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20.2　勾股定理的逆定理及其应用
第1课时　勾股定理的逆定理
1.理解并掌握勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形.
2.探究勾股定理的逆定理的证明方法，感悟数形结合思想的应用.
3.会认识并判断勾股数，由特殊到一般寻找勾股数规律.
重点：勾股定理的逆定理的理解及其应用.
难点：探究勾股定理的逆定理.
知识链接：上节课我们学习了利用勾股定理作图的方法，回顾一下相关知识.
探究点：勾股定理的逆定理
问题1：（教材P34观察）画一画，如果三角形的三边长分别为2.5cm，6cm，6.5cm和4cm，7.5cm，8.5cm，量量看是不是直角三角形.
是直角三角形.
问题2：结合上面的操作，想想学过的勾股定理，猜想一个三角形的三边满足什么关系时，这个三角形就是直角三角形？用命题形式表述.
如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形.
问题3：这个猜想就是勾股定理的逆命题，如何证明它呢？
如图①，已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a2＋b2＝c2.
求证：△ABC是直角三角形.
提示：回想上节课中用勾股定理证明“HL”，借助全等三角形的知识.
如图②，作一个Rt△A'B'C'，使B'C'＝a，A'C'＝b，∠C'＝90°.根据勾股定理，A'B'2＝B'C'2＋A'C'2＝a2＋b2.因为a2＋b2＝c2，∴A'B'＝c.在△ABC和△A'B'C'中，BC＝a＝B'C'，AC＝b＝A'C'，AB＝c＝A'B'，所以△ABC≌△A'B'C'（SSS）.因此∠C＝∠C'＝90°，即△ABC是直角三角形.
问题4：我们知道两个内角互余的三角形是直角三角形，现在还可以依据什么判断一个三角形是直角三角形？
还可以依据上面证明的命题.
归纳总结：我们证明了勾股定理的逆命题是正确的，它也是一个定理.这个定理叫作勾股定理的逆定理.它是判定直角三角形的一个依据.
（教材P35例1）判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
（1）a＝8，b＝15，c＝17；（2）a＝14，b＝13，c＝15.
分析：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较短边长的平方和是否等于最长边长的平方.
解：（1）因为82＋152＝64＋225＝289，172＝289，所以82＋152＝172.
根据勾股定理的逆定理，由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形.
（2）因为142＋132＝196＋169＝365，152＝225，所以142＋132≠152.
根据勾股定理的逆定理，由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形.
归纳总结：勾股数的概念：像8，15，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.常见的勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.
【对应训练】教材P36练习.
1.下列各组数是勾股数的是（　A　）
A.6，8，10 B.0.3，0.4，0.5 C.9，41，47 D.52，122，132
2.在△ABC中，AB＝1，AC＝，BC＝2，则这个三角形是（　B　）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
3.已知△ABC的三边长为a，b，c，且a＋b＝7，ab＝1，c2＝47，试判断△ABC的形状，并说明理由.
解：△ABC是直角三角形.理由：∵a＋b＝7，ab＝1，∴a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝49－2＝47.
又∵c2＝47，∴a2＋b2＝c2.∴△ABC是以c为斜边的直角三角形.
　　　　　　(共18张PPT)
20.2 勾股定理的逆定理
第二十章 勾股定理
第1课时 勾股定理的逆定理
前面我们学习了勾股定理，同学们能说出它的题设和结论吗？
新课导入
勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边为 c，那么 a2 + b2 = c2.
形
结论：a2 + b2 = c2.
题设(条件)：直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边为 c.
数
A
C
B
a
b
c
反过来，如果一个三角形的三边长 a，b， c， 满足 a2 + b2 = c2. 那么这个三角形的题设和结论是怎样的？
结论：这个三角形是直角三角形.
题设(条件)：三角形的三边长 a，b， c， 满足 a2 + b2 = c2.
结论能成立吗？
据说，古人用如图的方法画直角：把一根长绳打上等等距的 13 个结，然后以 3 个结间距，4 个结间距，5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
这种做法真能得到一个直角三角形吗？
知识点1： 勾股定理的逆定理
探究新知
3
4
5
这个三角形三边有什么关系吗？
32 + 42 = 52
画一画
(1) 下列各组数中两个数的平方和等于第三个数的平方，分别以这些数为边长 (单位：cm) 画三角形：
① 2.5，6，6.5； ② 4，7.5，8.5.
(2) 量一量：用量角器分别测量上述各三角形的度数.
2.5
6
6.5
4
7.5
8.5
(3) 想一想：判断这些三角形的形状，提出猜想.
这些三角形是直角三角形！
命题2 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
猜想
△ABC≌△ A′B′C′ 　　
∠C 是直角　　　
△ABC 是直角三角形　　
A　
B　
C　
a
b
c
构造两直角边分别为a，b 的Rt△A′B′C′
证一证：
已知：如图，△ABC的三边长 a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC 是直角三角形．
证明：作 Rt△A′B′C′，使∠C′ = 90°，A′C′ = b，B′C′ = a，
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).
∴∠C = ∠C′ = 90°， 即△ABC 是直角三角形.
A
C
a
B
b
c
在△ABC 和△A′B′C′ 中
则 A′B′ 2 = B′C′ 2 + A′C′ 2 = a2 + b2.
∵ a2 + b2 = c2，∴ A′B′ 2 = c2 . ∴ A′B′ = c .
如果三角形的三边长 a 、b 、c 满足
a2 + b2 = c2，
那么这个三角形是直角三角形.
A
C
B
a
b
c
勾股定理的逆定理
这是判定直角三角形的一个依据.
形
数
例1 判断由线段 a，b，c 组成的三角形是不是
直角三角形：
典例精析
(1) a = 8，b = 15，c = 17；
(2) a = 14，b = 13，c = 15.
分析：根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
答案：(1) 是直角三角形.
(2) 不是直角三角形.
练一练
1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是( )
A．2，3，4 B．3，4，6
C．5，12，13 D．4，6，7
C
2.一个三角形的三边的长分别是 3，4，5，则这个三角形最长边上的高是 ( )
A．4 B．3 C．2.5 D．2.4
D
知识点2： 勾股数
如果三角形的三边长 a，b，c 满足
a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数，称为勾股数.
常见勾股数：
3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26 等等.
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数 k ( k 为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
如：3，4，5
6，8，10
扩大 2 倍
当堂小结
A　
B　
C　
a
b
c
勾股定理：
在 Rt△ABC 中，
若∠C = 90°，
则___________
勾股定理的逆定理：
回顾所学，并完成下列框图.
互逆定理
a2 + b2 = c2
在 △ABC 中，若 a2 + b2 = c2，则△ABC 为直角三角形且∠C = 90°.
当堂练习
1.下列各组数是勾股数的是 ( )
A.3，4，7 B.5，12，13
C.1.5，2，2.5 D.1，3，5
将直角三角形的三边长扩大同样的倍数，则得到
的三角形 ( )
A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形
B
A
3.在△ABC 中，∠A， ∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c.
①若∠C - ∠B = ∠A，则△ABC 是直角三角形；
②若 c2 - b2 = a2，则△ABC是直角三角形，且∠C = 90°；
③若 (c + a)(c - a) = b2，则△ABC 是直角三角形；
④若∠A∶∠B∶∠C = 5∶2∶3，则△ABC是直角三角形.
以上命题中的假命题有 （ ）
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
A
4. 若△ABC 的三边 a，b，c 满足 a2 + b2 + c2 + 50 = 6a + 8b + 10c. 试判断△ABC 的形状.
解：∵ a2 + b2 + c2 + 50 = 6a + 8b + 10c，
∴ a2－6a + 9 + b2－8b + 16 + c2－10c + 25 = 0.
即 (a－3) + (b－4) + (c－5) = 0.
∴ a = 3，b = 4，c = 5，
即 a2 + b2 = c2.
∴△ABC 是直角三角形.

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