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第8章 四边形
8.2 特殊的平行四边形
八下数学 SK
1.理解矩形、菱形、正方形的概念，增强几何直观.
2.探索并证明矩形、菱形的性质定理和判定定理，并能运用它们进
行证明和计算，提升推理能力.
3.理解两条平行线之间的距离的概念，能度量两条平行线之间的距离.
4.正方形既是矩形，又是菱形，理解矩形、菱形、正方形之间的包
含关系，体会平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的联系与区别，
进一步理解一般与特殊的关系.
1.矩形：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.
示例 1 矩形与平行四边形的关 系
2.矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形
的所有性质外，还具有自身独特的性质（如下表）.#1.2
性质 符号语言 图示
角 矩形的四个 角都是直角. 四边形 是 矩形， .
性质 符号语言 图示
对角 线 矩形的对角 线相等. 四边形 是 矩形, . _______________
性质 符号语言 图示
对称 性 矩形是中心 对称图形， 也是轴对称 图形，它每 组对边中点 连线所在的 直线就是它 的对称轴. 直线， 是矩形 的两条对称 轴.
典例1 如图，在矩形中，对角线，
相交于点 ，且 .若，
则 的长为 ( )
C
A.B.3 C. D.6
解析： 四边形 是矩形， , .
， ， ，
是等边三角形， .
，， .
判定方法 符号语言 图示
角 有一个角是直 角的平行四边 形是矩形（定义法）. 在 中， ， 是矩 形.
判定方法 符号语言 图示
角 三个角是直角 的四边形是矩 形（判定定理 1）. 在四边形 中， ， 四边形 是矩形.
判定方法 符号语言 图示
对 角 线 对角线相等的 平行四边形是 矩形（判定定理2）. 在 中， ， 是矩 形.
典例2 要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是
( )
C
A.测量两条对角线是否相等
B.度量两个角是不是
C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D.测量两组对边是否分别相等
典例3 如图，在中， ，平分
.四边形 是平行四边形，交于
点，连接.求证：四边形 是矩形.
证明：，平分， ， .
四边形是平行四边形，， ，
， 四边形 是平行四边形.
， ， 四边形 是矩形.
1.两条平行线之间的距离：
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫作
两条平行线之间的距离.
三种距离之间的区别与联系
两点间的距 离 点到直线的距 离 两条平行线之间的距离
示 意 图
两点间的距 离 点到直线的距 离 两条平行线之间的距离
区 别 连接两点的 线段的长 度. 点到直线的垂 线段的长度. 两条平行线中，从一条直线上任
意一点到另一条直线的垂线段的
长度.
联 系 都是指某一条线段的长度. （注意：距离是数值） 2.性质：如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直
线的距离都相等，即两条平行线之间的距离处处相等.
一般性结论:两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.
符号语言：如图所示，，是直线上任意两点，
，，，
.
典例4 如图，已知，在 上，
并且，为垂足，，是 上
任意两点，点在上.设 的面积为
，的面积为，的面积为 ，小颖认为
，请帮小颖说明理由.
解： ，，，的边 上的高相等，
，， 这三个三角形同底等高，
，， 这三个三角形的面积相等，
即 .
1.菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
示例 2 菱形与平行四边形的关 系
2.菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形
的所有性质外，还具有自身独特的性质,总结如下表.#1.7
性质 符号语言 图示
边 菱形的四条边 相等. 四边形 是菱形, . _____________________
性质 符号语言 图示
对角 线 菱形的对角线 互相垂直. （性质定理） 四边形 是菱形, .
性质 符号语言 图示
对称 性 菱形是中心对 称图形，也是 轴对称图形， 它的每条对角 线所在的直线 就是它的对称 轴. 直线， 是 菱形 的两 条对称轴.
3.菱形的面积#1.8
公式 由来 文字语 言 符号语言 图示
菱形 的面 积公 式 菱形 是平 行四 边形. 菱形的 面积 底× 高. .
公式 由来 文字语 言 符号语言 图示
菱形 的面 积公 式 菱形 的对 角线 互相 垂直. 菱形的面积 对角线长的乘积的一 半.
对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线长的乘积的
一半.（证明方法同上述推导过程）#1.8.1.1
）.
菱形的面积的推导过程：#1.8
典例5 如图，菱形 的周长为
20，对角线，相交于点，是
的中点，则 的长是( )
A
A.2.5 B.3 C.4 D.5
解析：
判定方法 符号语言 图示
边 有一组邻边相等的平行 四边形是菱形. （ 定义法） 在 中， ， 是菱 形.
判定方法 符号语言 图示
边 四边相等的四边形是菱 形.（判定定理） 在四边形 中， ， 四边形 是菱形.
判定方法 符号语言 图示
对 角 线 对角线互相垂直的平行 四边形是菱形. （判定定理） 在 中， ， 是菱 形.
典例6 已知的对角线， 相交
于点，请你添加一个适当的条件，使 成为一个菱形.你添
加的条件是________________________.（填一个即可）
（答案不唯一）
解析：因为四边形 是平行四边形，所以只要添加一组邻边相
等就可以，或者使得对角线互相垂直，故答案可以为 或
或或或 等.
典例7 如图，在中，，分别是 ，
上的点，且 .
求证：四边形 是菱形.
证明： 四边形 是平行四边形，
， .， .
又， 四边形 是平行四边形.
又， 四边形 是菱形.
1.正方形的定义：四条边相等，四个角都是直角的四边形
叫作正方形.
换言之，既是菱形又是矩形的四边形是正方形.
2.正方形的判定
判定定理 有一组邻边相等的矩形是正方形.（从矩形出发）
有一个角是直角的菱形是正方形.（从菱形出发）
要判定一个四边形是正方形，只要判定这个四边形既是
矩形又是菱形即可.因此除了正方形的判定定理，还可以“先判定矩
形，再判定对角线互相垂直”或“先判定菱形，再判定对角线相等”
等来判定正方形.
敲黑板
四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的转化关系
典例8 (2025·乐山中考)如图，在中，
对角线与相交于点 . 小乐同学欲添
加两个条件使得四边形 是正方形，
现有三个条件可供选择：；
；
则正确的组合是__________________.（只需填一种组合即可）
解析：正确的组合是①②或①③.
①②组合： 四边形是平行四边形， ，
四边形 是菱形， .
， 四边形 是矩形， 四边形 是正方形.
典例8 (2025·乐山中考)如图，在中，
对角线与相交于点 . 小乐同学欲添
加两个条件使得四边形 是正方形，
现有三个条件可供选择：；
；
（或）
则正确的组合是__________________.（只需填一种组合即可）
解析：正确的组合是①②或①③.
①③组合： 四边形是平行四边形， ，
四边形 是菱形.
又 ， 菱形 是正方形.
典例9 如图，等边三角形的顶点,分别在矩形 的
边,上，且 .求证：矩形 是正方形.
证明： 四边形是矩形， .
是等边三角形，
, .
, ,
,
， ,
矩形 是正方形.
正方形具有矩形和菱形的所有性质.总结如下表：#1.12
性质 符号语言 图示
边 正方形的四条边 都相等. （性质定理） 四边形 是正方 形， . ______________________
性质 符号语言 图示
角 正方形的四个角 都是直角. （性质定理） 四边形 是正方 形， .
性质 符号语言 图示
对 角 线 正方形的对角线 相等且互相垂直 平分. （性质定理） 四边形 是正方 形， ， ， .
性质 符号语言 图示
对 称 性 正方形是中心对 称图形，也是轴 对称图形，过每 组对边中点的两 条直线及两条对 角线所在的直线 是它的对称轴. 直线，，， 均 是正方形的对称轴.
平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质对比#1.13
类型 平行四边形 _____________________________ 矩形 __________________________ 菱形 _______________________________ 正方形
________________________
边 共性 对边平行且相等 特性 四条边都相等 角 共性 对角相等且邻角互补 角 特性 四个角都 是直角 四个角都是直 角
对角 线 共性 对角线互相平分 特性 对角线相 等 对角线互相垂 直 对角线相
等且互相
垂直
对称 性 特性 轴对称图形 2条对称轴 2条对称轴 4条对称轴
典例10 如图，在正方形中，点，
分别在边，上，， ，
则____ .
60
解析： 四边形 是正方形，
， .
在和中，
, .
， ， ， .
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