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(共28张PPT)
第二章　相交线与平行线
专项培优4 与相交线、平行线有关的角度计算
1．如图，直线AB，CD相交于点O，∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE.
(1)判断OF与OD的位置关系，并说明理由；
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(2)若∠AOC∶∠AOD＝1∶5，求∠EOF的度数．
2．如图，∠AOC与∠BOC互为补角，∠BOC与∠BOD互为余角，且∠BOC＝4∠BOD.
(1)求∠BOC的度数．
(2)若OE平分∠AOC，求∠BOE的度数．
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3．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB，
(1)若∠1＝∠2，求∠NOD的度数；
【解】因为 OM⊥AB，∠1＝∠2，所以∠1＋∠AOC＝∠2＋∠AOC＝90°，即∠CON＝90°.又因为∠NOC＋∠NOD＝180°，所以∠NOD＝90°.
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4．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥OE.
(1)若∠AOC＝66°，求∠AOD，∠BOE的度数；
(2)若∠AOC＝n°(n°＜180°)，则∠FOD的度数为__________(用含n的代数式表示)．
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5. 如图，将长方形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE＝32°，则∠GHC等于(　　)
A．112°　
B．110°　
C．108°　
D．106°
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【答案】D
6. 如图，∠AOB的一边OA为平面反光镜，∠AOB＝40°，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上的点D反射后，反射光线DC恰好与OB平行，已知∠ADC＝∠ODE，则∠DEO的度数是________．
100°
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【点拨】因为DC∥OB，所以∠ADC＝∠AOB＝40°.所以∠ODE＝∠ADC＝40°，所以∠CDE＝180°－∠ADC－∠ODE＝180°－40°－40°＝100°.因为CD∥OB，所以∠DEO＝∠CDE＝100°.
7．如图，AC∥BD，BC平分∠ABD，设∠ACB为α，点E是射线BC上的一个动点．
(1)当α＝30°，且∠BAE＝∠CAE时，求∠CAE的度数；
(2)若点E运动到直线AC的上方，且满足∠BAE＝100°，∠BAE∶∠CAE＝5∶1，求α的值．
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8．如图，已知AB∥CD，E是直线AB上的一点，CE平分∠ACD，射线CF⊥CE，∠1＝32°.
(1)求∠ACE的度数；
【解】因为AB∥CD，所以∠DCE＝∠1＝32°.
因为CE平分∠ACD，所以∠ACE＝∠DCE＝32°.
(2)若∠2＝58°，判断CF和AG的位置关系，并说明理由．
【解】CF∥AG.理由如下：
因为CF⊥CE，所以∠FCE＝90°.又因为∠ACE＝32°，所以∠FCH＝∠FCE－∠ACE＝90°－32°＝58°.
因为∠2＝58°，所以∠FCH＝∠2，所以CF∥AG.
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9．如图，已知AB∥CD，∠A＋∠1＝180°.
(1)试说明：AE∥BD；
【解】如图①.
因为AB∥CD，所以∠A＋∠2＝180°.
因为∠A＋∠1＝180°，所以∠2＝∠1.
所以AE∥BD.
(2)若∠E＝80°，∠ABD的平分线BF与∠CDE的平分线DF交于点F，BF与CD交于点M，∠1＝116°，求∠F的度数．
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第二章　相交线与平行线
章末培优 全章热门考点整合应用
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1．如图，直线AB，CD相交于点O，∠BOE＝90°，那么下列结论错误的是(　　)
A．∠AOC与∠BOD是对顶角
B．∠AOC与∠COE互为余角
C．∠BOD与∠COE互为余角
D．∠COE与∠AOD互为补角
D
2．由∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，得到∠2＝∠3的依据是(　　)
A．同角的余角相等 B．等角的余角相等
C．同角的补角相等 D．等角的补角相等
A
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3．有一个角的补角为117°，则这个角的余角是________．
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27°
4．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠AOD＝125°，则∠EOC＝(　　)
A．55°
B．45°
C．35°
D．25°
C
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5．下列图形中，能用线段AD的长表示点A到线段BC的距离的是(　　)
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D
6．如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是(　　)
A．3
B．2.5
C．2.4　
D．2
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【答案】C
7．如图，下列结论正确的是(　　)
A．∠4和∠5是同旁内角
B．∠3和∠2是对顶角
C．∠3和∠5是内错角
D．∠1和∠5是同位角
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【点拨】A.∠4和∠5是邻补角，不是同旁内角，故本选项错误；B.∠3和(∠1＋∠2)是对顶角，故本选项错误；C.∠3和∠5是内错角，故本选项正确；D.∠5和(∠1＋∠2)是同位角，故本选项错误．
【答案】C
8. (1)如图，请你找出汉字“土”中所有的同位角、内错角、同旁内角；
【解】同位角：∠1与∠5，∠2与∠6；内错角：∠3与∠6，∠4与∠5；同旁内角：∠3与∠5，∠4与∠6.
(2)写出你姓氏中所有的同位角、内错角、同旁内角．
略．
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9．在同一平面内，将直尺、直角三角尺(∠A＝30°)和木工角尺(CD⊥DE)按如图方式摆放，若AB∥CD，则∠1的大小为(　　)
A．30°　
B．45°　
C．60°　
D．75°
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【点拨】因为AB∥CD，所以易知∠CDB＝60°.因为CD⊥DE，所以∠CDE＝90°.所以∠1＝180°－∠CDB－∠CDE＝30°.故选A.
【答案】A
10. 如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线OA经平面镜后反射入眼，若CB∥OA，∠CBO＝122°，∠BON＝90°，则入射角∠AON的度数为(　　)
A．22°
B．32°
C．35°
D．122°
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B
11．如图，把一张长方形的纸条沿着AF所在的直线折叠，若∠C′AF＝35°，则∠DFD′的度数为________．
70°
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【点拨】由折叠的性质可知∠FAC＝∠C′AF＝35°，所以∠C′AC＝35°＋35°＝70°.
易知AC′∥BD′，所以∠FGC＝∠C′AC＝70°.
易知AC∥DF，所以∠DFD′＝∠FGC＝70°.
12．[2025武汉期中]如图，已知AB∥CD，点E为CD上一点，作∠BEF，连接AF，若∠ABE与∠BEF的平分线交于点G.下列结论：
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①②④
【点拨】①因为AB∥CD，所以∠ABE＝∠BEC.
因为BG平分∠ABE，所以∠ABE＝2∠ABG，
所以∠BEC＝2∠ABG.故①正确；
②如图①，过F作FH∥CD，
因为AB∥CD，所以AB∥CD∥FH，
所以∠BAF＋∠AFH＝180°，∠DEF＝∠EFH，
所以∠AFH＝180°－∠BAF＝100°.
因为∠AFH＝∠AFE－∠EFH，
所以∠AFE－∠DEF＝100°.故②正确；
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13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°.
(1)求∠BAD的度数；
【解】因为AD∥BC，所以∠B＋∠BAD＝180°.
又因为∠B＝80°，所以∠BAD＝100°.
(2)AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD＝50°.试说明：AE∥DC.
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【解】因为AE平分∠BAD，∠BAD＝100°，
所以∠DAE＝50°.
因为AD∥BC，所以∠AEB＝∠DAE＝50°.
因为∠BCD＝50°，所以∠AEB＝∠BCD.所以AE∥DC.
14．已知EF∥BC，BE∥CF，现将直角三角尺OAB(∠ABO＝45°)和直角三角尺OCD(∠OCD＝30°)按如图所示放置，直角顶点O重合，点A，D在EF上，若∠1＋∠2＝73°，∠3∶∠4＝5∶3，则∠DAB的度数为________．
115°
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【点拨】因为BE∥CF，所以∠CBE＋∠BCF＝180°，即∠1＋∠ABO＋∠3＋∠4＋∠OCD＋∠2＝180°.因为∠1＋∠2＝73°，∠ABO＝45°，∠OCD＝30°，所以∠3＋∠4＝32°.因为∠3∶∠4＝5∶3，所以设∠3＝5x°，则∠4＝3x°.所以5x°＋3x°＝32°，解得x＝4.所以∠3＝20°.所以∠ABC＝∠ABO＋∠3＝65°.因为EF∥BC，所以∠ABC＋∠DAB＝180°.所以∠DAB＝115°.
15．已知直线AB∥CD，点P，Q分别在AB，CD上，如图所示，射线PB按顺时针方向以每秒4°的速度旋转至PA便立即回转，并不断往返旋转；射线QC按顺时针方向以每秒1°的速度旋转至QD停止，此时射线PB也停止旋转．
(1)若射线PB，QC同时开始旋转，当旋转时间为30秒时，PB′与QC′的位置关系为__________；
PB′⊥QC′
(2)若射线QC先旋转45秒，射线PB才开始转动，当射线PB旋转的时间为多少秒时，PB′∥C′Q
【解】设当射线PB旋转的时间为t秒时，PB′∥C′Q.分情况讨论：①第一次平行(即0＜t≤45)时，如图①，
由题知∠BPB′＝4t°，∠CQC′＝45°＋t°.
因为AB∥CD，PB′∥C′Q，
所以∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，
即4t＝45＋t，解得t＝15；
②第二次平行(即45＜t≤90)时，如图②，由题知∠APB′＝4t°－180°，∠CQC′＝t°＋45°，因为AB∥CD，PB′∥C′Q，所以∠APB′＝∠PED＝180°－∠CQC′，即4t－180＝180－(45＋t)，解得t＝63；
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③第三次平行时(即90＜t≤135)，如图③，
则∠BPB′＝4t°－360°，∠CQC′＝t°＋45°.
因为AB∥CD，PB′∥C′Q，
所以易得∠BPB′＝∠CQC′，
即4t－360＝t＋45，解得t＝135.
综上所述，当射线PB旋转的时间
为15秒或63秒或135秒时，PB′∥C′Q.(共33张PPT)
第二章　相交线与平行线
专项培优5 平行线的性质与判定中常见辅助线的作法
a．连接两点
1．如图，∠E＝∠B＋∠D，猜想AB与CD有怎样的位置关系，并说明理由．
【解】AB∥CD.理由：如图，连接BD.
在三角形BDE中，∠1＋∠2＋∠E＝180°.
因为∠E＝∠3＋∠4，
所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，
即∠ABD＋∠CDB＝180°.所以AB∥CD.
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【点方法】本题可通过连接B，D两点构造截线BD，进而利用平行线的判定说明AB∥CD.
b．延长线段使相交
2．如图，AB∥CD，∠ABF＝∠DCE.试说明：∠BFE＝∠FEC.　
【解】如图，延长BF交DC的延长线于点H.
因为AB∥CD，所以∠ABF＝∠H.
又因为∠ABF＝∠DCE，所以∠H＝∠DCE，
所以BH∥CE.所以∠BFE＝∠FEC.
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a．“ ”形图
3．(1)如图①，AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接AE，CE.则∠AEC与∠A，∠C之间有怎样的数量关系，并说明理由．
【解】∠AEC＝∠A＋∠C.理由如下
如图，过点E作EF∥AB.又因为AB∥CD，
所以AB∥CD∥EF.
所以∠A＝∠AEF，∠C＝∠CEF.
又因为∠AEC＝∠AEF＋∠CEF，
所以∠AEC＝∠A＋∠C.
(2)如图②，AB∥CD，若∠E＝∠B＝60°，∠F＝85°，求∠D的度数．
【解】因为∠B＝60°，∠F＝85°，
所以∠BHF＝180°－∠B－∠F＝35°.
又因为∠AHE＝∠BHF，所以∠AHE＝35°.
由题易知∠D＝∠E－∠AHE，
所以∠D＝60°－35°＝25°.
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b．“ ”形图
4．(1)如图①，直线AB∥CD，点P在直线AB，CD之间．求证：∠BAP＋∠APC＋∠PCD＝360°.
小明的证明过程是这样的：“过点P向右作PE∥AB，……”
请按照小明的思路写出完整的证明过程；
92°
【点拨】过点P向右作PE∥AB，
所以∠BAP＋∠APE＝180°.
因为AB∥CD，PE∥AB，所以CD∥PE.
所以∠DCP＋∠CPE＝180°.
所以∠BAP＋∠APE＋∠DCP＋∠CPE＝360°，
即∠BAP＋∠APC＋∠PCD＝360°.
(2)①直线AB∥CD，点P，Q在直线AB，CD之间，且点P，Q在直线AC的同侧，如图②，试探究∠BAP，∠APQ，∠PQC，∠QCD之间的数量关系，并说明理由；
②直线AB∥CD，点P，Q在直线AB，CD之间，且点P，Q在直线AC的两侧．如图③，试探究∠BAP，∠APQ，∠PQC，∠QCD之间的数量关系，并说明理由．
请在①②中任选一个问题进行解答．
②直线AB∥CD，点P，Q在直线AB，CD之间，且点P，Q在直线AC的两侧．如图③，试探究∠BAP，∠APQ，∠PQC，∠QCD之间的数量关系，并说明理由．
请在①②中任选一个问题进行解答．
【解】(二选一即可)①∠BAP＋∠APQ＋∠PQC＋∠QCD＝540°.理由如下：
如图①，过点P作PE∥AB，过点Q作QF∥CD.
又因为AB∥CD，所以AB∥PE∥QF∥CD.
所以∠BAP＋∠APE＝180°，∠EPQ＋∠PQF＝180°，∠FQC＋∠QCD＝180°.所以∠BAP＋∠APE＋∠EPQ＋∠PQF＋∠FQC＋∠QCD＝180°＋180°＋180°＝540°，即∠BAP＋∠APQ＋∠PQC＋∠QCD＝540°.
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②∠BAP＋∠APQ－∠PQC＋
∠QCD＝180°.理由如下：
如图②，过点P作PE∥AB，过点Q作QF∥CD.又因为AB∥CD，所以AB∥PE∥QF∥CD.所以∠BAP＋∠APE＝180°，∠EPQ＝∠PQF，∠QCD＝∠CQF.所以∠BAP＋∠APQ－∠PQC＋∠QCD＝∠BAP＋(∠APE＋∠EPQ)－(∠PQF＋∠FQC)＋∠QCD＝∠BAP＋∠APE＋∠EPQ－∠PQF－∠FQC＋∠QCD＝∠BAP＋∠APE＝180°.
c.“ ”形图
5．(1)如图，AB∥CD，若∠B＝130°，∠C＝30°，求∠BEC的度数；
【解】如图，过点E向左作EF∥AB，
则∠B＋∠BEF＝180°.
因为∠B＝130°，
所以∠BEF＝180°－∠B＝180°－130°＝50°.
因为AB∥CD，EF∥AB，
所以EF∥CD.所以∠FEC＝∠C.
因为∠C＝30°，所以∠FEC＝30°.
所以∠BEC＝∠BEF＋∠FEC＝50°＋30°＝80°.
(2)如图，AB∥CD，探究∠B，∠C，∠BEC三者之间有怎样的数量关系，并说明理由．
【解】∠B＋∠BEC－∠C＝180°.
理由如下：如图．
由(1)得∠FEC＝∠C，∠B＋∠BEF＝180°.
又因为∠BEF＝∠BEC－∠FEC，
所以∠BEF＝∠BEC－∠C.
所以∠B＋∠BEF＝∠B＋∠BEC－∠C＝180°.
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【点方法】解这种类型的题目时，通常是过“拐点”作平行线，把一个大角分成两个小角，使分成的角与已知角建立联系，这种转化思想在解题时经常用到．
d．“ ”形图
6．【信息阅读】
材料信息：如图①，AB∥DE，点C是直线AB，DE外任意一点，连接BC，DC.
方法信息：如图②，在“材料信息”的条件下，∠B＝55°，∠D＝35°，求∠BCD
的度数．
解：如图②，过点C作CF∥AB，
所以∠BCF＝∠B＝55°.
因为AB∥DE，CF∥AB，所以CF∥DE.
所以∠DCF＝∠D＝35°.
所以∠BCD＝55°－35°＝20°.
【问题解决】
(1)通过【信息阅读】，猜想：∠B，∠D，∠BCD之间有怎样的等量关系？请直接写出结论：________________.
∠BCD＝∠B－∠D
(2)如图③，在“材料信息”的条件下，改变点C的位置，∠B，∠D，∠BCD之间的等量关系是否改变？若不改变，请写出理由；若改变，请写出新的等量关系及理由．
【解】改变，∠BCD＝∠D－∠B.理由如下：
如图，过点C作CF∥AB，所以∠BCF＝∠B.
因为AB∥DE，CF∥AB，
所以CF∥DE.
所以∠DCF＝∠D.
因为∠BCD＝∠DCF－∠BCF，
所以∠BCD＝∠D－∠B.
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e．“ ”形图
7．已知直线AB∥CD，E为平面内一点，连接EB，EC.
(1)如图①，已知∠B＝32°，∠C＝120°，则∠BEC的度数为________；
92°
【点拨】过点E向右作EF∥AB.
又因为AB∥CD，所以AB∥CD∥EF.
所以∠B＝∠BEF，∠C＋∠CEF＝180°.
又因为∠B＝32°，∠C＝120°，
所以∠BEF＝32°，∠CEF＝180°－120°＝60°.
所以∠BEC＝32°＋60°＝92°.
(2)如图②，判断∠ABE，∠BEC，∠DCE之间的数量关系为____________________________；
∠ABE－∠BEC＋∠DCE＝180°
【点拨】过点E向右作EM∥AB.又因为AB∥CD，所以AB∥EM∥CD.所以∠ABE＝∠BEM，∠CEM＋∠DCE＝180°.因为∠CEM＝∠BEM－∠BEC＝∠ABE－∠BEC，所以∠ABE－∠BEC＋∠DCE＝180°.
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