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17.5 一元二次方程的应用
第 17 章 一元二次方程
学习目标
1. 掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题. (重点)
2. 掌握列一元二次方程解决几何问题、数学问题,并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性. (重、难点)
回顾旧知 如图，在一块宽 20 m、长 32 m 的长方形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把长方形空地分成大小一样的六块，建成小花坛。要使花坛的总面积为 570 m2，问小路的宽度为多少？
32
20
x
解 设小路的宽是 x m．根据题意，得
32×20 - ( 32x + 2×20x ) + 2x = 570
整理，得 x - 36x + 35 = 0.
则 ( x -1 )( x -35 ) = 0.
解方程，得 x1 = 1，x2 = 35.
x2 = 35 不合题意，所以 x = 1.
答：小路的宽度为 1 m.
填空：1. 原来每盒 27 元的一种药品，降价一次后价格为 24.3 元，则这次降价的降价率是______，如果按这个降价率再降价一次，则这时候这个药品的价格为______元。
10 %
21.87
平均变化率问题与一元二次方程
例1 原来每盒 27 元的一种药品，经两次降价后每盒售价为 9 元.该药品两次降价的平均降价率是多少？( 精确到 1% )
1
2. 原来每盒 27 元的一种药品，降价一次，设下降率
是 x，则这种药品的价格是_________元，保持这个下降率再降价一次，那么这种药品的价格是_________元.
下降率x
原价
27 ( 1 - x )
27
下降率x
第一次降价后的价格
27( 1 - x )( 1 - x )
27( 1 - x )2
27(1 - x)
27(1 - x)2
第二次降价后的价格
解 设该种药品两次降价的平均降价率是 x．
例1 原来每盒 27 元的一种药品，经两次降价后每盒售价为 9 元. 该药品两次降价的平均降价率是多少？( 精确到 1% )
典例精析
答：该药品两次降价的平均降价率约是 42%.
x ≈ 1.58 不合题意，所以 x ≈ 0.42 = 42%.
解方程，得 x1 ≈ 1.58，x2 ≈0.42.
整理，得 (1 - x)2 = .
根据题意，得 27(1 - x )2 = 9.
例2 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为 200 万元，一月、二月、三月的营业额共 950 万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率。
解：设这个增长率为 x.根据题意，得
答：这个增长率为 50%.
200 + 200(1 + x) + 200(1 + x)2 = 950.
整理方程，得 4x2 + 12x - 7 = 0.
解得 x1 = -3.5 (舍去)，x2 = 0.5.
注意：增长率不可为负，但可以超过 1.
分析： 设新品种花生产量的增长率为 x , 则新品种花生出油率的增长率为 x ，根据“ 新品种花生每公顷产量×新品种花生出油率 = 1 980 kg ” 可列出方程.
例3 一农户原来种植的花生，每公顷产量为 3000 kg，出油率为 50% ( 即每 100 kg 花生可加工出花生油 50 kg ).现在种植新品种花生后，每公顷收获的花生可加工出花生油 1 980 kg，已知花生出油率的增长率是产量增长率的 . 求新品种花生产量的增长率.
300( 1 + x ) · [50%(1+ x )] = 1 980.
整理，得 25x2 + 75x -16 = 0.
解方程，得 x1 = 0.2 = 20%，x2 = -3.2.
x = -3.2 不合题意， 所以 x = 20%.
答：新品种花生产量的增长率为 20%.
解 设新品种花生产量的增长率为 x ，根据题意，得
建立一元二次方程模型
实际问题
分析数量关系
设出未知数
实际问题的解
解一元二次方程
一元二次方程的根
检 验
运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？
方法归纳
几何图形与一元二次方程
例4 如图，将一块正方形金属片的四个角各截去一个相同大小的小正方形，围成高为 20 cm、容积为 2880 cm2 的开口方盒，原金属片的边长是多少？ (单位：cm)
x
x-40
20
20
分析 设原金属片的边长为 x cm，则方盒的底边长是 _______ cm.
方盒的容积 =
___________________________ .
底边长×底边长×方盒的高
( x -40 )
2
解 设原金属片的边长为 x cm,
则方盒的底边长是 ( x -40 ) cm.
根据题意，得 20( x -40 )2 = 2880.
整理，得 ( x -40 )2 = 144.
解方程，得 x1 = 52，x2 = 28 .
x2 = 28 不合题意，所以 x = 52 .
答：原金属片的边长是 52 cm .
x
x-40
20
20
在几何图形的面积问题中，面积公式往往就是建立等量关系的关键.如果图形不规则，利用割补法转化为规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程.
方法归纳
例5 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6 cm，BC = 8 cm. 点 P 沿 AC 边从点 A 向终点 C 以 1 cm/s 的速度移动；同时点 Q 沿 CB 边从点 C 向终点 B 以 2 cm/s 的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动. 问点 P，Q 出发几秒后可使 △PCQ 的面积为 9 cm ？
根据题意得 AP = x cm，PC = (6 - x) cm，
CQ = 2x cm.
解：设点 P，Q 出发 x s 后 △PCQ 的面积为 9 cm .
整理，得
解得 x1 = x2 = 3.
答：点 P，Q 出发 3 s 后可使△PCQ的面积为 9 cm .
则有
例6 如图，在一块长为 92 m，宽为 60 m 的长方形耕地上挖三条水渠，水渠的宽都相等，水渠把耕地分成面积均为 885 m2 的 6 个长方形小块. 水渠应挖多宽？
解：设水渠宽为 x m，将所有耕地拼在一起，变成一个新的长方形，则其长为 (92 - 2x) m，宽为 (60 - x) m. 则有
(92 - 2x)(60 - x) = 6×885.
解得 x1 = 105(舍去)，x2 = 1.
注意：结果应符合实际意义
答：水渠应挖 1 m 宽.
我们利用“图形经过平移，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条水渠移动一下，使列方程更容易些( 目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路 )。
方法归纳
例7 一组学生组织春游，预计共需费用 1200 元. 后来又有 2 人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊 30 元. 问原来这组学生的人数是多少？
分析：设原来这组学生的人数是 x，则可把题中信息整理成下表：
总费用/元 人数 每人费用/元
原来
现在
解：设原来这组学生的人数是 x，由题意得
两边同乘 x(x + 2)，整理，得
x2 + 2x - 80 = 0.
解这个方程，得
x1 = -10， x2 = 8.
检验：x1 = -10，x2 = 8 都是原方程的根，
但 x = -10 不符合题意，所以取 x = 8.
答：原来这组学生是 8 人.
解分式方程应用题时，所得根不仅要检验是否为增根，还要考虑它是否符合题意.
方法归纳
1. 某厂今年一月份的总产量为 500 吨，三月份的总产量为 720 吨，平均每月的增长率是 x，则可列方程( )
A. 500(1 + 2x) = 720 B. 500(1 + x)2 = 720
C. 500(1 + x2) = 720 D. 720(1 + x)2 = 500
2. 某校去年对实验器材的投资为 2 万元，预计今明两年的投资总额为 8 万元。若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是 x，则可列方程为
.
B
2(1 + x) + 2(1 + x)2 = 8
3. 在一幅长 80 cm，宽 50 cm 的长方形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅长方形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是 5400 cm2，设金色纸边的宽为 x cm，那么 x 满足的方程是（ ）
A．x2 + 130x - 1400 = 0
B．x2 + 65x - 350 = 0
C．x2 - 130x - 1400 = 0
D．x2 - 65x - 350 = 0
80 cm
x
x
x
x
50 cm
B
4. 青山村种的水稻前年平均每公顷产 7200 千克，今年平均每公顷产 8712 千克，求该村这两年水稻每公顷产量的年平均增长率。
解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为 x.
根据题意，得 7200(1+x)2 = 8712.
解得 x1 = 0.1 = 10%，x2= -1.1(不符合题意，舍去).
答：水稻每公顷产量的年平均增长率为 10%.
5. 如图，在宽 20 米，长 32 米的长方形地面上修筑同样宽的道路 (图中阴影部分)，余下的部分种上草坪。 要使草坪的面积为 540 平方米，求道路的宽。
解：设道路宽为 x 米，由平移得到下图，则依题意可列方程为
(20 - x)(32 - x) = 540.
解得 x1 = 50 (舍去)，x2 = 2.
答：道路的宽度为 2 米。
整理得 x2 - 52x + 100 = 0，
能力提升
菜农大伟种植的某蔬菜，计划以每千克 5 元的价格对外批发销售。由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，大伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克 3.2 元的价格对外批发销售。
(1) 求平均每次下调的百分率；
解：设平均每次下调的百分率为 x，由题意，得
5(1 - x)2 = 3.2.
解得 x1 = 0.2 = 20%，x2 = 1.8 (舍去).
∴ 平均每次下调的百分率为 20%.
(2) 小华准备到大伟处购买 5 吨该蔬菜，因数量多，大伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金 200 元。 试问小华选择哪种方案优惠更多？请说明理由。
解：小华选择方案一购买更优惠，理由如下：
方案一所需费用为 3.2×0.9×5000 = 14400 (元)，
方案二所需费用为 3.2×5000 - 200×5 = 15000 (元).
∵ 14400<15000,
∴ 小华选择方案一购买优惠更多。
一元二次方程的应用
增长率
a(1 + x)2 = b，其中 a 为增长前的量，x 为增长率，2 为增长次数，b 为增长后的量
降低率
a(1 - x)2 = b，其中 a 为降低前的量，x 为降低率，2 为降低次数，b 为降低后的量。 注意 1 与 x 位置不可调换
平均变化率问题
几何图形
其他类型问题
常见几何图形面积是等量关系

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