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第十九章 二次根式
八下数学 RJ
第3课时
19.2 二次根式的乘法与除法
1.了解最简二次根式的概念.
2.能逆用二次根式的乘除运算法则化简二次根式，提升运算能力.
情境 广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波就传播得越远，从而能收听收看到广播电视节目的区域就越广，那么，广播电视塔高h(单位：km)增加到一定的倍数，广播电视节目信号的传播半径r(单位：km)是否也会增加到相应的倍数呢？
实际上，广播电视塔高度与广播电视节目信号的传播半径之间存在近似关系r=，其中R是地球半径，R≈6 400 km.
如果两个广播电视塔的高分别是h1 km，h2 km，那么它们的传播半径之比是. 如何化简这个式子呢？
思考 2， 3， ， ， ，观察上面这些式子中的二次根式，可以发现它们有什么共同特点吗？
特点：
(1)被开方数不含分母；
(2)被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式.
满足下列两个条件的二次根式，叫作最简二次根式.
(1)被开方数不含分母；
(2)被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式.
在二次根式的运算中，一般要把最后结果化简，使其中的二次根式为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.
注意：有限小数可以化为分数，故最简二次根式的被开方数中不含有限小数.
例1 下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根式？不是最简二次根式的，说明理由：
①；② ； ③ ； ④ ； ⑤
解：①④是，满足最简二次根式的条件.
②不是，被开方数含有分母.
③不是，被开方数含有能开得尽平方的因数4.
⑤不是，∵a3-2a2+a=a(a2-2a+1)=a(a-1)2，∴被开方数含有能开得尽平方的因式.
化简二次根式的一般方法
①将被开方数中能开得尽平方的因数或因式进行开方.
②化去根号下的分母:若被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数;若被开方数中含有小数，应先将小数化成分数.
③被开方数是多项式的要先进行因式分解.
(1)解法1: = = = = = .
解法2: = = = .
例2 化简：(1)；(2) ； (3) . 　　
这样变形是为了使分母中不含二次根式.
解:(2) = = = = = .
(3) = = =
例2 化简：(1);　 　(2) ; (3) . 　　
分母中含有二次根式的式子的化简方法
方法一：先应用分数（式）的基本性质，把分母化成一个完全平方数（式），再逆用二次根式的除法法则.
方法二：先直接逆用二次根式的除法法则，把分子和分母分别化简，再应用分数（式）的基本性质，使分母中不含二次根式.
跟踪训练 化简，使结果中的二次根式为最简二次根式.
(1) ；(2) ；(3)；(4).
解：(1) .
(2) 方法一
.
方法二
.
跟踪训练 化简，使结果中的二次根式为最简二次根式.
(1) ；(2) ；(3)；(4).
解： (3) 方法一 .
方法二
(4).
将二次根式化成最简二次根式的一般步骤
一分：将被开方数（或被开方数的分子、分母)分解因数（式）.
二移：把能开得尽平方的因数（式），利用公式= a(a≥0)移到根号外.
三化：化去被开方数中的分母.
四约：约分，化为最简二次根式.
现在来看本章引言中的问题.
如果两个广播电视塔的高分别是h1 km，h2 km，那么它们的传播半径之比是. 如何化简这个式子呢？
= = = = .
可以看出，这个比与地球半径无关. 这样，只要知道 h , h ，就可以求出比值.
1.化简，使结果中的二次根式为最简二次根式.
（1）；（2）；（3）(x ≥ 0).
解：（1）原式 = = ；
（2）原式 = = ；
（3）原式 = = .
2. 计算：(1) ；(2) ；(3) ；(4).
解：(1) .
(2) .
(3) .
(4) .
3. 一个长方体的体积，高，求它的底面积S.
解：∵
∴.
故这个长方体的底面积S为.
4. 计算：
(1) ； (2)；
解：(1)
.
(2)
.
4. 计算：(3) ；
解：(3)
=
=
=
4. 计算：(4) .
解： (4) 方法一
=
=
=
.
方法二
=
=
.
最简二次根式
条件：
被开方数不含分母
被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式
化简步骤：
“一分”“二移”“三化”“四约”

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