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20.2　勾股定理的逆定理及其应用
第2课时　勾股定理的逆定理的应用
1.理解勾股定理与其逆定理的区别和联系.
2.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题，培养应用数学的意识.
重点：灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.
难点：割补思想、转化思想和数形结合思想的应用.
知识链接：上节课我们学习了勾股定理的逆定理，回顾一下相关知识.
探究点一：勾股定理的逆定理的实际应用
（教材P36例2）如图，港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile.它们离开港口1.5h后分别位于点Q，R处，且相距30nmile.如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？
分析：在图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果能求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了.
解：根据题意，PQ＝16×1.5＝24，PR＝12×1.5＝18，QR＝30.
因为242＋182＝302，即PQ2＋PR2＝QR2，所以∠QPR＝90°.
由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1＝45°.因此∠2＝45°，即“海天”号沿西北方向航行.
归纳总结：解决实际问题的步骤：①构建几何模型（从整体到局部）；②标注有用信息，明确已知和所求；③应用数学知识求解.
【对应训练】教材P37练习第1题和第2题.
探究点二：勾股定理及其逆定理的综合应用
问题1：勾股定理与其逆定理的区别和联系是什么？
区别 （1）勾股定理是已知直角三角形.得出三边之间的关系；勾股定理的逆定理是已知三角形的三边关系，得出直角三角形. （2）勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理.
联系 勾股定理及其逆定理都与直角三角形有关.
（教材P37例3）如图，在四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3，AD＝，DC＝.如果AC⊥BC，判断AC与AD是否也垂直，并说明理由.
分析：若能求出AC的长，就可以根据勾股定理的逆定理判断△ACD是不是直角三角形，从而判断AC是否垂直于AD.
解：因为AC⊥BC，所以∠ACB＝90°.
在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC2＝AB2－BC2＝52－32＝16，所以AC＝4.
在△ACD中，AC2＋AD2＝42＋＝，CD2＝＝，所以AC2＋AD2＝CD2.
因此△ACD是直角三角形，即AC⊥AD.
【对应训练】教材P37练习第3题.
1.如图，OA＝6，OB＝8，AB＝10，点A在点O的北偏西50°方向，则点B在点O的（　A　）
A.北偏东40°的方向上
B.北偏东50°的方向上
C.南偏东40°的方向上
D.南偏东50°的方向上
2.一个三角形的三边长分别为5，12，13，则这个三角形最长边上的高线长为　　.
3.如图，学校要在一块四边形空地ABCD上种植草皮，测得∠ABC＝90°，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，AD＝13m.若每平方米草皮需要200元，则学校需要投入多少钱？
解：如图，连接AC，∵∠B＝90°，AB＝3m，BC＝4m，
∴AC＝＝＝5（m）.
∵CD＝12m，AD＝13m，∴AC2＋CD2＝AD2.
∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°.
∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝×3×4＋×5×12＝36（m2），200×36＝7200（元）.∴学校需要投入7200元.
　　　　　　(共18张PPT)
20.2 勾股定理的逆定理
第2课时 勾股定理的逆定理的应用
第二十章 勾股定理
知识回顾
A　
B　
C　
a
b
c
勾股定理：
在 Rt△ABC 中，
若∠C = 90°，
则___________
勾股定理的逆定理：
回顾所学，并完成下列框图.
互逆定理
a2 + b2 = c2
在 △ABC 中，若 a2 + b2 = c2，则△ABC 为直角三角形且∠C = 90°.
在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而常需要使用一些数学知识和方法，其中勾股定理的逆定理经常会被用到，这节课让我们一起来学习吧.
探究新知
知识点1： 勾股定理的逆定理的应用
1
2
例1 如图，港口 P 位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16 n mile，“海天”号每小时航行 12 n mile. 它们离开港口 1.5 h 后分别位于点 Q，R 处，且相距 30 n mile. 如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行吗？
N
E
P
Q
R
分析：在图中可以看到，由于 “远航”号的航向已知，如果能求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向.
解：根据题意，
PQ = 16×1.5 = 24，
PR = 12×1.5 = 18，QR = 30.
1
2
N
E
P
Q
R
由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1 = 45°.
因此∠2 = 45°，即“海天”号沿西北方向航行.
所以∠QPR = 90°.
因为 242 + 182 = 302，即 PQ2 + PR2 = QR2，
练一练
1. A、B、C 三地的两两距离如图所示，A 地在 B 地的正东方向，C 在 B 地的什么方向？
解：∵ BC2 + AB2 = 52 + 122 = 169，
AC2 = 132 = 169，
∴ BC2 + AB2 = AC2.
即△ABC 是直角三角形，
∠B = 90°.
答：C 在 B 地的正北方向．
A
B
C
5 cm
12 cm
13 cm
2.如图是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8 m，AD ＝ BC ＝6 m，AC ＝9 m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？
解：∵ AB＝DC＝8 m，AD＝BC＝6 m，
∴ AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100.
又∵ AC2＝92＝81，
∴ AB2＋BC2≠AC2.
∴ ∠ABC≠90°，
∴ 该农民挖的不合格．
例2 如图，在四边形 ABCD 中，AB＝5，BC＝3，AD＝ ，DC＝ . 如果 AC⊥BC，判断 AC 与AD 是否也垂直，并说明理由.
分析：若能求出 AC 的长，就可以根据勾股定理或其逆定理判断△ACD 是不是直角三角形，从而判断 AC 是否垂直于 AD.
A
B
C
D
知识点2： 勾股定理及其逆定理的综合应用
解：因为 AC⊥BC，所以∠ACB＝90°.
在 Rt△ABC 中，根据勾股定理，
AC ＝AB －BC ＝5 －3 ＝16.
所以 AC＝4.
在△ACD 中，
所以 AC ＋AD ＝CD .
因此△ACD 是直角三角形，即AC⊥AD.
A
B
C
D
3. 如图，在△ABC 中，AB = 17，BC = 16，BC 边上 的中线 AD = 15，试说明：AB = AC.
解：∵ BC = 16，AD 是 BC 边上的中线，
∴ BD = CD = BC = 8.
∵ 在△ABD 中，AD2 + BD2 = 152 + 82 = 172 = AB2，
∴△ABD 是直角三角形，即∠ADB = 90°．
∴ 在 Rt△ADC 中，
∴ AB = AC.
练一练
4. 如图，在网格图中，每个小正方形的边长都为 1，△ABC 的顶点均位于格点上.
(1) 判断∠C 是否为直角，并求出△ABC 的面积；
A
B
C
解：如图，BC2 = 2，AC2 = 13，AB2 = 17.
∴ AB2 ≠ AC2 + BC2 ，∠C 不是直角.
∴ S△ABC = 2×4 - ×1×1 - ×2×3
- ×1×4
= 2.5.
(2) 请在网格图中分别画出顶点均在格点上的三角形，
使其分别满足以下要求：
①画一个直角边为 3，面积为 6 的直角三角形
②画一个面积为 5 的等腰三角形.
A
B
C
①
②
当堂小结
勾股定理的逆定理的应用
应用
航海问题
与勾股定理结合解决不规则图形等问题
1. 在△ABC 中，三边长分别为 3，4，5，那么最长边上的高为_______.
2. 若一个三角形的三边长之比为 3∶4∶5，且周长为60 ，则它的面积为____________.
基础练习
当堂练习
150
3.在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标 A、B．于是，一艘搜救艇以16 海里/时的速度离开港口 O（如图）沿北偏东 40° 的方向向目标 A 的前进，同时，另一艘搜救艇也从港口 O 出发，以 12 海里/时的速度向着目标 B 出发，1.5小时后，他们同时分别到达目标 A、B．此时，他们相距 30 海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？
解：根据题意得 OA = 16×1.5 = 24 (海里)，
OB = 12×1.5 = 18 (海里)，
∵ OB2 + OA2 = 242 + 182 = 900，
AB2 = 302 = 900，
∴ OB2 + OA2 = AB2. ∴∠AOB = 90°.
∵第一艘搜救艇以 16 海里/时的速度离开港口O (如图)沿北偏东 40° 的方向向目标 A 的前进，
∴ ∠BOD = 50°，
即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西 50 度．
解：连接 BD. 在Rt△ABD 中，
由勾股定理得 BD2 = AB2 + AD2，
∴ BD = 5 cm.
又∵ CD = 12 cm，BC = 13 cm，
∴ BC2 = CD2 + BD2. ∴△BDC 是直角三角形.
∴S四边形ABCD = SRt△BDC－SRt△BAD= BD CD－ AB AD
= ×(5×12－3×4) = 24 (cm2)．
4. 如图，四边形 ABCD 中，AB⊥AD，已知 AB = 3 cm，AD = 4 cm，CD = 12 cm，BC = 13 cm，求四边形 ABCD 的面积.
C
B
A
D
(1) 证明：∵ CD = 1，BC＝ ，BD = 2，
∴ CD2 + BD2 = BC2，∴△BDC 是直角三角形.
(2) 解：设腰长 AB = AC = x，
在 Rt△ADB 中，∵ AB2 = AD2 + BD2，
∴ x2 = (x - 1)2 + 22，
解得
用到了方程的思想
5. 如图，△ABC 中，AB = AC，D 是 AC 边上的一点，CD = 1，BC＝ ，BD = 2．
(1) 求证：△BCD 是直角三角形；
(2) 求△ABC 的面积．

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