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20.1　勾股定理及其应用
第1课时　勾股定理
1.了解勾股定理，探索勾股定理的证明过程，学会利用几何图形的截、割、补证明勾股定理.
2.描述勾股定理，并能应用它进行简单的计算.
3.通过拼图活动，体会数形结合的思想方法，培养学生的动手实践和创新能力.
重点：运用割补、拼图的方法证明勾股定理的正确性，并能进行简单计算.
难点：“数形结合”思想方法的理解和应用.
知识链接：在八年级上学期我们学习了三角形，回忆一下相关知识.
探究点一：勾股定理的认识与证明
　　在《周髀算经》的开篇，商高（约公元前11世纪）构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出“两矩共长二十有五”，意指分别以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正方形的面积.
　　商高所指的面积关系可以用图形表示，如图，直角三角形的三边长分别为3，4，5，分別以这三边为边向外作正方形，所得正方形的面积分别为9，16，25，且9＋16＝25.从边的角度看，这个直角三角形的三边满足：两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.
问题1：其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？
满足
问题2：（教材P23探究）
（1）如图，每个小方格的面积均为1，求正方形A1，B1，C1，A2，B2，A3，B3，C3的面积.
提示：以直角三角形的斜边为边的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积.
A1的面积＝1，B1的面积＝4，C1的面积＝5；
A2的面积＝4，B2的面积＝9，C2的面积＝13；
A3的面积＝9，B3的面积＝25，C3的面积＝34.
（2）它们的面积之间有什么关系？
A1的面积＋B1的面积＝C1的面积；
A2的面积＋B2的面积＝C2的面积；
A3的面积＋B3的面积＝C3的面积.
（3）以格点为顶点，在方格纸中任意画一个直角三角形，然后类似地作出三个正方形，这三个正方形的面积有什么关系？由此，你能得出关于直角三角形三边关系的猜想吗？
归纳总结：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.
阅读教材P24，25，了解赵爽是如何利用拼图的方法来证明上述命题的，我国把这个命题称为　勾股定理　，感兴趣的同学可以自己用拼图试一试.
请你补全下列证明勾股定理的一种方法.
已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC，∠ABC，∠ACB的对边分别为a，b，c.
求证：a2＋b2＝c2.
证明：整个图形可以看作是边长为　c　的大正方形，它的面积为　c2　；也可以看作由四个全等的直角三角形和一个边长为　b－a　的小正方形组成，其面积为　4×ab＋（b－a）2　.所以可以得到等式：　4×ab＋（b－a）2＝c2　.化简，得　a2＋b2＝c2　.
探究点二：利用勾股定理进行计算
（教材P25例1）如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长.
解：（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理，AB2＝AC2＋BC2＝82＋62＝100，所以AB＝10.
（2）在Rt△DEF中，根据勾股定理，DE2＋EF2＝DF2，从而DE2＝DF2－EF2＝172－152＝64，所以DE＝8.
【对应训练】教材P25练习.
1.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC＝9，则AC的长为（　B　）
A.10 B.12 C.13 D.24
2.长方形的相邻两边长分别是3和5，则它的对角线长是（　C　）
A.6 B.7 C. D.8
3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.
（1）若a＝3，b＝4，则c＝　5　；（2）若a＝8，c＝17，则b＝　15　；（3）若a＝b＝1，则c＝　　.
第3题图 第4题图
4.[教材变式]如图，以Rt△ABC的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为S1，S2，S3，若S2＝4，S3＝9，则S1＝　13　.
5.如图是由四个全等的直角三角形拼接而成的一个正方形，其中直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，a＞b.利用等面积法验证勾股定理.
解：∵S大正方形＝c2，S大正方形＝4S小三角形＋S小正方形＝4×ab＋（a－b）2，
∴c2＝4×ab＋（a－b）2.
整理，得2ab＋a2－2ab＋b2＝c2.∴c2＝a2＋b2.
6.求图中的Rt△ABC的面积.
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得（x＋4）2＝36＋x2，
解得x＝.所以S△ABC＝×6×＝7.5.
　　　　　　(共23张PPT)
20.1 勾股定理
第二十章 勾股定理
第1课时 勾股定理
人教版八年级（下）
《周髀算经》的第一章曾记载了一段对话，商高对周公姬旦说：“故折矩以为勾广三，股修四，径隅五”.
数学文化
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”，斜边称为“弦”.
按照商高的说法，如果勾长为三，股长为四，弦长必定是五.
你知道为什么吗？
国际数学家大会是最高水平的全球性数学科学学术会议.2002 年在北京召开了第 24 届国际数学家大会.如图就是大会的会徽的图案.
它由哪些基本图形组成？
你见过这个图案吗？
我们一起穿越回到 2500 年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面（如图）：
知识点1：勾股定理认识及验证
观察右边地面的图形，猜想毕达哥拉斯发现了什么？
A
B
C
（图中每一格
代表 1 cm2）
R
Q
P
A
C
B
如图，在等腰三角形 ABC 中，∠C = 90°，以 AC 为边作正方形 P，以 BC 为边作正方形 Q，以斜边 AB 为边作正方形 R.观察图形进行填空.
合作探究
正方形 Q 的面积是_____个单位面积；
正方形 P 的面积是_____个单位面积；
正方形 R 中含有_____个小方块，正方形 R 的面积是_____个单位面积.
1
1
2
2
（图中每一格
代表 1 cm2）
SP + SQ = SR
R
Q
P
A
C
B
AC2 + BC2 = AB2
等腰直角三角形 ABC 三边长度之间存在什么关系吗？
SP = AC2 SQ = BC2 SR = AB2
上面三个正方形的面积之间有什么关系？
以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和，等于以斜边为正方形的面积.
请你类比上面的方法对一般直角三角形进行探索 (每个小正方形的面积为单位 1)：
这两幅图中A，B的面积都好求，该怎样求 C 的面积呢？
方法一：割
方法二：补
方法三：拼
分割为四个直角三角形和一个小正方形.
补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积.
将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形.
分析表中数据，你发现了什么？
A 的面积 B 的面积 C 的面积
左图 4 9 13
右图 16 9 25
双击图标开始演示几何画板
结论：以直角三角形两直角边为边长的两个小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
同学们发现的直角三角形三边的规律是否适用于所有的直角三角形呢？
验证命题：如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2 + b2 = c2. 两直角边的平方和等于斜边的平方.
让我们跟着以前的数学家们用多种方法来证明这一命题.
a
b
b
c
a
b
c
a
证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图，再用所拼的图形证明命题吧.
a
b
c
∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b - a)2，
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
b- a
证明：
“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积证明了这一命题，表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲！因此，这个图案被选为 2002 年在北京召开的国际数学家大会的会徽.
证法2 毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
∴ a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab，
∴ a2 +b2 = c2.
证明：
∵ S大正方形 = (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab，
S大正方形 = 4S直角三角形 + S小正方形
= 4× ab + c2
= c2 + 2ab，
a
a
b
b
c
c
∴ a2 + b2 = c2.
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2 + b2 = c2.
在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.
a、b、c 为正数
a
b
c
归纳总结
勾股定理
公式变形
如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2 + b2 = c2.
知识点2：利用勾股定理进行计算
例2 如图，根据所给条件分别求两个直接三角形中未知边的长.
解：(1) 在 Rt△ABC 中，根据勾股定理，
AB ＝AC ＋BC ＝8 ＋6 ＝100，
B
6
8
A
C
E
D
F
15
17
所以 AB＝10.
(2) 在 Rt△DEF 中，根据勾股定理，DE ＋EF ＝DF ，
从而 DE ＝DF －EF ＝17 －15 ＝64，
所以 DE＝8.
(1)
(2)
(1) 若 a∶b = 1∶2 ，c = 5，求 a；
(2) 若 b = 15，∠A = 30°，求 a，c.
【变式题1】在 Rt△ABC 中， ∠C = 90°.
设 a = x，c = 2x，
(2x)2 - x2 = 152，
解：(1) 设 a = x，b = 2x
x2 + (2x)2 = 52，
(2)
解得
【变式题2】 在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当 AB 为斜边时，如图①，
当 BC 为斜边时，如图②，
4
3
A
C
B
4
3
C
A
B
图①
图②
当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易漏解.
总结
求下列图中未知数 x、y 的值：
解：由勾股定理可得
81 + 144 = x2，
解得 x = 15.
解：由勾股定理可得
y2 + 144 = 169，
解得 y = 5.
练一练
1.下列说法中，正确的是 （ ）
A. 已知 a，b，c 是三角形的三边，则 a2 + b2 = c2
B. 在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，所以 a2 + b2 = c2
D. 在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，所以 a2 + b2 = c2
C
2. 图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 cm .
8 cm
10 cm
36
3. 在 △ABC 中，∠C = 90°.
(1) 若 a = 15，b = 8，则 c = .
(2) 若 c = 13，b = 12，则 a = .
4. 若直角三角形中，有两边长是 5 和 7，则第三边
长的平方为_________.
17
5
74 或 24
勾股定理
内容
符号语言：
在Rt△ABC 中，
∠C = 90°，
______________
注意
在直角三角形中
看清哪个角是直角
已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论
a2 + b2 = c2.
a
b
c

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