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17.2 一元二次方程的解法
第17章 一元二次方程
17.2.3 因式分解法
学习目标
1. 会选择合适的方法进行因式分解，并解一元二次方程；(重点)
2. 在探究因式分解法解方程的过程中体会转化、降次的数学思想. (难点)
我们知道，若 ab = 0，则 a = 0 或 b = 0．类似地，解方程 (x + 1)(x - 1) = 0 时，可转化为两个一元一次方程 x + 1 = 0 或 x - 1 = 0 来解。你能求出方程
(x + 3)(x - 5) = 0 的解吗？
引例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10 m/s 的初速度竖直上抛，那么经过 a s 物体离地面的高度为 (10a - 4.9a2) m. 你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到 0.01 s)
分析：设物体经过 x s 落回地面，这时它离地面的高度为 0 m，即
10x - 4.9x2 = 0. ①
因式分解法解一元二次方程
1
解：
解：
∵a = 4.9, b = -10, c = 0,
∴b2 - 4ac = (-10)2 - 4×4.9×0
=100.
公式法解方程 10x - 4.9x2 = 0.
配方法解方程 10x - 4.9x2 = 0.
4.9x2 - 10x = 0.
因式分解
如果 a · b = 0，
那么 a = 0 或 b = 0.
两个因式乘积为 0，说明什么？
或 10 - 4.9x = 0
降次，化为两个一次方程
解两个一次方程，得出原方程的根
这种解法是不是很简单？
10x - 4.9x2 = 0 ①
x(10 - 4.9x) = 0 ②
x = 0
通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫作因式分解法.
因式分解法的概念
因式分解法的基本步骤：
一移——使方程的右边为 0；
二分——将方程的左边因式分解；
三化——将方程化为两个一元一次方程；
四解——写出方程的两个解。
简记歌诀：
右化零，左分解；
两因式，各求解.
知识要点
试一试：下列各方程的根分别是多少？
(1) x(x - 5) = 0；
(1) x1 = 0， x2 = 5.
(2) (y + 2)(y - 3) = 0；
(2) y1 = -2，y2 = 3.
(3) (3x + 6)(2x - 4) = 0；
(3) x1 = -2，x2 = 2.
典例精析
例1 解方程：x2 - 2x = 0.
解 提取公因式，得 x(x - 2) = 0.
因此，有 x = 0 或 x - 2 = 0.
所以原方程的根是 x1 = 0，x2 = 2.
例2 解方程：( x + 4 ) ( x -1 ) = 6.
解 将原方程化为一般形式，得 x + 3x -10 = 0.
把方程左边分解因式，得 ( x + 5 )( x -2 ) = 0.
因此，有 x + 5 = 0 或 x - 2 = 0.
所以原方程的根是 x = -5，x = 2.
思考 方程两边同除以 x ，得 x = 1. 故方程的根为 x = 1. 这样做对吗 为什么
例3 解方程：x = x.
解 移项、提取公因式，得 x( x -1 ) = 0.
因此，有 x = 0 或 x - 1 = 0.
所以原方程的根是 x1 = 0，x2 = 1.
例4 解下列方程：
解：(1) 因式分解，得
∴ x - 2 = 0 或 x + 1 = 0.
解得 x1 = 2，x2 = -1.
(x - 2)(x + 1) = 0.
(2) 移项、合并同类项，得 4x2 - 1 = 0.
因式分解，得 (2x + 1)(2x - 1) = 0.
∴ 2x + 1 = 0 或 2x - 1 = 0.
解得
例5 用适当的方法解方程：
(1) 3x(x + 5) = 5(x + 5)；
分析：方程左右两边含公因式，所以用因式分解法解答较快.
灵活选用适当的方法解方程
2
解：变形得 (3x - 5)(x + 5) = 0.
即 3x - 5 = 0 或 x + 5 = 0.
解得
(2) (5x + 1)2 = 1；
解：开平方，得 5x + 1 = ±1.
分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可用直接开平方法.
解得 x1 = 0，x2 =
(3) x2 - 12x = 4；
解：配方，得 x2 - 12x + 62 = 4 + 62，即 (x - 6)2 = 40.
开平方，得
解得 x1 = ，x2 =
分析：二次项系数为 1，可用配方法解较快.
(4) 3x2 = 4x + 1.
解：整理成一般形式，得 3x2 - 4x - 1 = 0.
∵ b2 - 4ac = 28 > 0，
分析：二次项系数不为 1，且不能直接开平方，也不能直接分解因式，可用公式法.
填一填：一元二次方程的各种解法及适用类型。
一元二次方程的解法 适用的方程类型
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
x2 + px + q = 0 ( p2 - 4q≥0)
(ax + m)2 = n (a ≠ 0, n≥0)
ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0, b2 - 4ac≥0)
(ax + m)(bx + n) = 0 (ab ≠ 0)
归纳总结
1. 一般地，当一次项系数为 0 时 (ax2 + c = 0)，宜选用直接开平方法；
2. 若常数项为 0 (ax2 + bx = 0)，宜选用因式分解法；
3. 化为一般式 (ax2 + bx + c = 0) 后，若一次项系数和常数项都不为 0，先看左边是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，否则就选用公式法或配方法：此时若二次项系数为 1，且一次项系数为偶数，则可选用配方法；否则可选公式法。系数含根式时也可选公式法。
一元二次方程的解法选择基本思路
1. 填空：
① x2 - 3x + 1 = 0; ② 3x2 - 1 = 0; ③ -3t2 + t = 0;
④ x2 - 4x = 2; ⑤ 2x2 = x; ⑥ 5(m + 2)2 = 8;
⑦ 3y2 - y - 1 = 0; ⑧ 2x2 + 4x = 1; ⑨ (x - 2)2 = 2(x - 2).
最适合运用直接开平方法： ；
最适合运用因式分解法： ；
最适合运用公式法： ；
最适合运用配方法： .
⑥
①
③
⑤
⑦
⑧
⑨
②
④
2. 解方程：x2 - 3x - 10 = 18. 下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来。
解：原方程化为 (x - 5)(x + 2) = 18. ①
由 x - 5 = 3，得 x = 8； ②
由 x + 2 = 6，得 x = 4. ③
∴ 原方程的解为 x1 = 8 或 x2 = 4. ④
3. 解方程 x(x + 1) = 2 时，要先把方程化为 ；
再选择适当的方法求解，解得 x1 = ，x2 = .
x2 + x - 2 = 0
-2
1
解：原方程化为
x2 - 3x - 28 = 0,
(x - 7)(x + 4) = 0,
x1 = 7, x2 = -4.
解：化为一般式为
因式分解，得
x2 - 2x + 1 = 0.
(x - 1)2 = 0.
∴ x - 1 = 0.
解得 x1 = x2 = 1.
解：因式分解，得
(2x + 11)(2x - 11) = 0.
∴ 2x + 11 = 0 或 2x - 11 = 0，
4. 解方程：
解得
5. 把小圆形场地的半径增加 5 m 得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求原来小圆形场地的半径。
解：设小圆形场地的半径为 r，
根据题意得 π(r + 5)2 = 2πr2.
因式分解，得
于是得
答：原来小圆形场地的半径是
解得 (舍去).
因式分解法
概念
步骤
简记歌诀：
右化零，左分解；两因式，各求解
如果 a ·b = 0，那么 a = 0 或 b = 0
原理
将方程左边因式分解，使右边为 0
因式分解的常见方法有
ma + mb = m(a + b);
a2±2ab + b2 = (a±b)2;
a2 - b2 = (a + b)(a - b).

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