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小结与复习
第二十章 勾股定理
回顾整个单元的学习内容，补充知识结构图：
直角
三角形
性质
判定
角
边
角
边
勾股定理
知识结构图
勾股定理的逆定理
互逆定理
知识回顾
1. 如果直角三角形两直角边分别为 a，b，斜边
为 c，那么_____________.
a2 + b2 = c2
在直角三角形中才可以运用
2. 勾股定理的应用条件：
___________________________
一、勾股定理
3. 勾股定理表达式的常见变形：
a2＝c2－b2，b2＝c2－a2，
A
B
C
c
a
b
二、勾股定理的逆定理
1. 勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长 a，b，c 满足
a2 + b2 = c2 ，那么这个三角形是直角三角形.
满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数，称为勾股数.
2. 勾股数
A
B
C
c
a
b
考点一 勾股定理及其应用
考点讲练
例1 Rt△ABC 中，斜边 BC = 2，则 AB2 + AC2 + BC2 的值为 ( )
A. 8 B. 4 C. 6 D. 无法计算
A
分析：在 Rt△ABC 中，BC2 = AB2 + AC2
AB2 + AC2 + BC2 = 2BC2 = 8
A
B
C
例2 一直角三角形的三边分别为 2、3、x，那么以 x 为边长的正方形的面积为___________.
5 或13
分析：题目没有告诉斜边长，则需要分两种情况讨论：
当斜边长为 3 时，以 x 为边长的正方形的面积 = x2，
x2 = 32 - 22 = 5；
当斜边长为 x 时，以 x 为边长的正方形的面积 = x2，
x2 = 32 + 22 = 13.
例3 在 O 处的某海防哨所发现在它的北偏东 60° 方向相距 1000 米的 A 处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干小时后快艇到达哨所东南方向的 B 处.
(1) 此时快艇航行了多少米？
分析：将实际问题转化为几何问题
已知： OA = 1000 米，∠AOC = 30°，∠COB = 45° ，AB⊥OC.
求解： AB 的长.
北
东
O
A
B
60°
45°
C
30°
解：根据题意得∠AOC = 30°，∠COB = 45°，AO = 1000 米.
∴ AC = 500 米，BC = OC.
在 Rt△AOC 中，由勾股定理得
∴ BC = OC = (米).
北
东
O
A
B
60°
45°
C
已知： OA = 1000 米，∠AOC = 30°，
∠COB = 45° ，AB⊥OC.
求解： AB 的长.
30°
∴ AB = AC + BC = (米).
(2) 此时快艇距离哨所多少米？
解：在 Rt△BOC 中，由勾股定理得
北
东
O
A
B
60°
45°
C
分析：将实际问题转化为几何问题，即求 OB 的长.
练一练
1. 已知 Rt△ABC 中，∠C = 90°，若 a + b = 14 cm，
c = 10 cm，求△ABC 的面积.
解：∵ a + b = 14，
∴ (a + b)2 = 196.
又∵ a2 + b2 = c2 = 100，
∴ 2ab = 196 - (a2 + b2) = 96，
∴ ab = 24，即△ABC 的面积为 24 cm2．
2. 如图，在△ABC 中，AB∶BC∶CA = 3∶4∶5，且周长为 36 cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 B 点以每秒 2 cm的速度移动，点 Q 从点 C 沿 CB 边向点 B 以每秒1 cm的速度移动，如果同时出发，则过 3 s时，求 PQ 的长．
解：设 AB 为 3x cm，BC 为 4x cm，AC 为 5x cm，
∵ 周长为 36 cm，即 AB + BC + AC = 36 cm，
∴ 3x + 4x + 5x = 36，解得 x = 3.
∴ AB = 9 cm，BC = 12 cm，AC = 15 cm.
∵ AB2 + BC2 = AC2，∴ △ABC 是直角三角形，
过 3 秒时，BP = 9 - 3×2 = 3 (cm)，
BQ = 12-1×3 = 9 (cm)，
在 Rt△PBQ 中，由勾股定理得
解：当高 AD 在△ABC 内部时，如图①.
在 Rt△ABD 中，由勾股定理，
得 BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，
∴BD＝16.
在 Rt△ACD 中，由勾股定理，
得 CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，
∴ CD＝9. ∴ BC＝BD＋CD＝25，
∴ △ABC 的周长为 25＋20＋15＝60.
3. 在△ABC 中，AB＝20，AC＝15，AD 为 BC 边上的高，且AD＝12，求 △ABC 的周长．
题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高 AD 在△ABC 内的情形，忽视高 AD 在△ABC 外的情形.
当高 AD 在△ABC 外部时，如图②.
同理可得 BD＝16，CD＝9.
∴BC＝BD－CD＝7，
∴△ABC的周长为 7＋20＋15＝42.
综上所述，△ABC的周长为 42 或 60.
注意
例1 判断：满足下列条件的△ABC 是否一定是直角三角形？(一定是的打“√”，不确定的打“×”)
( )
(2) ∠A = 35°，∠B = 55°；
( )
(3) ∠A = 45°，BC = 5；
( )
(4) AB = 8，AC = 17，BC = 15.
( )
×
√
√
×
考点二 勾股定理的逆定理及其应用
例2 如图，在四边形 ABCD 中，AB = 20 cm，
BC = 15 cm，CD = 7 cm，AD = 24 cm，∠ABC = 90°．猜想∠BAD 与∠BCD 的关系，并加以证明．
分析：连接 AC.
20
15
7
24
25
AB = 20 ，
BC = 15 ，
∠ABC = 90°
∠ABC = 90°
勾股定理
AC = 25
AD = 24
CD = 7
△ADC 是直角三角形
20
15
7
24
25
解：猜想∠BAD + ∠BCD = 180°．
证明如下：连接AC.
在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
∴ AD2 + DC2 = 625 = 252 = AC2．
∴△ADC 是直角三角形，且∠D = 90°．
∵∠DAB +∠B +∠BCD +∠D = 360°，
∴∠BAD + ∠BCD = 180°．
例3 B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东 60° 方向以每小时 8 n mile 的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时 15 n mile 的速度前进，2 h 后，甲船到 M 岛，乙船到 P 岛，两岛相距 34 n mile，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？
北
东
O
A
B
60°
45°
C
30°
解：甲船航行的距离为 BM = 16 (n mile)，
乙船航行的距离为 BP = 30 (n mile)．
∵162 + 302 = 1156，342 =1156，
∴BM2 + BP2 = MP2，
∴△MBP 为直角三角形，∴∠MBP = 90° ，
∴乙船是沿着南偏东 30° 方向航行的．
1. 已知 a，b， c 是△ABC 的三边长，如果
，那么△ABC ( )
A. 是以 a 为斜边的直角三角形
B. 是以 b 为斜边的直角三角形
C. 是以 c 为斜边的直角三角形
D. 不是直角三角形
练一练
C
2. 如图，在△ABC 中，已知∠A 为钝角，边 AB ，AC的垂直平分线分别交 BC 于点 D，E.
如果 DE2 = BD2 + EC2 ，那么∠A 的度数是_________.
135°
4. 如图，在四边形 ABCD 中，AB = 8，BC = 6，
AC = 10， AD = CD = ，求四边形 ABCD 的面积.
∴△ ABC 是直角三角形，且∠B 是直角.
∴ △ADC 是直角三角形，且∠D 是直角.
∴ S 四边形 ABCD =
1. 如图，已知等腰直角三角形 ABC，∠ABC ＝ 90°，AB ＝ 1，以 Rt△ABC 的斜边 AC 为腰向外作等腰三角形 ACD. 依次作下去，则第 4 个等腰直角三角形的面积 S4 = _________； 第 10 个等腰直角三角形的面积
S10 = _________；第 n 个等腰直角三角形的面积
Sn = _________.
A
B
C
D
拓展延伸
D
n
⑩
...
2-1
20
21
22
S10 = 28
...
Sn = 2n-2
面积 = 边长2
边长
序号
S1 =
①
1
S3 = 2
2
③
S2 = 1
②
④
S4 = 4
指数比序号少2
1
A
B
C
S1
S2
S3
S4
2
4

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