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第十九章 二次根式
八下数学 RJ
第2课时
19.1 二次根式及其性质
1.经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法.
2.会运用二次根式的性质进行化简计算.
问题1 正数有平方根吗？负数呢？0呢？
正数、0都有平方根，但负数没有平方根.
问题2 计算下面两题：
①；② ；③ .
2
4
0
我们知道，当>0时，表示的算术平方根，因此>0;
当=0时，表示0的算术平方根，因此=0.这就是说，
≥0 (≥0).
性质1：二次根式具有双重非负性.
①
例1 若 + |b| + c2 = 0，则=___；b=___；c=___.
0
点拨：
①三类常见的非负数： (≥0)，||2.
②若几个非负数的和等于0，则这几个非负数均为0.
0
0
跟踪训练
∴ 解得
∴
探究1 根据算术平方根的意义填空：
3
0.5
0
解：是3的算术平方根，根据算术平方根的意义，
是一个平方等于3的非负数,因此，()2=3.
同理，，，分别是，，0的算术平方根，即得上面的等式.
一般地， ()2= (≥0).
性质2：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式有意义的前提条件.
例2 计算： (1) ()2； (2) (2)2.
解：(1) ()2 =1.5.
(2) (2)2 =22×()2=4×5=20.
对于形如(b)2(a≥0)的式子，要结合积的乘方运算法则来计算，即(b)2=b2·()2=b2·a=ab2.
跟踪训练 计算：
①()2；②(-)2；③()2；④(5)2；⑤(-7)2 .
解：①()2 =5；
②(-)2 =()2 =0.2；
③(2 = ；
④(52 =52×2 =25×5=125；
⑤(-72 =(-7)2×()2 =49× =14.
探究2 填空：
根据算术平方根的意义，可以得到
；；；.
2
0.1
0
一般地， ＝a (a≥0) .
性质3：一个非负数的平方的算术平方根等于这个数本身.
思考 当a为任意实数时，都有意义，如果前一探究中的a为负实数，那么下面各式还成立吗？为什么？
.
2
0.1
注意：中的可以是任意实数，
但计算结果不一定是.
()2
不同点 表示的意义
包含的运算顺序
的取值范围
结果的表达形式
相同点 ()2与的结果都是非负数，且当a≥0时，
()2 =.
为任意实数.
先开方，再平方.
先平方，再开方.
表示非负数a的算术平方根的平方.
表示实数a的平方的算术平方根.
思考 ()2与的相同点与不同点？
例3 化简：
(1) . (2) .
解：(1) = =4.
(2) = =5.
跟踪训练 计算： (1) ； (2) ； (3).
两步法计算
(1)去掉根号及被开方数的指数，写成绝对值的形式；
(2)去绝对值符号.
(1) 方法一：= = 10.
方法二：= |-10| = 10.
(2) 方法一= = .
方法二：= =.
(3) 方法一：= = .
方法二：= =.
1. 计算：(1) ；(2) .
解：(1) .
(2)
2. 化简：(1) ；(2) ；(3) ；(4) .
解：(1)= 0.3.
(2) .
(3) .
(4)=.
3.已知+=0，则x+y的值是______.
-1
4.已知实数a在数轴上的位置如图所示，化简|a-2|+.
-1
0
1
2
a
解：由题意，得1＜a＜2，
∴＞0，a-2＜0.
∴|a-2|+
= |a-2|+ |a-1|
= 2-a+a-1
=1.
5.已知a,b,c是△ABC的三边长，化简：
利用三角形三边关系
三边长均为正数，
a+b+c＞0
两边之和大于第三边，
b+c-a＞0，
c-b-a＜0.
解：∵a,b,c是△ABC的三边长，
∴a+b+c＞0，b+c＞a，b+a＞c，
∴原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a|
=a+b+c-（b+c-a）+（b+a-c）
=a+b+c-b-c+a+b+a-c
=3a+b-c．
二次根式
二次根式的性质
≥0 (≥0)(双重非负性)
()2=(≥0)

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