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第十九章 二次根式
八下数学 RJ
章末小结
本章知识结构图
≥ 0 (a ≥ 0)，
() = a (a ≥ 0) ，
= |a| (a 为任意实数)
二次根式的概念
二次根式的性质
二次根式的运算
二次根式的乘除
二次根式的加减
二次根式及其性质
一、概念
一般地，我们把形如 (a≥0) 的式子叫作二次根式.
二、性质
≥0 (≥0)(双重非负性)，
()2=(≥0)，
不同点 表示的意义 表示非负数a的算术平方根的平方. 表示实数a的平方的算术平方根.
包含的运算顺序 先开方再平方. 先平方再开方.
的取值范围 a0. a为任意实数.
结果的表达形式
相同点 ()2与的结果都是非负数， 且当a0时，()2 =. 辨析 ()2与的相同点与不同点
二次根式的乘法与除法
乘法
法则：= (a0，b0)
逆用：= (a0，b0)
除法
法则： = (a0，b>0).
逆用： = (a0，b>0).
最简二次根式
最简二次根式
被开方数不含分母
被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式
同时满足
二次根式的加法与减法
可以合并的二次根式
将二次根式化成最简二次根式，若被开方数相同，则这样的二次根式（也叫同类二次根式）可以合并
二次根式加减运算的
一般步骤
一化：将非最简二次根式化成最简二次根式
二找：找出被开方数相同的二次根式
三合：将被开方数相同的二次根式合并
二次根式的混合运算
二次根式的混合运算
运算顺序：先乘方，后乘除，最后加减；
如有括号，先做括号内的运算；
同级运算从左到右进行.
应用：化简求值
技巧：运用运算律和运算公式简化计算
1. 当x满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) ；(2)；(3) ；(4) .
解：（1）由 3 + x ≥ 0，得 x ≥ -3.
∴ 当 x ≥ -3 时，在实数范围内有意义.
（2）由 2x - 1 ≥ 0 且 ≠ 0，得 x >
∴ 当 时，在实数范围内有意义.
解：（3）由 ≥ 0，且 2 - 3x ≠ 0，得 .
∴ 当 时，在实数范围内有意义.
（4）由 x - 1 ≠ 0，得 x ≠ 1 时，∴当 x ≠ 1 时，在实数范围内有意义.
1. 当x满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) ；(2)；(3) ；(4) .
2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
B
A. B.
C. D.
3.下列各组二次根式中，能合并的是( )
C
A.和 B.和
C.和 D.和
4.实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，
则化简 的结果是( )
C
A. B.
C. D.
5. 化简：
(1) ；(2) ；(3)；(4) ；(5) ；(6)
解：(1) = = .
(2) = = .
(3) = = .
5. 化简：
(1) ；(2) ；(3)；(4) ；(5) ；(6)
解： (4) = = .
(5) = =
(6) = =.
6. 计算：
(1) ； (2) ；
解：(1)
=
=
= .
(2) 2× ÷
= × ×
= 3 ×
= .
6. 计算：
(3) ； (4) ；
解：(3) ()()
= () - ()
= 12 - 6
= 6.
(4) () ÷
= () ÷
=
=
=
= .
6. 计算：(5) ;
(5) ()
= () + + ()
= 8 + + 27
= 35 + .
6. 计算：(6) .
(6)
=
=
=
= 5 - .
7. 正方形的边长为 a，它的面积与一个长为 96、宽为 12 的长方形的面积相等，求 a.
解：由题意得a=
=
=24.
8.有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上裁出面积分别为 、和 的三块正方形木板.
(1)裁出的三块正方形木板的边长分别为_______， _______
和 _______ .
（2）求长方形木板的面积.（结果保留根号）
解：根据题意，得长方形的宽为，
长为 ,
长方形木板的面积为
.
(3) 如果木工师傅想从剩余的木板中裁出长为1.5dm、宽为1dm的长方形木板，最多能裁出多少块这样的木板？(≈1.414,≈1.732)
解：根据题意，得剩余的木板的长为 ，
宽为 ，
，
，
最多能裁出2块这样的木板.
9.已知，化简：.
解：∵，
∴＜0，＞0.
∴
=-()-()
=-x+3-x-1
=-2x+2.
10.若，是实数，且 ，
求的值.
解：由题意可知，，
， ,
原式
.
11.阅读材料：小明在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ，
善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中,,, 均为整数），
则有
这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当均为正整数时，若，用含的式子分别表示得
（2）试着把 化成一个完全平方式；
2mn
解：
.
（3）化简： .
解：
.

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