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第十九章 二次根式
八下数学 RJ
第1课时
19.1 二次根式及其性质
1.了解二次根式的概念,发展抽象能力.
2.理解二次根式中被开方数的非负性，会求使形如的式子有意义时字母的取值范围.
问题1 什么叫作平方根
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根.
问题2 什么叫作算术平方根
如果（≥0）,那么称为a的算术平方根.用(表示.
问题3 什么数有平方根
我们知道，负数没有平方根.
因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.
广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波就传播得越远，从而能收听收看到广播电视节目的区域就越广，那么，广播电视塔高h(单位：km)增加到一定的倍数，广播电视节目信号的传播半径r(单位：km)是否也会增加到相应的倍数呢？
实际上，广播电视塔高h与广播电视节目信号的传播半径之间存在近似关系r=，其中R是地球半径，R≈6 400 km.
思考 用含有根号的式子填空，看一看写出的结果有什么共同特征.
(1)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2，则它的宽为
_______m.
(2)一个大正方形的面积是一个边长为a的正方形与另一个边长为1
的正方形的面积之和，则大正方形的边长为_________.
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t (单位：s)与
开始落下时离地面的高度h（单位：m)的关系近似为h=5t2.如果用含有h的式子表示t，那么t为_____.
思考
上面问题中，得到的结果，，，，这些代数式有什么意义？有什么共同点？
1.分别表示 2Rh，65，， 的算术平方根．
2.根指数都为2.
3.被开方数都是非负数.
一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫作二次根式. 二次根式也是代数式.
说明:
（1） 中的既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子.
（2）已知 是二次根式，就意味着满足≥0.
例1 给出下列式子：
①； ②；
③； ④；
⑤；
⑥；
⑦.
其中一定是二次根式的是_________.（只填序号）
①④⑦
跟踪训练 用代数式表示：一个长方形的面积为S，且长和宽的比为5:2，则该长方形的长为________.
5
解：设长方形的长为5x，则它的宽为2x.
根据题意，得5x·2x=S，∴x=± .
∵长方形的边长不能为负数，∴x=.
∴长方形的长为5.
思考
当a满足什么条件时，在实数范围内有意义？
条件 字母表示
有意义 被开方数为 非负数
例2 当x满足什么条件时，在实数范围内有意义？
解：由≥0，得
x≥2.
当x≥2时，在实数范围内有意义.
跟踪训练 当a满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？
(1)；(2)；(3).
解：(1)由≥0，得≥-1，
∴当≥-1时，在实数范围内有意义.
(2)由≥0且3-≠0，得3->0，∴<3.
∴当<3时，在实数范围内有意义.
(3)∵不论为何值，(+1)2≥0恒成立，
∴取任意实数，在实数范围内都有意义.
思考
当x满足什么条件时， 在实数范围内有意义？呢？
代数式 x满足的条件
x取任意实数
x取非负数
1.下列各式是二次根式的是( )
A. B.
C. D.
A
2.要画一个面积为18 cm2的长方形，使它的长与宽之比为3∶2，
它的长、宽各应取多少？
解：设这个长方形的长、宽分别为3x cm， 2x cm.
由题意得，
所以
所以
所以
即这个长方形的长应取cm, 宽应取cm.
3.当a满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？
解：(1)由a-1≥0，得a≥1.
所以当a≥1时，在实数范围内有意义.
(2)由5-a≥0，得a≤5.
所以当a≤5时，在实数范围内有意义.
(3)由2a+1≥0，得a≥- .
所以当a≥- 时，在实数范围内有意义.
4.
5.（1）当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？
（2）若式子有意义，求x 的取值范围.
解：(1) 由题意，得 解得 .
所以当时，在实数范围内有意义.
(2) 由题意，得 , 得 .
所以当时，有意义.
二次根式
二次根式的概念
一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫作二次根式.
形如的式子有意义的条件
被开方数为非负数
.

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