAE＝45°.固定三角板ADE不动，
将三角板ABC绕点A顺时针旋转180°
后停止，设三角板ABC旋转得到三
角板AB′C′.
(1)当边AE落在∠B′AC′内时(如图②)，求∠DAC′－∠B′AE的度数；
【解】∵∠DAC′＝∠DAE－∠C′AE＝45°－∠C′AE，∠B′AE＝∠B′AC′－∠C′AE＝30°－∠C′AE，∴∠DAC′－∠B′AE＝45°－∠C′AE－(30°－∠C′AE)＝15°，即∠DAC′－∠B′AE的度数为15°.
(2)三角板ABC绕点A旋转的速度为每秒5°，设旋转时间为
t s．若三角板AB′C′的一边与三角板ADE的某边平行(不包含重合情况)，请求出所有符合条件的t的值．
返回(共24张PPT)
第七章　相交线与平行线
7．4 平行线的判定
1
B
C
B
答 案 呈 现
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D
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C
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1．[江苏中考]如图，将两块相同的直角三角板按图示摆放，则AB与CD平行．这一判断过程体现的数学依据是(　　)
A．垂线段最短
B．内错角相等，两直线平行
C．两点确定一条直线
D．平行于同一条直线的两条直线平行
B
2．如图，不能作为判定AB∥CD的条件的是(　　)
A．∠FEB＝∠ECD
B．∠AEC＝∠ECD
C．∠AEG＝∠DCH
D．∠BEC＋∠ECD＝180°
C
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3．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍按原来的方向前进，那么两次拐弯的方式是(　　)
A．第一次右拐60°，第二次左拐120°
B．第一次左拐60°，第二次右拐60°
C．第一次左拐60°，第二次左拐120°
D．第一次右拐60°，第二次右拐60°
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B
4．[廊坊期末]如图，有下列条件：
①∠1＝∠3；②∠2＝∠3；
③∠4＝∠5；④∠2＋∠4＝180°.
其中，能得到直线l1∥l2的有________个．
3
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5. 如图，一个弯形管道的拐角∠ABC＝120°，若工人师傅准备在点C处对管道进行加工(拐弯)，要保证拐弯后CD与AB平行，则拐角∠BCD的度数是____________．
60°或120°
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【点拨】过点C作CD′∥AB，有两种情况．如图①，∵∠ABC＝120°，CD′∥AB，∴∠BCD′＝180°－120°＝60°；
如图②，∵∠ABC＝120°，CD′∥AB，∴∠BCD′＝
∠ABC＝120°.综上，加工后拐角∠BCD的度数是60°或120°.
6. 如图，已知AB，CD分别与MN交于点F，G，且EF⊥MN，∠BFE＝48°，添加一个条件使得AB∥CD，请写出一个符合要求的条件：_____________________，并说明理由．
∠CGM＝42° (答案不唯一)
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【解】理由：因为EF⊥MN，所以∠EFN＝90°，
所以∠BFN＝∠EFN－∠BFE＝90°－48°＝42°.
又因为∠CGM＝42°，所以∠CGM＝∠BFN，
所以AB∥CD.
7．如图，若∠3＝∠4，则下列条件中，不能判定AB∥CD的是(　　)
A．∠1＝∠2
B．∠1＝∠3且∠2＝∠4
C．∠1＋∠3＝90°且∠2＋∠4＝90°
D．∠1＋∠2＝90°
D
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8. 在如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是(　　)

A．如图①，展开后测得∠1＝∠2
B．如图②，展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4
C．如图③，测得∠1＝∠2
D．如图④，展开后测得∠1＋∠2＝180°
C
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9．如图是由五个完全一样的三角形组成的图案，三角形的三个角分别为36°，72°，72°，则图中共有________对平行线．
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5
10．在同一平面内有2 026条直线a1，a2，…，a2 026，如果a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5，…，以此类推，那么a1与a2 026的位置关系是___________．
【点拨】因为a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5，…，所以a1⊥a2，a1⊥a3，a1∥a4，a1∥a5，a1⊥a6，a1⊥a7，a1∥a8，a1∥a9，…，因为2 026－1＝4×506＋1，所以a1⊥a2 026.
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a1⊥a2 026
11.如图，直线AB和CD被直线MN所截，MN分别交AB，CD于点E，F.
(1)如图①，EG平分∠BEF，FH平分∠DFE(平分的是一对同旁内角)，则∠1与∠2满足_____________时，AB∥CD.
∠1＋∠2＝90°
【点拨】因为EG平分∠BEF，FH平分∠DFE，所以∠BEF＝2∠1，∠DFE＝2∠2.因为∠1＋∠2＝90°，所以∠BEF＋∠DFE＝2(∠1＋∠2)＝180°.所以AB∥CD.
(2)如图②，EG平分∠MEB，FH平分∠DFE(平分的是一对同位角)，则∠1与∠2满足什么条件时，AB∥CD？说明理由．
【解】∠1＝∠2.理由如下：
因为EG平分∠MEB，FH平分∠DFE，
所以∠MEB＝2∠1，∠DFE＝2∠2.
因为∠1＝∠2，所以∠MEB＝∠DFE.
所以AB∥CD.
(3)如图③，EG平分∠AEF，FH平分∠DFE(平分的是一对内错角)，则∠1与∠2满足什么条件时，AB∥CD？说明理由．
【解】∠1＝∠2.理由如下：
因为EG平分∠AEF，FH平分∠DFE，
所以∠AEF＝2∠1，∠DFE＝2∠2.因为∠1＝∠2，所以∠AEF＝∠DFE.所以AB∥CD.
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12. (1)光线从空气射入水中会产生折射现象，光线从水中射入空气也会产生折射现象．如图①，光线AB从空气射入水中，再从水中射入空气，形成光线CD，根据光学知识有∠1＝∠2，∠3＝∠4，
请判断直线AB与直线CD是否平
行，并说明理由．
【解】AB∥CD.理由如下：
如图①，易得∠1＋∠5＝180°，∠2＋∠6＝180°.
因为∠1＝∠2，所以∠5＝∠6.
又因为∠3＝∠4，
所以∠3＋∠5＝∠4＋∠6，
即∠ABC＝∠BCD.
所以AB∥CD.
(2)如图②，直线EF上有两点A，C，分别引两条射线AB，CD，使∠BAF＝110°，∠DCF＝40°，射线AB，CD分别绕点A，C以每秒1°和每秒4°的速度同时顺时针转动．设转动时间为t s，在射线CD转动
一周的时间内，是否存在某一时刻，使
得CD与AB平行？若存在，直接写出所有
满足条件的t值；若不存在，请说明理由．
【解】存在，当t为10或70时，CD∥AB.
【点拨】分三种情况讨论：①如图②，当AB，CD在EF的两侧时，易得∠ACD＝180°－40°－4t°＝140°－4t°，∠BAC＝110°－t°，要使AB∥CD，则需满足∠ACD＝∠BAC，所以140°－4t°＝110°－t°，
解得t＝10.因为(180－40)÷4＝35(s)，
所以0②如图③，当AB，CD都在EF的右侧时，易得∠DCF＝360°－4t°－40°＝320°－4t°，∠BAC＝110°－t°，要使AB∥CD，则需满足∠DCF＝∠BAC，所以320°－4t°＝110°－t°，解得t＝70.因为(360－40)÷4＝80(s)，所以35③当AB，CD都在EF的左侧时，易得∠DCF＝4t°－(360°－40°)＝4t°－320°，∠BAC＝t°－110°，要使AB∥CD，则需满足∠DCF＝∠BAC，所以4t°－320°＝t°－110°，解得t＝70，而此时t>80，故此情况不存在．综上所述，当t为10或70时，CD与AB平行．
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第七章　相交线与平行线
7．1 命题
第2课时 说理
1
C
答 案 呈 现
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1．下列说法中错误的是(　　)
A．定理是真命题
B．基本事实一定不是假命题
C．基本事实与定理没有区别
D．定义、定理、基本事实等都是进行推理的依据
C
2．下列语句，是定理的为________，是基本事实的为________，是定义的为________(填序号)．
①两点之间，线段最短；
②等角的余角相等；
③对应点到旋转中心的距离相等；
④单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数；
⑤如果a＝b，那么a±c＝b±c.
②③⑤
返回
①
④
3．试说明“若∠A＋∠B＝100°，∠C＋∠D＝100°，∠A＝∠C，则∠B＝∠D”是真命题．
以下是排乱的说理过程：①因为∠A＝∠C(已知)；
②因为∠A＋∠B＝100°，∠C＋∠D＝100°(已知)；
③所以∠B＝100°－∠A，∠D＝100°－∠C(等式的基本性质)；④所以∠B＝∠D(等量代换)；
⑤所以∠B＝100°－∠C(等量代换)．
正确的顺序应是______________(填序号)．
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②③①⑤④
4. 阅读下面命题及说理过程，在括号里填上依据：
命题：如图，如果∠AOB＋∠BOC＝180°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，那么∠EOF＝90°.
已知
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角平分线的定义
已知
等量代换
5. 如图，C是线段AB上一点，M是线段BC的中点，试探究2AM与AB＋AC之间的大小关系，并说明理由．
返回
【解】2AM＝AB＋AC.
理由：因为M是线段BC的中点，所以BC＝2CM.
因为C是线段AB上一点，所以BC＝AB－AC.
所以2CM＝AB－AC.
所以2AM＝2(AC＋CM)＝2AC＋AB－AC＝AB＋AC.
6．一个三位数，将该数的个位数字移到百位上，得到一个新的三位数．试说明新三位数与原三位数之差的绝对值一定能被9整除．
【解】设原三位数的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c(a≠0，c≠0)，所以这个三位数为100a＋10b＋c.因为将该数的个位数字移到百位上，得到一个新的三位数，所以这个新的三位数为100c＋10a＋b.
返回
因为|(100c＋10a＋b)－(100a＋10b＋c)|＝|99c－90a－9b|＝9|11c－10a－b|，所以新三位数与原三位数之差的绝对值一定能被9整除．(共30张PPT)
第七章　相交线与平行线
7．3 平行线
1
C
A
B
答 案 呈 现
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c
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C
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14
15
C
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返回
1．在如图的几何体中，上下底面都是平行四边形，各个侧面都是梯形，那么该几何体中与AB平行的线段有(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
C
2．如图，将一张长方形纸对折两次，产生的折痕之间的位置关系是(　　)
A．平行
B．垂直
C．平行或垂直
D．无法确定
A
返回
3．[邯郸期中]如图，已知直线m∥n，则下列能表示直线m，n之间距离的是(　　)
A．线段AB的长
B．线段AC的长
C．线段AD的长
D．线段DE的长
返回
B
4．[秦皇岛期中]如图，两平行线间有一个三角形和一个平行四边形，它们的底分别为a和b.若三角形的面积大于平行四边形的面积，则a、b满足的条件是(　　)
A．a＝b
B．a<2b
C．a＝2b
D．a>2b
D
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5．如图，四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段m平行，请借助直尺，判断该线段是______．
返回
c
返回
6．[唐山月考]如图，MC∥AB，NC∥AB，则点M，C，N在同一条直线上，理由是_________________________
__________________．
过直线外一点有且只有一条
直线与这条直线平行
7. 为响应国家新能源建设，某公交站亭装上了太阳能电池板．当地某一季节的太阳光线(平行光线)与水平线最大夹角为62°.如图，电池板AB与最大夹角时刻的太阳光线相垂直，此时电池板CD与水平线夹角为48°，要使AB∥CD，需将电池板CD至少转动________°.
20
返回
【点拨】因为太阳光线(平行光线)与水平线最大夹角为62°，电池板AB与最大夹角时刻的太阳光线相垂直，所以电池板AB与水平线夹角为90°－62°＝28°.因为电池板CD与水平线夹角为48°，所以要使AB∥CD，需将电池板CD至少转动48°－28°＝20°.
8. 如图，在方格纸中(每个小方格都是正
方形)，有两条线段AB，BC.利用方格
纸完成以下操作：
(1)过点A作BC的平行线；
(2)过点C作AB的平行线，与(1)中所作的平行线交于点D；
(3)过点B作AB的垂线BE，与(1)中所作的平行线交于点E；
(4)用符号表示所作图形中的平行和垂直关系．
返回
【解】(1)(2)(3)如图所示．
(4)AB∥CD，AE∥BC，BE⊥AB.
9. 已知直线a，b，c在同一平面内，且a∥b∥c，a与b之间的距离为5 cm，b与c之间的距离为3 cm，则a与c之间的距离是(　　)
A．2 cm B．8 cm
C．2 cm或8 cm D．以上都不对
返回
【点拨】如图①，a与c之间的距离为5＋3＝8(cm)；如图②，a与c之间的距离为5－3＝2(cm)．所以a与c之间的距离为8 cm或2 cm.故选C.
【答案】 C
10．有8条不同的直线：l1，l2，l3，l4，l5，l6，l7，l8，其中l1∥l2∥l3，l4，l5，l6交于同一点，则这8条直线的交点个数最多为(　　)
A．21 B．22 C．23 D．24
返回
【点拨】如图，因为l1∥l2∥l3，l4，l5，l6交于同一点，所以这6条直线最多有3＋3＋3＋1＝10(个)交点．因为l7最多与前6条直线有6个交点，l8最多与前7条直线有7个交点，所以这8条直线的交点个数
最多为10＋6＋7＝23.故选C.
【答案】 C
11．如图，AB∥DC，ED∥BC，AE∥BD，那么图中与三角形ABD面积相等的三角形有________个．
3
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【点拨】∵AE∥BD，∴S三角形ABD＝
S三角形BDE.∵DE∥BC，∴S三角形BDE＝S三角形EDC.
∴S三角形ABD＝S三角形EDC.∵AB∥CD，∴S三角形ABD＝
S三角形ABC.∴与三角形ABD面积相等的三角形有3个．
12. 操场上有一个正方形沙坑ABDC，如图，AB∥CD，点E是沙坑外的一点，现在要过点E画出起跳线EF，且使EF∥CD，聪明的小明说：“点E距离CD远，距离AB近，直接过点E画AB的平行线就能得到EF∥CD.”请画出满足条件的起跳线EF，并判断小明的说
法是否正确，给出你的理由．
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【解】如图．
小明的说法正确，理由如下：
因为AB∥CD，EF∥AB，
所以EF∥CD.
13．如图，点A在CF上，CE⊥DG于点C，∠BAF＝46°，∠ACE＝136°，那么DG与AB平行吗？为什么？
返回
【解】DG∥AB.∵CE⊥DG，∴∠ECG＝90°.
∵∠ACE＝∠ACG＋∠ECG，∠ACE＝136°，
∴136°＝∠ACG＋90°，∴∠ACG＝46°.
∵∠BAF＝46°，∴∠BAF＝∠ACG，∴DG∥AB.
14.【实践】
(1)画∠AOB＝60°，在∠AOB内任取一点P，过点P作直线CD∥OA，再过点P作直线EF∥OB；
【解】如图所示．
(2)测量∠CPE，∠EPD，∠DPF，∠CPF的度数．
【解】∠CPE＝120°，∠EPD＝60°，∠DPF＝120°，∠CPF＝60°.
【探究】测量的这些角与∠AOB之间存在什么关系？
【解】相等或互补．
【发现】把你的发现用一句话概括出来．
【解】如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
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【点方法】本题可用度量法先测量出角的度数，然后根据这些角之间的位置关系以及数量关系，得出结论．
15.先阅读，然后解答．
问题：两条直线将平面分成几部分？
解：如图①，两条直线平行时，它们将平面分成三部分；如图②，两条直线不平行时，它们将平面分成四部分．
(1)上面问题的解题过程运用了____________的数学思想(填“转化”“分类讨论”或“整体”)．
分类讨论
(2)三条直线将平面分成几部分？请画出来．
返回
【解】如图①②③④，三条直线可以将平面分成四或六或七部分．(共16张PPT)
第七章　相交线与平行线
7．1 命题
第1课时 命题
1
B
D
C
答 案 呈 现
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4
5
6
①③④
C
7
8
④
返回
1．下列语句是命题的是(　　)
A．画一条直线
B．正数都大于零
C．多彩的青春
D．明天是晴天吗？
B
2．命题“整数一定是有理数”的结论是(　　)
A．整数
B．有理数
C．一个数是整数
D．这个数一定是有理数
D
返回
返回
C
4．已知有理数a，b，下列命题中是真命题的是_______(填序号)．
①如果ab＝0，那么a＝0或b＝0；
②如果a2＝b2，那么a＝b；
③如果a＜b＜0，那么ab＞0；
④如果|a|＞|b|，那么(a＋b)的符号与a的符号相同．
①③④
返回
5．[邢台月考]已知命题：一个锐角和一个钝角一定互为补角．
(1)请将上述命题改写成“如果……那么……”的形式；
【解】如果两个角一个是锐角，一个是钝角，那么这两个角一定互补．
(2)判断这个命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举一个反例．
返回
【解】该命题是假命题，
反例：一个角为40°，一个角为100°，
满足条件一个锐角和一个钝角，但40°＋100°＝140°≠180°，因此这两个角不互补．(反例合理即可)
6．某班有36名同学参加羽毛球、乒乓球比赛．每人必须选择一项或两项参赛，关于参赛人数有以下三个说法，甲说：“只参加一项的人数不少于25人．”乙说：“参加两项的人数少于10人．”丙说：“参加两项的人数是参加一项的人数的一半”，对于甲、乙、丙三人的说法，有下列四个命题，其中是真命题的是(　　)
A．若甲对，则乙对 B．若乙对，则丙对
C．若丙对，则甲错 D．若甲对，则丙对
【点拨】选项A，若甲对，设只参加一项的人数为25人，可知两项都参加的人数为11人，则乙错，所以选项A不符合题意；选项B，若乙对，设两项都参加的人数为6人，可知只参加一项的人数为30人，则丙错，所以选项B不符合题意；选项C，若丙对，可求得两项都参加的人数为12人，只参加一项的人数为24人，则甲错，所以选项C符合题意；
选项D，若甲对，设只参加一项的人数为25人，可知两项都参加的人数为11人，则丙错，所以选项D不符合题意．故选C.
返回
【答案】C
④
返回
(2)请你修改命题的条件(或结论)，使其成为一个真命题．
返回(共29张PPT)
第七章　相交线与平行线
7．5 平行线的性质
第2课时 平行线判定和性质的应用
1
A
C
150
答 案 呈 现
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105°
A
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10
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150°
返回
1．在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角板，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了(　　)
A．平行于同一条直线的两条直线平行
B．同旁内角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等
D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
A
2．[张家口期末]如图，∠1＝∠2，∠4＝130°，则∠3的度数为(　　)
A．30°
B．35°
C．50°
D．40°
C
返回
3．把一副三角板(∠B＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠E＝30°)按如图所示的方式摆放，当∠1为________°时，AC∥EF.
返回
150
4. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，若∠2－∠1＝75°，则∠3与∠4的度数和是________．
105°
返回
【点拨】如图．∵AB∥CD，∴∠4＋∠2＝180°.∵AE∥BF，∴∠1＝∠3.∵∠2－∠1＝75°，
∴∠2－∠3＝75°.∴∠4＋∠2－(∠2－∠3)＝180°－75°＝105°，即∠4＋∠3＝105°.
5．如图，如果AB∥CD，CD∥EF，那么x，y，z之间的数量关系是________．
x＋z＝y
返回
【点拨】∵AB∥CD，CD∥EF，∴AB∥CD∥EF.
∴x＋z＋∠CEF＝180°，y＋∠CEF＝180°.∴x＋z＝y.
6．如图，BC⊥AE，DE⊥AE，∠2＋∠3＝180°.
(1)判断CF与BD的位置关系，并说明理由；
【解】CF∥DB.理由：
∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴∠ACB＝∠AED＝90°.∴BC∥DE.
∴∠3＋∠CBD＝180°.
∵∠2＋∠3＝180°，
∴∠2＝∠CBD.∴CF∥DB.
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(2)若∠1＝70°，BC平分∠ABD，试求∠ACF的度数．
7．如图，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，DE平分∠ADC交BC于点E，F为线段CD延长线上一点，∠BAF＝∠EDF.现有以下三个结论，则正确的结论是(　　)
甲：∠BAD＋∠ADC＝180°；
乙：AF∥DE；　 丙：∠DAF＝∠F.
A．甲、乙、丙 B．只有甲、乙
C．只有甲、丙 D．只有乙、丙
【点拨】∵AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，
∴∠B＝∠C＝90°.∴∠B＋∠C＝180°.
∴AB∥CF.∴∠BAF＋∠F＝180°，∠BAD＋
∠ADC＝180°.故甲正确；又∵∠BAF＝∠EDF，∴∠EDF＋∠F＝180°.∴AF∥DE.故乙正确；∵AF∥DE，∴∠ADE＝∠DAF，∠EDC＝∠F.∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE.∴∠DAF＝∠F.故丙正确．故选A.
【答案】 A
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8. 2025年4月19日，北京举行全球第一次机器人马拉松比赛．如图是某款机器人跑步瞬间的姿态的平面示意图，其中∠ABC＝144°，∠ABD＝3∠CBD，
∠BDF＝132°.若AB∥DE∥HG，FG⊥HG，
则∠DFG的度数为________．
150°
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【点拨】∵∠ABC＝144°，∠ABD＝3∠CBD，∴易得∠ABD＝108°.如图，延长ED至M，过F作FN∥HG，∴AB∥DE∥HG∥FN.∴∠ABD＋∠BDM＝180°，∠DFN＝∠FDM，∠NFG＋∠HGF＝180°.
∴∠BDM＝72°，
∵∠BDF＝132°，∴∠FDM＝60°.∴∠DFN＝
∠FDM＝60°.∵FG⊥HG，∴∠HGF＝90°.
∴∠NFG＝90°.∴∠DFG＝∠NFG＋∠NFD＝150°.
9. 为保证安全，某两段铁路MN，PQ两旁安置了两座可旋转探照灯A，B，探照灯的光线可看作射线，如图，灯A的光线AC从射线AM开始，绕点A顺时针旋转至射线AN便立即回转，灯B的光线BD从射线BP开始，绕点B顺时针旋转至射线BQ便立即回转，
两灯不停交叉照射巡视．
已知PQ∥MN，连接AB，∠BAM∶∠BAN＝2∶1，则∠BAN＝________°；若灯B的光线先转动，每秒转动1°，45秒后灯A的光线才开始转动，每秒转动2°，在灯B的光线第一次到达BQ之前，灯A的光线转动________秒时，两灯的光线互相平行．
60
45或105
【点拨】∵∠BAM∶∠BAN＝2∶1，∠BAM＋
∠BAN＝180°，∴3∠BAN＝180°，∴∠BAN＝60°，∴∠BAM＝120°.∵PQ∥MN，∴∠ABP＝∠BAM＝120°.∵灯B的光线转动45秒后灯A的光线才开始转动，∴此时∠DBP＝45°，设灯A的光线转动t秒时，两灯的光线互相平行，分情况讨论：
①当射线AC未过线段AB，即0＜t＜60时，两灯的光线互相平行．如图①.
∴∠MAC＝2t°，∠PBD＝45°＋t°，
∴∠CAB＝120°－2t°，∠ABD＝120°－(45°＋t°)＝75°－t°.∵AC∥BD，∴∠CAB＝∠ABD，即120°－2t°＝75°－t°，解得t＝45.
②当射线AC已过线段AB且未到达射线AN，即60＜t＜90时，两灯的光线互相平行．
∴∠MAC＝2t°，∠PBD＝45°＋t°，∴∠CAB＝2t°－120°，∠ABD＝(45°＋t°)－120°＝t°－75°.∵AC∥BD，∴∠CAB＝∠ABD，即2t°－120°＝t°－75°，解得t＝45(不符合题意，舍去)．∴此种情况不存在．
③当射线AC到达AN后回转至BD到达BQ之前，即90＜t＜135时，两灯的光线互相平行．如图②.
∴∠NAC＝2t°－180°，∠PBD＝45°＋t°，
∴∠CAB＝∠BAN－∠CAN＝60°－(2t°－180°)＝240°－2t°，∠ABD＝(45°＋t°)－120°＝t°－75°.∵AC∥BD，∴∠CAB＝∠ABD，即240°－2t°＝°－75°，解得t＝105.综上所述，灯A的光线转动45秒或105秒时，两灯的光线互相平行．
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10.如图是北斗七星的示意图，北斗七星分别标记为A，B，C，D，E，F，G，将A，B，C，D，E，F，G顺次首尾连接，AG恰好经过点C，且B，C，D在一条直线上，若AG∥EF，∠B＝∠CDE＋15°，∠DEF＝105°.
(1)求∠B－∠DCG的度数．
【解】如图，延长ED交AG于K，
∵AG∥EF，∴∠AKD＝∠DEF.∴∠B－∠DCG＝∠CDE＋15°－∠DCG＝180°－∠CDK＋15°－∠DCG＝∠CKD＋15°＝∠DEF＋15°＝120°.
(2)连接AE，当∠AEF与∠DCG满足什么数量关系时，BD∥AE？并说明理由．
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【解】当∠AEF＋∠DCG＝180°时，BD∥AE.
理由：∵AG∥EF，∴∠GAE＋∠AEF＝180°.
又∵∠AEF＋∠DCG＝180°，
∴∠GAE＝∠DCG.∴BD∥AE.
11．[邯郸期末]如图①，直线AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点G，H，∠EHD＝α.将一个直角三角板PMN按如图①所示放置，使点N，M分别在直线AB，CD上，且在点G，H的右侧，
已知∠PMN＝60°.
(1)若∠ANM＝100°，则∠PMD的度数为________；
40°
(2)若∠ANM＝∠EHM＋∠PMN，试说明：PM∥EF；
【解】∵AB∥CD，∴∠NMD＝∠ANM.
∵∠NMD＝∠PMN＋∠PMD，
∴∠ANM＝∠PMN＋∠PMD.
∵∠ANM＝∠EHM＋∠PMN，
∴∠PMD＝∠EHM.∴PM∥EF.
(3)如图②，三角板PMN所在位置中PM∥EF，作∠MNA的平分线NO交直线CD于点O，现将三角板PMN沿直线CD向左平移，在平移的过程中，若NO可以与GH重合，请计算α的大小．
【证明】∵PM∥EF，∠EHD＝α，
∴∠PMD＝∠EHD＝α.
∴∠NMD＝∠PMN＋∠PMD＝60°＋α.
∵AB∥CD，∴∠GNM＝∠NMD＝60°＋α.
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