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第11章 二次根式
11.1 二次根式的概念
八下数学 SK
1.了解二次根式的概念，发展抽象能力.
2.理解二次根式中被开方数的非负性，会求使形如 的式子有意义
时字母的取值范围.
3.理解二次根式的性质，会运用二次根式的性质化简二次根式，提
升运算能力.
二次根式：一般地，我们把形如 的式子叫作二次根式，
可以是一个数，也可以是一个代数式.当是一个非负数时， 表
示 的算术平方根.#4
示 例 二次根式
（1）二次根式是一种形式定义，即式子中必须含有“ ”.
如， 是二次根式，2不是二次根式.
（2）如果已知是二次根式，就意味着满足 这一隐含条件.#4.1.2
典例1 给出下列式子:
（1）;（2）;（3）;（4）;（5） .
其中一定是二次根式的是____________.（只填序号）
（1）（5）
解析：
序号 结论 理由
（1） 是 是形如 的式子，且被开方数2是非负数.
（2） 不是 “ ”是三次根号，不是二次根号.
（3） 不是 虽然是形如 的式子，但被开方数是负数.
（4） 不一定 虽然是形如的式子,但被开方数 可能
为负数.
（5） 是 是形如的式子，且被开方数 .
条件 字母表示
形如 的式子有意义 被开方数为非负数 有意义
典例2 当 满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） ；
解：由,得 ，
当时， 在实数范围内有意义.
（2） ；
解：由且,得, ，
当时， 在实数范围内有意义.
（3） .
解： 不论为何值， 恒成立,
取任意实数， 在实数范围内都有意义.
性质 文字表述 应用及拓展
一个非负数 的算术平方 根是非负数. （1）三类常见的非负数：, , .
（2）若，则 ,
, ，即若几个非负数的和等于0，则这几个非负数均为0.
性质 文字表述 应用及拓展
一个非负数 的算术平方 根的平方等 于这个数本 身. （1）正用公式：如 ,
.
（2）逆用公式：若,则 ,如
,.
性质 文字表述 应用及拓展
一个数的平 方的算术平 方根等于这 个数的绝对 值. （1）正用公式：化简形如 的式
子时，先转化为，再根据 的符号
去掉绝对值符号，如
.
（2）逆用公式：若 ，则
，如 .
与的不同点与相同点#2.1
不同 点 表示的意义 表示非负数 的算术平方 根的平方. 表示 的平方的算术
平方根.
包含的运算 顺序 先开方再平方. 先平方再开方.
的取值范 围 为非负数. 为全体实数.
不同 点 结果的表达 形式 .
相同点 和的结果都是非负数,且当 时， . 典例3 计算:
（1） ;
解： .
（2） ;
解： .
（3） ;
解： .
（4） .
解： .
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