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20.1　勾股定理及其应用
第2课时　勾股定理在实际生活中的应用
1.进一步理解和掌握勾股定理.
2.能够利用勾股定理解决简单的实际问题.
3.通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，体会转化思想、模型思想，形成应用意识.
重点：运用勾股定理解决实际问题.
难点：勾股定理的灵活应用.
知识链接：上节课我们学习了勾股定理，回顾一下相关知识.
探究点：勾股定理在实际生活中的应用
（教材P26例2）一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
分析：
解：连接AC，在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5.
所以AC＝≈2.24.因为AC大于木板的宽2.2m，所以木板能从门框内通过.
（教材P26例3）如图，一架长为2.5m的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离BO为0.7m.如果将梯子底端沿OB向外移动0.8m，那么梯子顶端也沿墙AO下滑0.8m吗？
分析：　
解：当梯子底端沿OB向外移动0.8m时，设梯子的底端由点B移动到点D，顶端由点A下滑到点C.可以看出，AC＝OA－OC.
在Rt△AOB中，根据勾股定理，OA2＝AB2－OB2＝2.52－0.72＝5.76，OA＝2.4.
在Rt△COD中，根据勾股定理，OC2＝CD2－OD2＝2.52－（0.7＋0.8）2＝4，OC＝2.
所以AC＝OA－OC＝2.4－2＝0.4.
因此，当梯子的底端向外移动0.8m时，梯子顶端并不是下滑0.8m，而是下滑0.4m.
归纳总结：利用勾股定理解决实际问题的一般思路：①正确理解实际问题的题意；②建立对应的数学模型；③解决相应的数学问题；④将数学问题的结果“翻译”成实际问题的答案.
【对应训练】教材P27练习.
1.一架5m长的梯子斜靠在建筑物上，如果梯子的底端离建筑物3m远，那么该梯子可以达到建筑物的高度是（　C　）
A.2m B.3m C.4m D.5m
2.如图，这是可近似看作一个等腰三角形ABC的衣架，其中腰长26cm，底边上的高长10cm，则底边BC＝　48　cm.
第2题图 第3题图
3.如图，一棵大树高8m，一场大风过后，大树在离地面3m处折断倒下，树的顶端落在地上，则此时树的顶端离树的底部有　4　m.
4.如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离了欲到达点B240m.已知他在水中游了510m，求该河的宽度（两岸可近似看作平行）.
解：根据题意得∠ABC＝90°，
则AB＝＝＝450（m），即该河的宽度为450m.
　　　　　　(共16张PPT)
20.1 勾股定理
第二十章 勾股定理
第2课时 勾股定理在实际生活中的应用
人教版八年级（下）
回顾思考
a、b、c 为正数
a
b
c
勾股定理
公式变形
直角三角形的_________________，等于____________.
如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么___________.
两条直角边的平方
斜边的平方
a2 + b2 = c2
有一人拿着一根杆子进屋门，横着拿，不能进，竖着拿，也不能进，干脆将其折断，才解决了问题.请问同学们，这样是真正解决了问题了吗？让你做的话，你感觉怎么办合适？
古代笑话一则
问题 观看下面同一根长竹竿以三种不同的方式进门的情况，对于长竹竿进门之类的问题你有什么启发？
这个跟我们学的勾股定理有关，将实际问题转化为数学问题
知识点1：勾股定理的简单实际应用
2 .2m
3 m
A
B
D
C
典例精析
例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长 3 m，宽 2.2 m 的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
可以看出木板横着或竖着都不能从门框通过，只能试试斜着能否通过.
门框对角线 AC 的长度是斜着能通过的最大长度，求出 AC，再与木板的宽比较，就能知道木板能否通过.
求对角线的长
若木板长小于AC 长，则通过；
反之，不行
抽象成数学问题
解决实际问题
实际问题：
木板能否从门框通过？
勾股定理
对角线AC
3 m
2.2 m
几何问题：
利用______，
求______的长
3 m
2.2 m
2 .2m
3 m
A
B
D
C
典例精析
例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长 3 m，宽 2.2 m 的长方形薄木板能否从门框内通过 为什么
解：连接 AC，在Rt△ABC 中，根据勾股定理，
AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝52.
因为 AC 大于木板的宽 2.2 m，
所以木板能从门框内通过.
所以 AC＝ ≈2.24 m.
例2 如图，一架长为 2.5 m 的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点 A 处，底端位于地面的点 B 处，点 B 到墙面的距离 BO 为 0.7 m. 如果将梯子底端沿 OB 向外移动 0.8 m，那么梯子顶端也沿
墙 AO 下滑 0.8 m 吗
A
B
D
C
O
解：当梯子底端设 OB 向外移动
0.8 m 时，设梯子的底端由点 B 移动到点 D ，顶端由点 A 下滑到点 C.
可以看出，AC＝OA－OC.
A
B
D
C
O
在 Rt△AOB 中，根据勾股定理得
OA2 = AB2 - OB2 = 2.52 - 0.72 = 5.76，
OA = 2.4.
在 Rt△COD 中，根据勾股定理得
OC2 = CD2 - OD2 = 2.52-(0.7+0.8)2=4，
因此，当梯子底端向外移动 0.8 m 时，梯子顶端并不是下滑 0.8 m，而是下滑 0.4 m.
OC = 2.
所以，AC = OA - OC = 2.4 - 2 = 0.4.
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
数学问题
直角三角形
勾股定理
实际问题
转化
构建
利用
决解
归纳总结
将实际问题转化为数学问题，建立几何模型，画出图形，分析已知量、待定量，这是利用勾股定理解决实际问题的一般思路.
练一练
1.有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？
解：设水深为 x 尺，则这根芦苇的高为 (x+1) 尺，根据题意和勾股定理可列方程：
x2+52 = (x+1)2，解得 x = 12.
C
A
B
2.如图，学校教学楼前有一块长为 4 米，宽为 3 米的长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“径路”，却踩伤了花草.
（1）求这条“径路”的长；
（2）他们仅仅少走了几步(假设2步为1米)？
别踩我，我怕疼!
解：(1) 在Rt△ ABC 中，
根据勾股定理得
∴这条“径路”的长为5米.
(2) 他们仅仅少走了
(3 + 4 - 5)×2 = 4(步).
勾股定理
的应用
用勾股定理解决实际问题
用勾股定理解决点的距离
解决“HL”判定方法证全等的正确性问题
1.从电线杆上离地面 5 m的 C 处向地面拉一条长为 7 m的钢缆，则地面钢缆 A 到电线杆底部 B 的距离是( )
A. 24 m B. 12 m C. m D. m
D
2.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是 9 cm，内壁高 12 cm，则这只铅笔的长度可能是（　　）
A. 9 cm B. 12 cm C. 15 cm D. 18 cm
D
3. 已知点(2，5)，(-4，-3)，则这两点的距离为____.
10
4. 如图，有两棵树，一棵高 8 米，另一棵高 2 米，两棵树相距 8 米. 一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行多少米？
A
B
C
解：如图，过点 A 作 AC⊥BC 于点 C.
由题意得 AC = 8 (米)，BC = 8 - 2 = 6 (米)，
答：小鸟至少飞行 10 米.

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