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16.1 二次根式及其性质
第16章 二次根式
学习目标
1.理解二次根式的概念；掌握二次根式有意义的条件.（重点）
2.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点）
3.会运用二次根式的两个性质进行化简计算.（难点）
问题1 什么叫做平方根
一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根.
问题2 什么叫做算术平方根 怎么表示它？
如果 x2 = a (x≥0)，那么 x 称为 a 的算术平方根，用 表示.
问题3 什么数有算术平方根
非负数.
思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？
(1) 如图 的海报为正方形，若面积为 2 m2，则边长为_____m；若面积为 S m2，则边长为_____m．
(2) 如图 的海报为长方形，若长是宽的 2 倍，面积为 6 m2，则它的宽为_____m．
图
图
问题1 这些式子分别表示什么意义？
分别表示 2，S，3 的算术平方根．
上面问题中，得到的结果分别是： ， ， ．
① 根指数都为 2；
② 被开方数为非负数.
问题2 这些式子有什么共同特征？
二次根式的概念及有意义的条件
1
两个必备特征
① 外貌特征：含有“ ”
② 内在特征：被开方数(式) a ≥0
一般地，我们把形如 的式子叫作二次根式.“ ”称为二次根号.
注意：a 可以是数，也可以是式.
归纳总结
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道：
二次根式的被开方数或式非负
二次根式的值非负
二次根式的双重非负性
当 a≥0 时， ≥0.
归纳总结
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
解：
(1)(4)(6)均是二次根式，其中 a2 + 1 属于“非负数+正数”的形式，一定大于零. (2)(3)(5)(7)均不是二次根式.
是否含二次根号
被开方数是不是非负数
二次根式
不是二次根式
是
是
否
否
分析：
典例精析
例2 实数 x 为何值时下列式子有意义
解：(1) 要使 有意义，则 x + 3≥0.
解这个不等式，得 x≥-3.
所以当 x≥-3 时， 有意义.
(2) 因为 x 为任何实数都有 x2≥0，
所以当 x 为一切实数时， 有意义.
【变式题1】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
解：由题意得 x - 1＞0，
∴ x＞1.
解：∵ 被开方数需大于或等于零，
∴ x +3 ≥0，∴ x≥-3.
∵ 分母不能等于零，
∴ x - 1 ≠ 0，∴ x ≠ 1.
∴ x≥-3 且 x ≠ 1.
(2) 多个二次根式相加 (如 ) 有意义的
条件：
(3) 二次根式作为分式的分母 (如 ) 有意义的条件：
A＞0；
(4) 二次根式与分式的和差 (如 ) 有意义的条件：
A≥0 且 B ≠ 0.
(1) 单个二次根式如 有意义的条件：A≥0；
归纳总结
1. 下列各式： .
一定是二次根式的有 （ ）
A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个
B
2. (1) 若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值
范围是______；
(2) 若式子 在实数范围内有意义，则 x 的
取值范围是______________.
x≥1
x ≥0 且 x ≠ 2
练一练
例3 若 ，求 a - b + c 的值.
解：
由题意可知 a - 2 = 0，b - 3 = 0，c - 4 =0，
解得 a = 2，b = 3，c = 4.
所以 a - b + c = 2 - 3 + 4 = 3.
归纳总结：若多个非负式的和为零，则可得每个非负式均为零.初中阶段学过的非负式主要有绝对值式、偶次幂式及二次根式.
3. 已知 y = ，求 3x + 2y 的算术平方根.
解：由题意得
∴ x = 3．∴ y = 8．
∴ 3x + 2y = 3×3 + 2×8 = 25．
∴ 3x + 2y 的算术平方根为 5．
练一练
1. 由于 是 2 的算术平方根，根据平方根的意义，应有 ( ) = 2. 类似地，计算：
= ，
二次根式的性质
2
5
0
2.
类似地，计算：
，
= ，
又如 ，再计算
.
= ，
0.5
0
0.5
观察上式，你能得出什么结论呢？
归纳总结
一般地，有
性质1
＝a (a≥0).
性质2
a， (a≥0)，
-a ，(a＜0).
0，(a≥0)，
例4 计算：
； .
解：(1)
(2) 方法一：
方法二：
练一练
4. 计算：
解：
，而 3.14＜π，要注意 a 的正负.
注意
议一议：如何区别 与 ？
从运算顺序看
从取值范围看
从运算结果看
先开方，后平方
先平方，后开方
a≥0
a取任何实数
a
|a|
意义
表示一个非负数 a 的算术平方根的平方
表示一个实数 a 的平方的算术平方根
例5 先化简，再求值： ，其中 x = 4.
当 x = 4 时，| x－π |＝| 4－π |.
∵ π＜4， ∴ 4－π＞0.
∴ 当 x＝4 时，原式＝4－π.
5. 已知 a、b、c 是△ABC 的三边长，化简：
解：∵ a、b、c 是 △ABC 的三边长，
∴ a + b + c ＞0，b + c ＞ a，b + a ＞ c，
∴ 原式 = |a + b + c| - |b + c - a| + |c - b - a|
= a + b + c - (b + c - a) + (b + a - c)
= a + b + c - b - c + a + b + a - c
= 3a + b - c．
分析：
利用三角形三边关系
三边长均为正数，a + b + c ＞ 0
两边之和大于第三边，b + c - a＞0，c - b - a ＜ 0
练一练
二次根式
性质
定义
带有二次根号
被开方数为非负数
＝a (a≥0).
性质1
a，(a≥0)，
-a，(a＜0).
0，(a＝0)，
性质2
2.式子 有意义的条件是 （ ）
A. x＞2 B. x≥2 C. x＜2 D. x≤2
3.当 x =____时，二次根式 取最小值，其最小
值为____．
1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ）
C
A
-1
0
4. 化简：
（1） = ； （2） = ；
（3） ；（4） .
3
7
4
81
-1
0
1
2
a
5. 实数 a 在数轴上的位置如图所示，化简
的结果是 .
1
6. (1) 若二次根式 有意义，求 m 的取值范围；
解：由题意得 m - 2≥0 且 m2 - 4 ≠ 0，
解得 m≥2，且 m ≠ -2，且 m ≠ 2，
∴ m＞2．
(2) 无论 x 取任何实数，代数式 都有意义，求 m 的取值范围．
解：由题意得 x2 + 6x + m≥0 对任意实数 x 恒成立，
即 (x + 3)2 + m - 9≥0 对任意实数 x 恒成立.
∵ (x + 3)2≥0，∴ m - 9≥0，即 m≥9.
7. 实数 a、b 在数轴上的对应点如图所示，化简： .
解：根据数轴可知 b＜a＜0，
∴ a + 2b＜0，a - b＞0，
则 = | a + 2b | + | a - b |
= - a - 2b + a - b = - 3b．

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