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第十九章 二次根式
八下数学 RJ
第1课时
19.3 二次根式的加法与减法
1.能准确判断二次根式能否合并,并掌握合并被开方数相同的最简二次根式的方法.
2.了解二次根式的加、减运算法则.
3.会用二次根式的加、减运算法则进行简单的运算.
问题1 满足什么条件的根式是最简二次根式
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式.
问题2 化简下列两组二次根式，每组化简后你发现了什么？
(1) (2)
化简后被开方数相同
将二次根式化成最简二次根式，若被开方数相同，则这样的二次根式（也叫同类二次根式）可以合并.
如和，化成最简二次根式是，所以和可以合并.
例1 下列各组二次根式中，能合并的是（ ）
A.与 B.与
C.与 D.与
D
2
2
2
例2 已知12与最简二次根式可以合并，则a=____.
解：∵.
∴ a+1 = 3，得a=2.
2
跟踪训练 若最简根式与可以合并，求的值.
分析：利用被开方数相同，根指数相同，列关于待定字母的方程组求解.
解：由题意得
解得
= = .
思考1 和可以直接相加吗？
不能，和的被开方数不同，无法直接相加.
思考2 如何计算？能否类比整式运算？
+=3 2
=(3+2)
=5.
(化成最简二次根式)
(利用分配律合并)
合并的方法：
合并二次根式的方法与合并同类项类似，将根号外的因数或因式相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是分配律，如 (a≥0).
可看作二次根式的“系数”
例3 计算：
解：(1) = = ；
(2) = 3+5 = 8；
(3) = 4 = 14.
(1);(2); (3). 　　
例4 计算：
解：(1) 2(-
= .
(1)(-)； (2) .
有括号，先去括号
(2)
=
= .
1.二次根式的加减法法则:
一般地，二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并.
2.加减法的运算步骤：
(1)化——将非最简二次根式化成最简二次根式；
(2)找——找出被开方数相同的二次根式；
(3)合——把被开方数相同的二次根式合并.
“一化、二找、三合”
例5 有一块长7.5 dm、宽5 dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2的正方形木板？
分析：由图可以看出，只要木板的宽大于大正方形木板的边长，木板的长大于两个正方形木板的边长的和，就能截出所要求的两个正方形木板.
7.5dm
5dm
8dm2
18dm2
解：大正方形木板的边长为 dm.
因为<5，所以这块木板够宽.
两个正方形木板的边长的和为() dm，
而 = 2+3 = (2+3) = 5.
由 可知 <7.5，
即两个正方形木板的边长的和小于这块木板的长，所以这块木板够长，
因此，可以用这块木板按要求截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2的正方形木板.
7.5dm
5dm
8dm2
18dm2
跟踪训练 有一块长方形木板，木工采用如图所示的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板.
(1)求剩余木板的面积；
解：(1)方法一：两个正方形的面积分别为18 dm2和32 dm2.
这两个正方形的边长分别为 dm和 dm，
∴剩余木板的面积为=6 (dm2).
方法二：由题意知，长方形木板的长和宽分别为 dm和 dm，
∴剩余木板的面积为-18-32=6 (dm2).
跟踪训练 有一块长方形木板，木工采用如图所示的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板.
(2)如果木工想从剩余的木板中截出长为1.5 dm，宽为1 dm的长方形木板，最多能截出几块这样的木板？
解：(2)= .
∵4<3<4.5，1< <1.5，
∴从剩余的木板中截出长为1.5 dm，宽为1 dm的长方形木板，最多能截出2块这样的木板.
辨析 二次根式的乘除法与二次根式的加减法的区别
二次根式的乘除法 二次根式的加减法
根号外的因数（式） 根号外的因数（式）相乘除 根号外的因数（式）相加减
被开方数 被开方数相乘除 被开方数不变
化简 结果化为最简二次根式或整式 先化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式
1. 下列计算是否正确？为什么？
(1) ;(2) ;(3) .
解: (1)不正确.理由： = 2 + 3 = 5，
= ，5 ≠ .
(2)不正确.理由：= ，
，.
(3)正确. = (3-1)= .
2. 计算：
(1) ； (2) ；
解： (1)
=
= .
(2)
=
=
= .
2. 计算：
(3) ； (4) .
解： (3)
=
= .
(4) () - ()
=
.
3.计算：
(1)　； (2) .
解：(1)
= .
(2)
=
= .
4. 如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是62.8和141.3.
求圆环的宽度d（π取3.14）.
d
解：设大圆的半径为 R，小圆的半径为 r，
则 d = R – r.
因为 R = ≈ =，
r = ≈ = ，
所以 d = R - r ≈ = .
答：圆环的宽度d约为.
5.已知a，b都是有理数，现定义新运算：a*b=，
求(2*3)(27*32)的值.
解：∵ a*b =
∴ (2*3)－(27*32)
= +(+3)
=+3
= -11.
二次根式的加法与减法
将二次根式化成最简二次根式，若被开方数相同，则这样的二次根式（也叫同类二次根式）可以合并
一化：将非最简二次根式化成最简二次根式
二找：找出被开方数相同的二次根式
三合：将被开方数相同的二次根式合并
可以合并的
二次根式
二次根式的加减

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