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(共38张PPT)
第七章　相交线与平行线
章末培优 全章热门整合考点应用
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答 案 呈 现
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A
B
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①②④
C
①②④
48
1. 如图，直线AB与CD相交于点O，OE为射线.
(1)∠AOC的对顶角为________；
(2)∠AOE的邻补角为________；
∠BOD
∠BOE
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(3)若∠AOC＝38°，∠DOE＝108°，求∠BOE和∠COE的度数.
【解】因为∠AOC＝∠BOD＝38°，∠DOE＝108°，
所以∠BOE＝∠BOD＋∠DOE＝38°＋108°＝146°.
因为∠DOE＋∠COE＝180°，
所以∠COE＝180°－∠DOE＝180°－108°＝72°.
2. 如图，点P与直线l上的四个点A，B，C，D的所有连线中，最短的线段是(　　)
A．PA
B．PB
C．PC
D．PD
B
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3.如图，直线AB，CD相交于点O.
(1)若∠AOC＋∠BOD＝120°，求∠AOD的度数.
【解】因为∠AOC＝∠BOD，∠AOC＋∠BOD＝120°，
所以∠BOD＝60°.所以∠AOD＝180°－∠BOD＝120°.
(2)分别作∠AOD，∠BOD的平分线OE，OF，请判断OE与OF之间的位置关系，并说明理由.
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【点方法】说明两直线的垂直关系，只需说明两直线相交所成的四个角中，有一个角是直角即可．
4. 如图，同位角有m对，内错角有n对，同旁内角有p对，则m＋n＋p的值是(　　)
A．8
B．16
C．32
D．64
C
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5. (1)如图，请你找出汉字“土”中所有的同位角、内错角、同旁内角；
【解】同位角：∠1与∠5，∠2与∠6；内错角：∠3与∠6，∠4与∠5；同旁内角：∠3与∠5，∠4与∠6.
(2)写出你姓氏中所有的同位角、内错角、同旁内角.
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略．
6. 如图是一个可折叠衣架，AB是地平线，当PM∥AB，PN∥AB时，就可以确定点N，P，M在同一直线上，这样判定的依据是(　　)
A．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．两点确定一条直线
D．平行于同一直线的两直线平行
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A
7. 如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线OA经平面镜后反射入眼，若CB∥OA，∠CBO＝122°，∠BON＝90°，则入射角∠AON的度数为(　　)
A．22°
B．32°
C．35°
D．122°
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B
①②④
【点拨】①∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠BEC.
∵BG平分∠ABE，∴∠ABE＝2∠ABG.
∴∠BEC＝2∠ABG.故①正确；
②如图①，过点F作FH∥CD，
∵AB∥CD，∴AB∥CD∥FH.
∴∠BAF＋∠AFH＝180°，∠DEF＝∠EFH.
∴∠AFH＝180°－∠BAF＝100°.
∵∠AFH＝∠AFE－∠EFH，
∴∠AFE－∠EFH＝∠AFE－∠DEF＝100°.
故②正确；
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9.【生活现象】如图①，杆秤是中国最古老也是现今人们仍然在使用的衡量工具，是利用杠杆原理来称质量的简易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、
金属秤砣、提绳等组成.
【数学模型】如图②是杆秤的示意图，AC∥BD，经测量发现∠A＝104°，∠BOE＝76°，请判断OE与BD的位置关系，并说明理由.
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【解】OE∥BD.理由如下：
∵AC∥BD，∴∠A＋∠ABD＝180°.
又∵∠A＝104°，∴∠ABD＝180°－104°＝76°.
又∵∠BOE＝76°，∴∠ABD＝∠BOE.∴OE∥BD.
10.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°.
(1)求∠BAD的度数；
【解】∵AD∥BC，∴∠B＋∠BAD＝180°.
又∵∠B＝80°，∴∠BAD＝100°.
(2)AE平分∠BAD交BC于点E，∠C＝50°.求证：AE∥DC．
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【证明】∵AE平分∠BAD，∠BAD＝100°，
∴∠DAE＝50°.
又∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE＝50°.
又∵∠C＝50°，∴∠AEB＝∠C.∴AE∥DC.
11.下列五个命题：
①对顶角相等；②有一条公共边，且互补的两个角互为邻补角；③在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行；④两直线平行，同位角相等；⑤内错角相等，两直线平行.
其中定理的个数是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
C
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12.把命题“同号两数的积是正数”改写成“如果……那么……”的形式是_________________________________
_____.
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如果两数同号，那么这两个数的积是
正数
13. 对于命题“若|a|＞|b|，则a＞b”，举出能说明这个命题是假命题的一组a，b的值，则a＝_______，b＝_______.
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－2
1
(答案不唯一)
14.如图，三角形ABC沿着直线BC向右平移得到三角形DEF，则下列结论中：①BE＝CF；②AB∥DE；③AG＝GD；④∠ACB＝∠DFE.其中结论正确的序号是________.
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①②④
15.如图，为美化校园，某校要在长12米，宽6米的长方形空地中划出三个小长方形(阴影部分)，若小长方形的宽均为2米，则空白部分的面积为________平方米.
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48
16. 【课本再现】
(1)如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O.∠EOC＝35°，求∠AOD的度数；
【解】∵EO⊥AB，∴∠EOB＝90°.
又∵∠EOC＝35°，
∴∠BOC＝∠EOC＋∠BOE＝35°＋90°＝125°.又∵∠AOD＝∠BOC，∴∠AOD＝125°.
【变式探究】
(2)如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O.若∠AOC∶∠COB＝3∶7，求∠EOC的度数.
【解】由题意设∠AOC＝3x°，
则∠COB＝7x°.∵∠AOC＋∠COB＝180°，
∴3x＋7x＝180，解得x＝18.
∴∠AOC＝3x°＝54°.∵OE⊥AB，∴∠EOA＝90°.∴∠EOC＝90°－54°＝36°.
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17.已知直线AB∥CD，点P，Q分别在直线AB，CD上，如图所示，射线PB按顺时针方向以每秒4°的速度旋转至PA便立即回转，并不断往返旋转；射线QC按顺时针方向以每秒1°的速度旋转至QD停止，此时射线PB也停止旋转.
(1)若射线PB，QC同时开始旋转，当旋转时间为30 s时，PB′与QC′的位置关系为_________.
PB′⊥QC′
【点拨】当旋转时间为30 s时，∠BPB′＝4°×30＝120°，∠CQC′＝1°×30＝30°.如图①，设PB′与QC′交于点E，过点E作EF∥AB，则易知EF∥CD∥AB，
∴∠PEF＝180°－∠BPB′＝60°，∠QEF＝∠CQC′＝30°.∴∠PEQ＝∠PEF＋∠QEF＝90°.
∴PB′⊥QC′.
(2)若射线QC先旋转45 s，射线PB才开始旋转，当射线PB旋转的时间为多少时，PB′∥C′Q？
【解】设PB′与CD交于点F，射线PB旋转t s时，PB′∥C′Q.①当0≤t≤45时，第一次平行，如图②，
由题知∠BPB′＝(4t)°，∠CQC′＝45°＋t°.
∵AB∥CD，PB′∥C′Q，
∴∠BPB′＝∠PFC＝∠CQC′，
即(4t)°＝45°＋t°，解得t＝15；
②当45易知∠APB′＝(4t)°－180°，∠CQC′＝t°＋45°.
∵AB∥CD，PB′∥C′Q，
∴∠APB′＝∠PFD＝180°－∠CQC′，
即(4t)°－180°＝180°－(45°＋t°)，解得t＝63；
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③当90易知∠BPB′＝(4t)°－360°，∠CQC′＝t°＋45°.
∵AB∥CD，PB′∥C′Q，∴∠BPB′＝∠CQC′，
即4t°－360°＝t°＋45°，解得t＝135.
综上所述，当射线PB旋转的时间为15 s
或63 s或135 s时，PB′∥C′Q.(共12张PPT)
第七章　相交线与平行线
专项培优2 相交线中的计数问题
1
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1.如图：
(1)如图①，两条直线相交，有______个交点；
如图②，三条直线相交，最多有______个交点；
如图③，四条直线相交，最多有______个交点；
(2)归纳猜想：n条直线相交，最多有________个交点.
1
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2.在同一平面内有n(n≥2)条直线，设它们的交点个数为m.
例如：当n＝2时，m＝0或1(如图所示).
(1)当n＝3时，m可以取哪些不同的值？请画图说明.
【解】当n＝3时，m＝0，1，2或3.如图①所示．
(2)当n＝4时，m的最大值为多少？请画图说明.
【解】当n＝4时，m的最大值为6.如图②所示．
(3)m的最大值为________．(用含n的式子表示)
(4)当m＝6时，n的最大值为多少？请画图说明.
【解】当m＝6时，n的最大值为7.如图③所示．
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3. 为了探究同一平面内的几条直线相交最多能产生多少个交点，能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手，如图所示.
列表如下：
直线条数 最多交点个数 把平面最多分成的部分数
1 0 2
2 1 4
3 3 7
… … …
(1)当直线条数为5时，最多有____个交点，可写成和的形式为____________；把平面最多分成____部分，可写成和的形式为_________________.
(2)当直线条数为10时，最多有____个交点，把平面最多分成____部分.
10
1＋2＋3＋4
16
1＋1＋2＋3＋4＋5
45
56
(3)当直线条数为n时，最多有多少个交点？把平面最多分成多少部分？
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4. 如图，同位角一共有____对，分别是________________
____________________________________________；内错角一共有____对，分别是________________________
________________；同旁内角一共有____对，分别是___________________
___________________。
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∠1和∠5，∠2和
∠6，∠3和∠7，∠4和∠8，∠7和∠9，∠4和∠9
4
∠1和∠7，∠4和∠6，∠5
和∠9，∠2和∠9
4
∠1和∠6，∠1和∠9，
∠4和∠7，∠6和∠9(共30张PPT)
第七章　相交线与平行线
阶段综合培优测 相交线
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答 案 呈 现
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138°
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一、选择题(每小题4分，共32分)
1. [2025重庆渝中区期中]如图，在下列所标的角中，对顶角是(　　)
A．∠1和∠3
B．∠2和∠4
C．∠2和∠3
D．∠3和∠5
D
2. 过一条线段外一点，画这条线段的垂线，垂足在(　　)
A．这条线段上
B．这条线段的端点上
C．这条线段的延长线上
D．以上都有可能
D
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3. [2025河南]如图，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为(　　)
A．100° B．110°
C．120° D．130°
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C
4. 运动会上，跳远运动员跳到沙坑时的痕迹和测量跳远成绩的方法如图所示，选择其中的①号线的长度作为跳远成绩，这样测量的依据是(　　)
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．两点确定一条直线
D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B
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5. [2025湛江月考]如图，下列说法正确的是(　　)
A．∠1和∠2是内错角
B．∠1和∠4是对顶角
C．∠3和∠4是同旁内角
D．∠2和∠4是同位角
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D
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6. 如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角β为54°.若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角α的度数是(　　)
A．26° B．30°
C．36° D．54°
C
7. 如图，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，AB⊥l2，AC⊥l1，AB＝4，BC＝3，则下列说法正确的是(　　)
A．点C到AB的距离等于4
B．点B到AC的距离等于3
C．点A到直线l2的距离等于4
D．点C到直线l1的距离等于4
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C
8.[2025衡阳期末]如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，OD⊥OF，OB平分∠DOG，给出下列结论：①当∠AOF＝60°时，∠DOE＝60°；②OD为∠EOG的平分线；③与∠BOD相等的角有3个；④∠COG＝180°－2∠EOF.其中正确的结论为(　　)
A．①②④ B．②③④
C．①③④ D．①②③④
【点拨】因为OE⊥AB，OD⊥OF，
所以∠AOE＝∠BOE＝90°，∠DOF＝90°.
所以∠AOF＋∠EOF＝90°，∠EOF＋∠EOD＝90°，∠EOD＋∠BOD＝90°.
所以∠EOF＝∠BOD，∠AOF＝∠DOE.
所以当∠AOF＝60°时，∠DOE＝60°，故①正确；
因为OB平分∠GOD，所以∠GOD＝2∠BOD.
因为∠DOE＝90°－∠BOD，
所以∠DOE不一定等于∠GOD.
所以OD不一定是∠EOG的平分线，故②不正确；
因为OB平分∠DOG，所以∠BOD＝∠BOG.
所以∠BOD＝∠BOG＝∠EOF＝∠AOC，故③
正确．
因为∠COG＝180°－∠AOC－∠BOG，
所以∠COG＝180°－2∠EOF，故④正确．
故其中正确的结论为①③④.
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【答案】C
二、填空题(每小题5分，共20分)
9. 如图，直线l表示一段河道，点P表示村庄，现要从河道l向村庄P引水，图中有四种方案，其中沿线段PC开挖的水渠长最短，理由是______________.
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垂线段最短
10.[2025济南历下区期末]如图，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOC＝70°，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE∶∠EOD＝3∶2，则∠AOE＝________.
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138°
11.在如图所示的6个角中，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，则a＋b－c的值为________.
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【点拨】在题图的6个角中，同位角有∠1与∠6，∠3与∠5，共2对，即a＝2，内错角有∠2与∠3，∠4与∠6，共2对，即b＝2，同旁内角有∠1与∠2，∠2与∠4，∠4与∠5，∠1与∠5，共4对，即c＝4，所以a＋b－c＝2＋2－4＝0.
0
12. 已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC，射线OF⊥CD于点O，且∠BOF＝40°，则∠COE＝_______.
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【点拨】当点F和点C在AB同侧时，根据垂直定义得∠COF＝90°，结合∠BOF＝40°，得∠AOC＝50°，根据角平分线的定义，得∠COE＝25°；当点F和点C在AB异侧时，可得∠BOC＝50°，得∠AOC＝130°，得∠COE＝65°.
65°或25°
三、解答题(共48分)
13.(12分)如图，关于该图形，下列说法都正确吗？如果不正确，请加以更正.
(1)∠H与∠A是同旁内角，∠H与∠G是内错角；
(2)与∠D互为同旁内角的角只有∠C；
(3)图中没有同位角.
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【解】正确．
错误．与∠D互为同旁内角的角有∠C和∠E.
正确．
14.(10分)如图，(1)如果∠AOD＝3∠BOD，那么∠BOD＝________°，∠COB＝________°；
45
135
(2)如果∠AOC＝2x°，∠BOC＝(x＋90)°，∠BOD＝(y＋4)°，求x，y的值.
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【解】因为∠AOC＋∠BOC＝180°，
所以2x＋(x＋90)＝180，解得x＝30.
因为∠BOD＝∠AOC，
所以y＋4＝2×30＝60，解得y＝56.
15.(12分)如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，点O为垂足，OF平分∠AOC．
(1)若∠COE＝54°，求∠DOF的度数；
(2)若∠COE∶∠EOF＝2∶1，求∠DOF的度数.
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【解】设∠EOF＝x°，则∠COE＝2x°，
所以∠COF＝3x°.
因为OF平分∠AOC，所以∠AOF＝∠COF＝3x°.
所以∠AOE＝4x°.所以4x＝90，解得x＝22.5.
所以∠COF＝3x°＝67.5°.
所以∠DOF＝180°－∠COF＝112.5°.
16.(14分)如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥OF，且OC平分∠AOE.
(1)【探究发现】若∠BOF＝2∠BOE，
则∠DOF的度数是________；
15°
(2)【类比延伸】若∠DOF＝20°，求∠BOE的度数；
【解】设∠BOE＝x，
因为OE⊥OF，所以∠BOF＝90°－∠BOE＝90°－x.
因为∠AOE＋∠BOE＝180°，
所以∠AOE＝180°－∠BOE＝180°－x.
(3)【联想拓展】从(1)(2)的结果中可以猜想出∠BOE和∠DOF有何关系.
【解】猜想：∠BOE＝2∠DOF.
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第七章　相交线与平行线
专项培优4 平行线的性质与判定中的实际情境问题
1
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类型1 与学具相结合
1. 三角尺ABC(其中∠A＝30°，∠C＝90°)和三角尺DEF(其中∠E＝45°，∠EDF＝90°)按照如图所示的位置摆放，点D在边AC上，若AB∥EF，求∠CDF的度数.
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【解】如图，过D点作DK∥AB，
∴∠ADK＝∠A＝30°.
∵AB∥EF，DK∥AB，∴DK∥EF.
∴∠EDK＝∠E＝45°.
∴∠ADK＋∠EDK＝30°＋45°＝75°，
即∠ADE＝75°.又∵∠EDF＝90°，
∴∠CDF＝180°－90°－75°＝15°.
2. [2025邢台期末]平面镜反射光线的规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图①，一束光线AB射向一个水平镜面后被反射，此时∠1＝∠2.
(1)如图②，甜甜利用两块平面镜使光线传播路径发生改变，若∠1＝∠4，请判断光线AB与光线CD是否平行，并说明理由.
【解】AB∥CD.理由如下：
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1＝∠4，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4.
∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4.
∴∠ABC＝∠BCD.∴AB∥CD.
(2)露露根据甜甜的实验，想到能否将光线改为反向传播，她利用两块平面镜按图③中的方式制作一个装置．若∠1＋∠4＝90°，求证：AB∥DE.
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【证明】∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∠1＋∠4＝90°，∴∠2＋∠3＝90°.
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°.
∴∠ABD＋∠BDE＝180°.∴AB∥DE.
类型3 与生活情境相结合
3.[2025烟台期末]如图①是一款落地的平板支撑架，AF垂直水平地面，AB，BC是可转动的支撑杆，调整支撑杆使得其侧面示意图如图②所示，
此时平板DE∥AF，∠BAF＝
∠BCE，∠B＝80°.
(1)请求出∠BCE的度数；
【解】如图，过点B作BG∥AF，
∴∠BAF＋∠ABG＝180°.
∵DE∥AF，∴DE∥BG.∴∠CBG＋∠BCE＝180°.
∴∠BAF＋∠ABG＋∠CBG＋∠BCE＝360°.　
∴∠BAF＋∠ABC＋∠BCE＝360°，
∵∠BAF＝∠BCE，∠ABC＝80°，∴∠BCE＝140°.
(2)先将支撑杆AB调整至图③所示位置，调整过程中，∠B和∠BCE的大小不变，∠BAF＝155°，再顺时针调整平板DE至D′E′，使得D′E′∥AF，请求出∠DCD′的度数.
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【解】如图，延长FA交BC于点H，
∵∠BAF＝155°，∴∠BAH＝180°－155°＝25°.
又∵∠B＝80°，∴∠AHB＝180°－∠BAH－∠B＝
180°－25°－80°＝75°.又∵D′E′∥AF，
∴∠AHB＝∠BCE′＝75°.∵∠BCE＝140°，
∴∠ECE′＝∠BCE－∠BCE′＝140°－75°＝65°.
∴∠DCD′＝∠ECE′＝65°.(共31张PPT)
第七章　相交线与平行线
专项培优3 平行线的性质与判定中常见辅助线的作法
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类型1 加截线法
A．连接两点
1. 如图，∠E＝∠B＋∠D，猜想AB与CD有怎样的位置关系，并说明理由.
【解】AB∥CD.理由：如图，连接BD.
在三角形BDE中，∠1＋∠2＋∠E＝180°.
∵∠E＝∠3＋∠4，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，
即∠ABD＋∠CDB＝180°.∴AB∥CD.
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【点方法】本题可通过连接B，D两点构造截线BD，进而利用平行线的判定说明AB∥CD.
B．延长线段使相交
2. 如图，AB∥CD，∠ABF＝∠DCE.求证：∠BFE＝∠FEC．　
【证明】如图，延长BF交DC的延长线于点H.∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠H.
又∵∠ABF＝∠DCE，∴∠H＝∠DCE.∴BH∥CE.∴∠BFE＝∠FEC.
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类型2 过“拐点”作平行线法
A．“ ”形图
3.【问题探究】(1)如图①，AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接AE，CE，则∠AEC与∠A，∠C之间有怎样的数量关系，请说明理由.
【解】∠AEC＝∠A＋∠C.理由如下：
如图，过点E作EF∥AB.
又∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF.
∴∠A＝∠AEF，
∠C＝∠CEF.
又∵∠AEC＝∠AEF＋∠CEF，
∴∠AEC＝∠A＋∠C.
【灵活应用】(2)如图②，AB∥CD，若∠E＝∠B＝60°，∠F＝85°，求∠D的度数.
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【解】∵∠B＝60°，∠F＝85°，
∴∠BHF＝180°－∠B－∠F＝35°.
又∵∠AHE＝∠BHF，∴∠AHE＝35°.
由题易知∠D＝∠E－∠AHE，
∴∠D＝60°－35°＝25°.
B．“ ”形图
4.(1)如图①，直线AB∥CD，点P在直线AB，CD之间．求证：∠BAP＋∠APC＋∠PCD＝360°.
小明的证明过程是这样的：“过点P向右作PE∥AB，……”
请按照小明的思路写出完整的证明过程；
【解】过点P向右作PE∥AB，
∴∠BAP＋∠APE＝180°.
∵AB∥CD，PE∥AB，∴CD∥PE.
∴∠DCP＋∠CPE＝180°.
∴∠BAP＋∠APE＋∠DCP＋∠CPE＝360°，
即∠BAP＋∠APC＋∠PCD＝360°.
(2)①直线AB∥CD，点P，Q在直线AB，CD之间，且点P，Q在直线AC的同侧，如图②，试探究∠BAP，∠APQ，∠PQC，∠QCD之间的数量关系，并说明理由；
②直线AB∥CD，点P，Q在直线AB，CD之间，且点P，Q在直线AC的两侧．如图③，试探究∠BAP，∠APQ，∠PQC，∠QCD之间的数量关系，并说明理由.
请在①②中任选一个问题进行解答.
【解】(二选一即可)①∠BAP＋∠APQ＋∠PQC＋
∠QCD＝540°.理由如下：
如图①，过点P作PE∥AB，过点Q作QF∥CD.
又∵AB∥CD，∴AB∥PE∥QF∥CD.
∴∠BAP＋∠APE＝180°，∠EPQ＋∠PQF＝180°，
∠FQC＋∠QCD＝180°.∴∠BAP＋∠APE＋∠EPQ＋∠PQF＋∠FQC＋∠QCD＝180°＋180°＋180°＝540°，
即∠BAP＋∠APQ＋∠PQC＋∠QCD＝540°.
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②∠BAP＋∠APQ－∠PQC＋∠QCD＝180°.理由如下：
如图②，过点P作PE∥AB，过点Q作QF∥CD.
又∵AB∥CD，∴AB∥PE∥QF∥CD.
∴∠BAP＋∠APE＝180°，∠EPQ＝∠PQF，∠QCD＝∠CQF.　∴∠BAP＋∠APQ－∠PQC＋∠QCD＝∠BAP＋(∠APE＋∠EPQ)－(∠PQF＋∠FQC)＋∠QCD＝∠BAP＋∠APE＋∠EPQ－∠PQF－∠FQC＋∠QCD＝∠BAP＋∠APE＝180°.
C．“ ”形图
5.(1)如图，AB∥CD，若∠B＝130°，∠C＝30°，求∠BEC的度数；
【解】如图，过点E向左作EF∥AB，
则∠B＋∠BEF＝180°.
又∵∠B＝130°，
∴∠BEF＝180°－∠B＝180°－130°＝50°.
∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD.∴∠FEC＝∠C.
又∵∠C＝30°，∴∠FEC＝30°.
∴∠BEC＝∠BEF＋∠FEC＝50°＋30°＝80°.
(2)如图，AB∥CD，探究∠B，∠C，∠BEC三者之间有怎样的数量关系，并说明理由.
【解】∠B＋∠BEC－∠C＝180°.
理由如下：如图．
由(1)得∠FEC＝∠C，∠B＋∠BEF＝180°.
又∵∠BEF＝∠BEC－∠FEC，
∴∠BEF＝∠BEC－∠C.
∴∠B＋∠BEF＝∠B＋∠BEC－∠C＝180°.
【点方法】解这种类型的题目时，通常是过“拐点”作平行线，把一个大角分成两个小角，使分成的角与已知角建立联系，这种转化思想在解题时经常用到．
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D．“ ”形图
6.【信息阅读】
材料信息：如图①，AB∥DE，点C是直线AB，DE外任意一点，连接BC，DC．
方法信息：如图②，在“材料
信息”的条件下，∠B＝55°，
∠D＝35°，求∠BCD的度数.
解：如图②，过点C作CF∥AB，
∴∠BCF＝∠B＝55°.
∵AB∥DE，CF∥AB，∴CF∥DE.
∴∠DCF＝∠D＝35°.
∴∠BCD＝55°－35°＝20°.
【问题解决】
(1)通过【信息阅读】，猜想：∠B，∠D，∠BCD之间有怎样的等量关系？请直接写出结论：________________.
∠BCD＝∠B－∠D
(2)如图③，在“材料信息”的条件下，改变点C的位置，∠B，∠D，∠BCD之间的等量关系是否改变？若不改变，请写出理由；若改变，请写出新的等量关系及理由.
【解】改变，∠BCD＝∠D－∠B.理由如下：
如图，过点C作CF∥AB，
∴∠BCF＝∠B.
∵AB∥DE，CF∥AB，
∴CF∥DE.
∴∠DCF＝∠D.
∵∠BCD＝∠DCF－∠BCF，
∴∠BCD＝∠D－∠B.
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e.“ ”形图
7.已知直线AB∥CD，E为平面内一点，连接EB，EC．
(1)如图①，已知∠B＝32°，∠C＝120°，求∠BEC的度数；
【解】过点E向右作EM∥AB.
又∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EM.
∴∠B＝∠BEM，∠C＋∠CEM＝180°.
又∵∠B＝32°，∠C＝120°，
∴∠BEM＝32°，∠CEM＝180°－120°＝60°.
∴∠BEC＝32°＋60°＝92°.
(2)如图②，判断∠ABE，∠BEC，∠DCE之间的数量关系为____________________________；
∠ABE－∠BEC＋∠DCE＝180°
【点拨】过点E向右作EM∥AB.又∵AB∥CD，∴AB∥EM∥CD.
∴∠ABE＝∠BEM，∠CEM＋∠DCE＝180°.∵∠CEM＝∠BEM－∠BEC＝∠ABE－∠BEC，∴∠ABE－∠BEC＋∠DCE＝180°.
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第七章　相交线与平行线
阶段综合培优测 平行线的性质和判定
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D
D
C
答 案 呈 现
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一、选择题(每小题5分，共35分)
1. [2025湖北]数学中的“≠”可以看作是两条平行的线段被第三条线段所截而成，放大后如图所示．若∠1＝56°，则∠2的度数是(　　)
A．34° B．44°
C．46° D．56°
D
2. 如图，下列条件中能判断BC∥EF的是(　　)
①∠1＝∠E；②∠2＝∠E；③∠B＝∠1；
④∠E＋∠EGC＝180°.
A．①②③④ B．①②③
C．①③④ D．①②④
D
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3. 下面四个k值，能说明命题“对于任意偶数k，都是4的倍数”是假命题的是(　　)
A．k＝4 B．k＝8 C．k＝10 D．k＝16
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C
4. 如图，直线a平移后得到直线b，若∠1＝60°，∠B＝130°，则∠2的度数为(　　)
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
C
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5. 如图①，汽车前灯的反光装置相当于凹面镜，有了它，射出的光可看作平行光．现对此进行逆向分析，如图②，两条平行光线l1，l3通过凹面镜反射后反射光线会聚于焦点F，l2是过焦点F的一条辅助线，根据图中信息，下列判断错误的是(　　)
A．l1∥l3 B．l1∥l2
C．l2∥l3 D．∠1＝45°
【点拨】如图，由题意，得l1∥l3，故A正确；
∵∠DCF＝∠CFE＝45°，∴l1∥l2，故B正确；
∵l1∥l3，l1∥l2，∴l2∥l3，故C正确；
∵∠EFB不一定等于45°，
∴∠1不一定等于45°，故D错误．故选D.
【答案】 D
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6. 如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若AB∥CD，∠1＝130°，∠3＝35°，则∠2的度数为(　　)
A．75°
B．80°
C．85°
D．90°
【点拨】如图．∵AB∥CD，∠3＝35°，
∴∠ABC＝∠3＝35°.
∵∠1＝130°，∴∠4＝180°－130°＝50°.
∴∠5＝180°－50°－35°＝95°.
∴∠2＝180°－∠5＝85°.故选C.
【答案】 C
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7.[2025合肥期末]如图，AB∥CD，点E，F分别为AB，CD上的点，点G在AB，CD之间．连接ED，EF，EG，GF，使得GF∥ED．过点E作EH⊥GF于点H，EM平分∠HEB交CD于M.若EG平分∠AEH，∠AEG＝∠GFC，则下列结论不一定正确的是(　　)
A．∠D＝30° B．∠GEM＝90°
C．∠GEH＝∠MED D．FE平分∠GFD
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【答案】 D
二、填空题(每小题5分，共20分)
8. 把命题“互为倒数的两数之积为1”改成“如果……那么……”的形式：________________________________
________.
如果两个数互为倒数，那么这两个数
返回
的积为1
9. 如图，AB∥CD，∠1＝150°，∠2＝110°，则∠3＝________°.
80
返回
10.[2025孝感期末]如图，在三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3 cm，AC＝4 cm，BC＝5 cm，将三角形ABC沿BC方向平移a cm(a<5)得到三角形DEF，AC与DE相交于点G，连接AD．
(1)AD与BC的位置关系是________；
(2)若三角形ADG的面积比三角形CEG的面积大3 cm2，则a＝________cm.
平行
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11.将长方形纸片ABCD沿MN折叠得到图①，再沿PM折叠得到图②，已知AB∥CD，AM>DN.
(1)如图①，若∠EPN＝50°，则∠AMN的度数为________°；
25
(2)如图②，若∠AMG＝k∠CNM，则∠CPM的度数为________°(用含k的代数式表示).
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三、解答题(共45分)
12.(8分) 如图，已知四边形ABCD，将其沿箭头方向平移，平移的距离为线段BC的长度，请画出平移后的图形.
返回
【解】如图，四边形A′B′C′D′即为所作．
13.(10分) 已知：三条不同的直线a，b，c在同一平面内，①a∥b；②a⊥c；③b⊥c；④a⊥B．
请你从①②③④中选择两个作为题设，一个作为结论，用“如果……那么……”的形式，写出满足下列条件的命题.
(1)写出一个真命题，并证明它的正确性；
【解】(答案不唯一)命题：
如果a⊥c，b⊥c，那么a∥b.证明如下：
如图．∵a⊥c，b⊥c，
∴∠1＝90°，∠2＝90°.
∴∠1＝∠2.∴a∥b.
(2)写出一个假命题，并举出反例.
返回
【解】(答案不唯一)命题：如果a⊥c，b⊥c，那么a⊥b.
反例：如图，如果a⊥c，b⊥c，那么a∥b.
14.(13分)如图是某汽车的标志图案，其中BC∥AD，BE∥AF.
(1)求证：∠A＝∠B；
【证明】∵BC∥AD，∴∠B＝∠DOE.
∵BE∥AF，∴∠DOE＝∠A.∴∠A＝∠B.
(2)若∠DOB＝125°，求∠A的度数.
返回
【解】∵∠DOB＝125°，∴∠DOE＝55°.
又∵∠A＝∠DOE，∴∠A＝55°.
15.(14分)如图，直线MN分别与直线AP，DG交于点B，F，且∠1＝∠2.∠ABF的平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的平分线FC交直线AP于点C．
(1)请判断直线AP与DG的位置关系，并说明理由.
【解】AP∥DG.
理由如下：∵∠ABF＝∠1，∠1＝∠2，
∴∠ABF＝∠2，∴AP∥DG.
(2)BE平行于CF吗？请说明理由.
(3)若∠ACF＝37°，求∠BED的度数.
【解】∵AC∥DG，∠ACF＝37°，
∴∠CFG＝∠ACF＝37°.
∵BE∥CF，
∴∠BEG＝∠CFG＝37°，
∴∠BED＝180°－∠BEG＝143°.
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第七章　相交线与平行线
专项培优1 相交线中的几种角
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A
答 案 呈 现
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C
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1. [2025咸阳月考]如图，直线AD与EF相交于点C，点B在AD上，射线BG与直线EF相交于点H，图中的对顶角共有(　　)
A．4对 B．5对
C．6对 D．7对
A
2.如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE.若∠AOC的度数为2α，则∠EOF＝________．(用含α的代数式表示)
返回
3. 如图，直线AB，CD，EF相交于点O.
(1)写出∠COE的邻补角；
【解】∠COF和∠EOD.
(2)分别写出∠COE和∠BOE的对顶角；
【解】∠COE和∠BOE的对顶角分别为∠DOF和∠AOF.　
(3)如果∠BOD＝60°，∠BOF＝90°，求∠AOF和∠FOC的度数.
返回
【解】因为∠BOF＝90°，
所以∠AOF＝180°－∠BOF＝90°.
因为∠BOD＝60°，所以∠AOC＝∠BOD＝60°，
所以∠FOC＝∠AOF＋∠AOC＝90°＋60°＝150°.
4. 光线从空气射入玻璃，或从玻璃射入空气都会产生折射现象．如图，光线a从空气中射入玻璃，再从玻璃中射入空气，形成光线b，下列说法不正确的是(　　)
A．∠2与∠4是内错角
B.∠2与∠3是同旁内角
C.∠1与∠2是对顶角
D.∠3与∠4互为邻补角
C
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5. 复杂的数学问题我们常会把它分解为基本问题来研究，化繁为简，化整为零，这是一种常见的数学解题思想.
(1)如图①，直线l1，l2被直线l3所截，在这个基本图形中，形成了________对同旁内角.
(2)如图②，平面内三条直线l1，
l2，l3两两相交，交点分别为
A，B，C，图中一共有
________对同旁内角.
2
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(3)平面内四条直线两两相交，最多可以形成________对同旁内角.
(4)平面内n条直线两两相交，最多可以形成_____________对同旁内角.
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n(n－1)(n－2)
6.如图，BF，DE相交于点A，BG交BF于点B，交AC于点C.
(1)指出DE，BC被BF所截形成的同位角、内错角、同旁内角；
(2)指出DE，BC被AC所截形成的内错角；
【解】同位角：∠FAE和∠B；内错角：∠B和∠DAB；同旁内角：∠EAB和∠B.
∠EAC和∠BCA，∠DAC和∠ACG.
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(3)指出FB，BC被AC所截形成的同旁内角.
【解】∠BAC和∠BCA，∠FAC和∠ACG.

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