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小结与复习
第 17 章 一元二次方程
一、一元二次方程的基本概念
1. 定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫做一元二次方程．
2. 一般形式：
ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0)
3. 项数和系数：
ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0) 中，
一次项：ax2 一次项系数：a
二次项：bx 二次项系数：b
常数项：c
4. 注意事项：
(1) 含有一个未知数； (2) 未知数的最高次数为2；
(3) 二次项系数不为 0； (4) 整式方程．
二、一元二次方程的解法
1. 直接开平方法
2. 配方法
一般地，对于可化为 x2 = p 的方程，
(1) 当 p > 0 时，方程有两个不相等的实数根 x1 = ，x2 = ；
(2) 当 p = 0 时，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = 0；
(3) 当 p < 0 时，所以方程无实数根。
x2 + px + ( )2 = (x + )2.
二次项系数为 1 的完全平方式，常数项等于一次项系数一半的平方。
3. 公式法
4. 因式分解法
当 b2 - 4ac≥0 时，
当 b2 - 4ac＜0 时，此时方程无实数根。
通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫作因式分解法。
ax2 + bx + c = 0
a( x + x1 )( x + x2 ) = 0
5.一元二次方程的各种解法及适用类型
一元二次方程 的解法 适用的方程类型
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解
x2 + px + q = 0 ( p2 - 4q≥0)
(ax + m)2 = n (a ≠ 0，n≥0)
ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0，b2 - 4ac≥0)
(ax + m)(bx + n) = 0 (ab ≠ 0)
三、一元二次方程的实际应用
列方程解应用题的一般步骤：
审
设
列
解
验
答
（1）审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系；
（2）设元：就是设未知数，分直接设与间接设，应根据实际需要恰当选取设元法；
（3）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系，列方程这一环节至关重要，决定着能否顺利解决实际问题；
（4）解方程：用适当的方法求出方程的根；
（5）检验：一验所得根是否方程的根，二验是否符合题意和实际；
（6）作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语．
考点一 一元二次方程的定义
例1 若关于 x 的方程 (m - 1)x2 + mx - 1 = 0 是一元二次方程，则 m 的取值范围是（ ）
A. m ≠ 1 B. m = 1 C. m≥1 D. m ≠ 0
解析 本题考查了一元二次方程的定义，即方程中必须有二次项 (二次项系数不为 0)，因此它的系数 m - 1 ≠ 0.
A
考点二 一元二次方程的根的定义的应用
解析 根据一元二次方程根的定义可知，将 x = 0 代入原方程，左右两边相等，则有 m2 - 1 = 0，解得 m = ±1.舍去 1，应填 -1. 这种解题方法我们称之为“有根必代”.
例2 若关于 x 的一元二次方程 (m - 1)x2 + x + m2 - 1 = 0 有一个根为 0，则 m = .
【易错提示】由于原方程是一元二次方程，所以 m 的值为 1 不符合其定义，应舍去，要引起注意.
-1
2. 一元二次方程 x2 + px - 2 = 0 的一个根为 2，则 p 的值为 .
-1
针对训练
1. 方程 5x2 - x - 3 = x2 - 3 + x 的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .
4
-2
0
解析 (1) 配方法的关键是配上一次项系数一半的平方；
考点三 一元二次方程的解法
例3 (1) 用配方法解方程 x2 - 2x - 5 = 0 时，原方程应变为（ ）
A.(x - 1)2 = 6 B.(x + 2)2 = 9 C.(x + 1)2 = 6 D.(x - 2)2 = 9
(2) (易错题) 三角形两边长分别为 3 和 6，第三边的长是方程 x2﹣13x + 36 = 0 的根，则该三角形的周长为（　 ）
A．13 B． 15 C．18 D．13 或 18
A
A
(2) 先求出方程 x2﹣13x + 36 = 0 的两根，再根据三角形的三边关系，得到符合题意的边，进而求得三角形周长．
【易错提示】
(1) 配方法的前提是二次项系数是 1；
(a - b)2 与 (a + b)2 要准确区分；
(2) 求三角形的周长，不能盲目地将所得边长相加，而应养成检验三边长能否构成三角形的好习惯.
方法总结
3. 用公式法和配方法分别解方程：x2 - 4x - 1 = 0（要求写出必要解题步骤）.
解1：
针对训练
3. 用公式法和配方法分别解方程：x2 - 4x - 1 = 0（要求写出必要解题步骤）.
解2：
考点四 一元二次方程的根的判别式的应用
例4 已知关于 x 的一元二次方程 x2 - 3m = 4x 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（ ）
A. B. m < 2 C. m≥0 D. m < 0
A
【易错提示】应用根的判别式之前务必将方程化为一般形式，这样能帮助我们正确确定 a，b，c 的值.
解析 根据方程根的情况可知，判别式 Δ > 0，即 42 - 4×1×(-3m) = 16 + 12m > 0，解得 .
5. 下列所给方程中，没有实数根的是（ ）
A. x2 + x = 0 B. 5x2 - 4x - 1 = 0
C. 3x2 - 4x + 1 = 0 D. 4x2 - 5x + 2 = 0
6.（开放题）若关于 x 的一元二次方程 x2 - x + m = 0 有两个不相等的实数根，则 m 的值可能是　　（写出一个即可）．
D
0
针对训练
考点五 韦达定理
例5 已知一元二次方程 x2 - 4x - 3 = 0 的两根为 m，n，则 m2 - mn + n2 = ．
25
解析 由根与系数的关系可知 m + n = 4，mn = -3，故 m2 - mn + n2 = (m + n)2 - 3mn = 16 + 9 = 25.
【重要变形式】
7. 已知方程 2x2 + 4x - 3 = 0 的两根分别为 x1 和 x2，则 x12 + x22 的值等于（ ）
A. 7 B. -2 C. D.
A
针对训练
考点六 一元二次方程的实际应用
例 6 某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件 20 元，调查发现当销售价为 24 元时，平均每天能售出 32 件；而当销售价每上涨 2 元时，平均每天就少售出 4 件.
(1) 若公司每天的销售价为 x 元，求每天的销售量；
(2) 如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件 28 元，该公司想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应当为多少元？
销售问题
解析 本题为销售中的利润问题，设公司每天的销售价为 x 元. 则其基本数量关系列表分析如下：
单件利润(元) 销售量(件) 每天利润(元)
正常销售
涨价销售
4
32
x - 20
32 - 2(x - 24)
150
其等量关系是：总利润 = 单件利润×销售量.
解：(1) 32 - (x - 24) ÷2×4 = 80 - 2x (件).
(2) 由题意可得 (x - 20)(80 - 2x) = 150.
解得 x1 = 25，x2 = 35.
∵ x≤28，∴ x = 25，即销售价应当为 25 元.
【易错提示】销售量是在正常销售的基础上减少.要注意验根.
128
例7 菜农小王种植的某种蔬菜，计划以每千克 5 元的价格对外批发销售. 由于部分菜农盲目扩大种植，造成该种蔬菜滞销. 小王为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克 3.2 元的价格对外批发销售. 求平均每次下调的百分率是多少.
解：设平均每次下调的百分率是 x，根据题意得
5(1 - x)2 = 3.2.
解得 x1 = 1.8 (舍去)，x2 = 0.2 = 20%.
答：平均每次下调的百分率是 20%.
平均变化率问题
几何问题
例8 如图 1，在长为 32 米，宽为 20 米的长方形地面上修筑同样宽的道路 (图中阴影部分)，余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为 540 平方米，求道路的宽.
解析 本题可利用图形变换——平移，使零散的图形面积集中化，再建立方程求解.
图 1
解：设道路宽为 x 米，由平移得到图 2，则长为 (32 - x) 米，宽为 (20 - x) 米，列方程得
(32 - x)(20 - x) = 540，
整理得 x2 - 52x + 100 = 0.
解得 x1 = 50 (舍去)，x2 = 2.
答：道路宽为 2 米.
图 2
图 1
解决有关图形面积问题时，除了掌握所学面积公式，还要会将不规则图形分割或组合成规则图形，并找出各部分图形面积之间的关系，再列方程求解.
（注：这里的横坚斜小路的的水平宽度都相等）
平移转化
方法归纳
一元二次方程
一元二次方
程的定义
概念：①整式方程；②一元；③二次
一般形式：ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
一元二次方程的解法
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
根的判别式及
根与系数的关系
根的判别式：Δ = b2 - 4ac
根与系数的关系
一元二次方程的应用
营销问题、平均变化率问题
几何问题、数字问题
一元二次方程
一元二次方
程的定义
一元二次方程的解法

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