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19.3　二次根式的加法与减法
第1课时　二次根式的加法与减法
1.理解可以合并的二次根式的含义，会判断几个二次根式是不是可以合并的二次根式.
2.理解和掌握二次根式加减的运算方法，会正确进行二次根式的加减运算.
3.通过类比整式的加减法，体会化归思想，提高计算能力，培养认真细致的良好学习习惯.
重点：二次根式加减法则的理解及应用.
难点：探索二次根式加减运算的方法和准确地进行二次根式的加减运算.
知识链接：前面我们学习了二次根式的乘法和除法，回顾一下相关知识.
探究点一：可以合并的二次根式
问题1：（教材P13思考）如何计算＋？
被开方数不同无法直接相加，可以将和化成被开方数相同的形式，类比整式运算中的合并同类项进行运算.
问题2：将与化为最简二次根式，看看它们可以合并吗？为什么？
＝3，＝2，可以合并，由于它们有共同的因数，可以利用分配律进行合并.
即＋＝3＋2＝（2＋3）＝5.
归纳总结：可以合并的二次根式：化简为最简二次根式后被开方数相同的二次根式.
若和最简二次根式3可以合并，则m＝　3　.
【对应训练】下列各组二次根式中，化简后能合并的是（　D　）
A.与　 B.与　 C.与　 D.与
探究点二：二次根式的加减
（教材P13例1）（在配套课件中展示）
（教材P13例2）（在配套课件中展示）
问题3：计算m＋n－p，并说明其中的依据.
m＋n－p＝（m＋n－p）.将看成共同的因式，依据是分配律.
问题4：教材P13例1和例2的计算中先做了什么？后做了什么？
先把每个二次根式化简成了最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式进行合并.
归纳总结：一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
问题5：比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结论？
二次根式的加减，第一步是化简，第二步是合并被开方数相同的二次根式，第二步类似于整式的加减中的合并同类项.
注意：（1）若被开方数中含有带分数或者小数，则要先化成（假）分数，进而化为最简二次根式；（2）原式中若有括号，要先去括号，特别注意需要变号的情况，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
【对应训练】教材P14练习第1题和第2题.
探究点三：二次根式加减的应用
（教材P14例3）有一块长为7.5dm、宽为5dm的木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？
解：大正方形木板的边长为dm.因为＜5，所以这块木板够宽.
两个正方形木板的边长的和为（＋）dm.
而＋＝2＋3＝（2＋3）＝5，
由＜1.5可知5＜7.5，即两个正方形木板的边长的和小于这块木板的长，所以这块木板够长.因此，可以用这块木板按要求截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板.
【对应训练】教材P14练习第3题.
1.下列二次根式中，能与合并的是（　C　）
A. B. C. D.
2.计算－的正确结果是（　D　）
A.4 B. C.2 D.
3.下列计算正确的是（　D　）
A.＋＝ B.3＋＝3 C.－＝ D.－＝
4.计算：
（1）＋＝　7　； （2）－＝　3　.
5.[高频易错]若最简二次根式与－7能够合并，则a＝　5　.
6.已知长方形相邻两边长分别为，，则它的周长是　14　.
7.[教材变式]计算：
（1）－＋； （2）＋.
解：原式＝2. 解：原式＝.
　　　　　　(共18张PPT)
第十九章 二次根式
19.3 二次根式的加减
第1课时 二次根式的加减
上节知识回顾
二次根式化简
被开方数不含_________
被开方数中不含能__________的因数或因式
分母
开得尽方
1. 化简：
探究新知
整式的加减
找同类项
合并同类项
二次根式的加减
合并同类二次根式
找同类
二次根式
类 比
知识点1：二次根式的加减
例如： 2 a + a =
(2 + 1) a = 3a
？
合作探究
观察下列二次根式有什么共同特征：
每组的二次根式的被开方数相同
下列二次根式又有什么共同特征？
经过化成最简二次根式后，各根式被开放数相同，像这样的几个二次根式被称为同类二次根式.
1. 与最简二次根式 能合并，则 m =_____.
练一练
1
同学们可以说出 的三个同类二次根式？
答案不唯一，如： ， ， .
二次根式的加减
找同类
二次根式
合并同类二次根式
例如： 2 a + a = (2 + 1) a = 3a
类 比
乘法分配律的逆运用
同理：
+ =
- =
(2 + 1)
(2 - 1)
=
=
问题：如何计算 .
（化成最简二次根式）
（利用分配律合并）
一般地，二次根加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并.
典例精析
例1 计算：
(1) ；
(2) ；
解：(1) ；
(2) .
(3)
(3) .
练一练
2. 计算：
解：
例2 计算：
(1) ；
(2)
解：(1)
(2)
练一练
3. 计算：
解：
例3 有一块长 7.5 dm、宽 5 dm 的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个分别是 8 dm2 和 18 dm2 的正方形木板？
7.5 dm
5 dm
S=8dm2
S=18dm2
分析：由图可以看出，只要木板的宽大于大正方形木板的边长，木板的长大于两个正方形木板的边长的和，就能截出所要求的两个正方形木板.
7.5 dm
5 dm
S=8dm2
S=18dm2
解：大正方形木板的边长为 dm.
因为 ＜5，所以这块木板够宽.
两块正方形木板的边长的和为 ( ) dm，而
由 ＜1.5 可知 ＜7.5，
即两个正方形木板的边长的和小于这块木板的长，所以这块木板够长.
因此，可以用这块卡板按要求截出两块面积分别是 8 dm 和 18 dm 的正方形木板.
课堂小结
二次根式的加减
先将二次根式化成_________
再将__________相同的二次根式进行_________
最简二次根式
被开方数
合并
当堂练习
基础练习
1.二次根式： 中，与 能进行合并的是 （ ）
2.下列运算中错误的是 （ ）
A
C
3. 如果最简二次根式 与 能够合并，
那么 x =_____.
2
4. 计算：
解：(1) 由题意得 .
(2) 能. 理由如下：∵ 即 a＜c＜b，
又∵ ∴ a + c＞b，
∴ 能构成三角形，周长为
5. 已知 a，b，c 满足 .
(1) 求 a，b，c 的值；
(2) 以 a，b，c 为三边长能否构成三角形？若能构成
三角形，求出其周长；若不能，请说明理由.

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