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17.3 一元二次方程根的判别式
第 17 章 一元二次方程
学习目标
1.理解并掌握一元二次方程根的判别式的概念；
2.会用判别式判断一元二次方程的根的情况；
3.根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围. (重、难点)
符号化语言，提炼出核心表达式 b －4ac
巴比伦人、花剌子模
笛卡尔
拉格朗日
从具体解法中
提炼出“解的存在性与系数关系”的直观认知.
术语定型与理论扩展，完成了从“实用解法”到“抽象概念”的升华.
追本溯源
韦达
回顾：用配方法解方程 ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0).
解：二次项系数化为 1，得 x2 + x + = 0.
配方，得 x2 + x + ( )2 = ( )2 - .
即 (x + )2 =
问题1：接下来能直接开平方吗？
一元二次方程根的判别式
1
问题2：什么情况下可以直接开平方？什么情况下不能直接开？
我们知道，(x + )2≥0，4a2＞0.
当 b2–4ac＞0 时，x1 = ，x2 =
当 b2–4ac = 0 时，x1 = x2 =
当 b2–4ac＜0 时，不能开方(负数没有平方根)，
所以此时原方程没有实数根.
两个不相等的实数根
两个相等的实数根
没有实数根
判别式的情况
根的情况
我们把 b2 - 4ac 叫作一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 根的判别式，通常用符号“Δ”表示，即 Δ = b2 - 4ac.
Δ > 0
Δ = 0
Δ < 0
知识要点
3. 判别根的情况，得出结论。
1. 化为一般式，确定 a，b，c 的值；
根的判别式应用方法
2. 计算 Δ 的值，确定 Δ 的符号；
知识要点
典例精析
例1 用根的判别式判别下列方程根的情况：
解 (1) 因为 Δ = (-3)2 -4×5×( -2) = 49＞0，
所以原方程有两个不相等的实数根.
(2) 原方程可变形为 25y -20y + 4 = 0，
因为 Δ = ( -20) -4×25×4 = 0，
所以原方程有两个相等的实数根.
(1) 5x - 3x - 2 = 0； (2) 25y + 4 = 20y；
(3) 2x +x +1= 0.
(3) 因为 Δ = () - 4×2×1 = -5 < 0，
所以原方程没有实数根.
1. 不解方程，判断下列方程的根的情况.
(1) 3x2 + 4x - 3 = 0； (2) 4x2 = 12x - 9；
解：(1)这里 a = 3，b = 4，c = -3，
∴ Δ = b2 - 4ac = 42 - 4×3×(-3) = 52>0.
∴ 方程有两个不相等的实数根.
(2)将方程整理，得 4x2 - 12x + 9 = 0.
∴ Δ = (-12)2 - 4×4×9 = 0.
∴ 方程有两个相等的实数根.
练一练
(3) 7y = 5(y2 + 1).
解：将方程整理，得 5y2 - 7y + 5 = 0，
∴ Δ = (-7)2 - 4×5×5 = -51<0.
∴ 方程没有实数根。
2.按要求完成下列表格：
Δ 的值
根的情况
0
4
有两个相等的实数根
没有实数根
有两个不相等的实数根
判断一元二次方程根的情况的方法：
利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
Δ = b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根；
Δ = b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根；
Δ = b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根。
方法归纳
例2 若关于 x 的一元二次方程 kx2 - 2x - 1 = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 ( )
A. k > -1 B. k > -1 且 k ≠ 0
C. k < 1 D. k < 1 且 k ≠ 0
解析：由于方程有两个不相等的实数根，故 Δ > 0，同时二次项系数不能为 0，即 ，k ≠ 0，解得 k > -1 且 k ≠ 0.
B
1. 关于 x 的一元二次方程 有两个实根，则 m 的取值范围是 .
注意：一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等实根两种情况.
解析：由题意知，Δ = (-2)2 - 4m≥0，
解得 m≤1．
m≤1
2. 不解方程，判断下列方程的根的情况.
(1) 2x2 + 3x - 4 = 0; (2) x2 - x + = 0;
解：(1) 这里 a = 2，b = 3，c = -4，
∴ Δ = 32 - 4×2×(-4) = 41>0.
∴ 原方程有两个不相等的实数根.
(2) 这里 a = 1，b = -1，c = ，
∴ Δ = (-1)2 - 4×1× = 0.
∴ 原方程有两个相等的实数根.
解：这里 a = 1，b = -1，c = 1，
∴ Δ = ( -1)2 - 4×1×1 = -3 < 0.
∴ 原方程没有实数根.
(3) x2 - x + 1 = 0.
3. 不解方程，判别关于 x 的方程 的
实数根的情况.
解：
∴ 原方程一定有两个实数根.
能力提升：
4. 在等腰△ABC 中，三边分别为 a，b，c，其中 a = 5，若关于 x 的方程 x2 + (b + 2)x + 6 - b = 0 有两个相等的实数根，求△ABC 的周长.
解：∵ 所给方程有两个相等的实数根，
∴ Δ = (b + 2)2 - 4×(6 - b) = b2 + 8b - 20 = 0.
解得 b = 2 或 b = -10 (舍去).
当 a为底，b为腰时，2 + 2<5，不能构成三角形，舍去；
当 b为底，a为腰时，5 - 2 < 5 < 5 + 2，能构成三角形.
∴ △ABC 的三边长为 5，5，2，周长为 12.
根的判别式：Δ = b2 - 4ac
Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根
Δ < 0 时，方程没有实根
Δ = 0 时，方程有两个相等的实根

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