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19.2　二次根式的乘法与除法
第1课时　二次根式的乘法
1.理解和掌握二次根式的乘法法则：·＝（a≥0，b≥0）.经历法则的探究过程，体会合情推理与演绎推理相互补充的辩证关系.
2.理解和掌握积的算术平方根的性质：＝·（a≥0，b≥0）.体会二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质之间的互逆关系.
3.利用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行计算和化简，提高学生的运算能力，初步要求计算结果达到求简意识.
重点：会利用积的算术平方根的性质化简，会进行二次根式的乘法运算.
难点：二次根式的乘法与积的算术平方根的性质的关系及应用.
知识链接：上节课我们学习了二次根式的性质，回顾一下相关知识.
探究点一：二次根式的乘法法则
问题1：（教材P6探究）计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
（1）×＝　6　，＝　6　；
（2）×＝　20　，＝　20　；
（3）×＝　42　，＝　42　.
规律：①被开方数都是正数；②左边的两个二次根式的乘积等于右边的一个二次根式，且左边的两个二次根式的被开方数的乘积等于右边的一个二次根式的被开方数.
问题2：你能用字母表示你发现的规律吗？
归纳总结：二次根式的乘法法则：·＝（a≥0，b≥0）.即二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.
（教材P6例1）计算：
（1）×；　　　　（2）×；　　　　（3）×.
解：（1）×＝＝；
（2）×＝＝＝3；
（3）×＝＝＝.
【对应训练】教材P7练习第1题.
探究点二：积的算术平方根的性质
把·＝（a≥0，b≥0）反过来，可以得到积的算术平方根的性质：＝·（a≥0，b≥0）.
问题3：a，b的取值有什么特点？积的算术平方根的性质和二次根式的乘法法则在用法上有什么区别和联系？
a，b都是非负数.积的算术平方根的性质是二次根式的乘法法则的逆用，可以用来化简二次根式.
（教材P7例2）化简：（1）；（2）（a≥0，b≥0）.
解：（1）＝×＝4×9＝36；
（2）＝··＝2·a·＝2a·＝2ab.
提示：被开方数4a2b3含有偶数次因数4（4＝22）和因式a2，b2，它们是开得尽方的因数和因式，被开方后可以移到根号外.
归纳总结：当二次根式根号内三个或三个以上的数或式相乘，＝··…·（a≥0，b≥0，…，k≥0）.
【对应训练】教材P7练习第2题.
（教材P7例3）计算：（1）×；（2）3×2；（3）·.
解：（1）×＝＝＝×＝7；
（2）3×2＝3×2×＝6＝6×＝6×5＝30；
（3）·＝＝＝·＝x.
归纳总结：当二次根式根号外的因数不为1时，m·n＝mn（a≥0，b≥0）.
【对应训练】教材P7练习第3题.
1.化简的结果是（　B　）
A.2 B.2 C.－2 D.±2
2.计算×的结果应是（　B　）
A.± B.2 C.4 D.20
3.若·＝，则（　A　）
A.x≥6 B.x≥0 C.0≤x≤6 D.x为一切实数
4.若＝m，＝n，则＝　10mn　（用含m，n的代数式表示）.
5.计算：
（1）×＝　2　；　（2）·＝　2　；　
（3）＝　156　.
6.[教材变式]计算或化简：
（1）×；　　　　（2）9×（－）；　　　　
（3）（m＞0）.
解：原式＝. 解：原式＝－27. 解：原式＝3m.
　　　　　　(共17张PPT)
第十九章 二次根式
19.2 二次根式的乘法
第1课时 二次根式的乘法
新课导入
长方形面积 ＝
＝
？
面积＝
？
面积＝
？
探究新知
知识点1： 二次根式的乘法
计算下列各式：
=_________；
(1) ___×___=____；
(3) ___×___=____；
=_________；
=_________.
(2) ___×___=____；
2
3
6
4
5
20
6
7
42
观察两者有什么关系？
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
思考 能用字母表示你所发现的规律吗？
(1)
(2)
(3)
猜测：
你能证明这个猜测吗？
(a≥0，b≥0)
面积＝
一般地，二次根式的乘法法则是
二次根式相乘，________不变，
_________相乘.
根指数
被开方数
本章中如果没有特别说明，所有的字母都表示正数.
归纳总结
例1 计算：
解：
典例精析
练一练
1. 计算：
解：原式 =
原式
知识点2：积的算术平方根的性质
反过来：
积的算术平方根的性质
(a≥0，b≥0)
一般地：
如：
(a≥0，b≥0)
例2 化简：
分析：(1)
(2)中 4a2b3 含有像 4，a2，b3，这样开的尽方的因
数或因式，把它们开方后移到根号外.
(2) 原式=
4×9
36
练一练
2. 化简：
解：(1)
分析：(3)
提公因式
完全平方公式
分析：
例3 计算：
分析：(1)
3. 计算：
练一练
解：(1) 原式 =
(2) 原式 =
总结
当二次根式根号外的因数不为 1 时，
二次根式的乘法
法则
积的算术平方根的性质
课堂小结
当堂练习
A
2. 已知 ≈1.732，那么 ≈________.
(结果保留小数点后两位)
3.46
1.若 ，则 （　　）
A．x≥6 B．x≥0
C．0≤x≤6 D．x 为一切实数
3. 计算：
平方差
公式
解：(1) 原式
(2) 原式 =
4. 如图，从一个大正方形中截去面积为 15 cm2
和 24 cm2 的小正方形，求留下部分的面积.
解：留下部分面积：
15 cm2
24 cm2
(cm2)
答：留下部分面积为 cm2.

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