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第 2 课时 分式的基本性质
第 15 章 分 式
15.1 分式及其基本性质
学习目标
1. 通过类比分数的基本性质，经历分式的基本性质的探究过程，感知类比的思想方法，体会由“数”到“式”的抽象. (重点)
2. 掌握分式的变号法则，并运用分式的基本性质进行
恒等变形，提高运算能力. (难点)
3. 运用分式的基本性质进行分式的约分和通分. (重点)
4. 准确确定分式的最简公分母，熟练进行分式的通分.
分数的 基本性质
分数的分子与分母都乘 (或除以) 同一个不等于零的数，分数的值不变.
2. 这些分数相等的依据是什么？
1. 把 3 个苹果平均分给 6 个同学，每个同学得到几个苹果？
思考：下列两式成立吗？为什么？
成立，因为分数的分子和分母同乘(或除以)一个不等于 0 的数，分数的值不变．
分式的基本性质
1
你认为分式“ ”与分数“ ”，分式“ ”与“ ”相等吗？(a，m，n 均不为 0 )
想一想：类比分数的基本性质，你能猜想分式有什么性质吗？
思考：
分式的基本性质：
分式的分子和分母都乘以（或都除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变.
上述性质可以用等式表示为：
其中 A，B，C 是整式.
知识要点
例1 填空：
看分母如何变化，想分子如何变化.
看分子如何变化，想分母如何变化.
想一想：(1) 中为什么不给出 x≠0，而(2)中却给出了 b≠0
典例精析
想一想：运用分式的基本性质应注意什么
(1) “ 都 ”；
(2) “同一个 ”；
(3) “ 不为 0 ”.
解：
例2　不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数.
(1) ； (2) .
典例精析
1. 不改变分式的值，使下列分子与分母都不含“－”号
(1) (2) (3)
解：(1) 原式 = .
(2) 原式 = .
(3) 原式 = .
练一练
想一想：联想分数的约分，由例 1 你能想出如何对分式进行约分吗？
（ ）
（ ）
与分数约分类似，关键是要找出分式的分子与分母的公因式.
分式的约分
2
例3 约分：
（1） ； （2） .
分析：约分的前提是要先找出分子与分母的公因式.
解：（1）
（2）
先分解因式，找出分子与分母的公因式，再约分.
典例精析
例3 约分：
(1) ；
分析：约分要先找出分子和分母的公因式.
找公因式方法：
(1) 取系数的最大公约数作为系数；
(2) 取分子、分母相同因式的最低次幂作为因式.
( 公因式是 4xy3 )
解：(1)
典例精析
(2) .
分析：约分时，分子或分母若是多项式，能分解则必须先进行因式分解. 再找出分子和分母的公因式进行约分.
(2) .
判断一个分式是不是最简分式，要严格按照定义来判断，就是看分子、分母有没有公因式.分子或分母是多项式时，要先把分子、分母因式分解.
注意
最简分式
分子与分母没有公因式的分式称为最简分式.
知识要点
1. 约分：
解：(1)
(2)
练一练
约分的基本步骤
(1) 若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去公共字母的最低次幂；
(2) 若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式．
归纳总结
注意事项：
（1）约分前后分式的值要相等；
（2）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式；
（3）约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式.
找最简公分母：
第一要看系数；第二要看字母(式子）.
分母是多项式的先因式分解，再找公分母.
分式的通分，即把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母（叫做最简公分母）.
分式的通分
2
试一试 找出下面各组分式的最简公分母：
最小公倍数
最简公分母
最高次幂
单独字母
不同的因式
最简公分母的系数，取各个分母的系数的最小公倍数，字母及式子取各分母中所有字母和式子的最高次幂.
例5 通分：
(2)
解：(1) 与 最简公分母为 a2b2，所以
(2) 与 最简公分母为 x2－y2，所以
(3) .
(3) 因为 x2－y2＝ ，
x ＋xy＝ ，
所以 与 的最简公分母为 ，
因此， ，
.
(x－y)(x＋y)
x(x＋y)
x(x－y)(x＋y)
练一练 2. 找最简公分母:
x(x-5)(x+5)
(x+y)2 (x-y)
想一想：分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法的根据是什么？
约分 通分
分数
分式
依据 找分子与分母的
最大公约数
找分子与分母的公因式
找所有分母的
最小公倍数
找所有分母的
最简公分母
分数或分式的基本性质
分式的
基本性质
内容
作用
分式进行约分
和通分的依据
注意
(1) 分子分母同时进行
(2) 分子分母只能同乘或同除，不能进行同加或同减
(3) 分子分母只能同乘或同除同一个非零的数或式
进行分式运算的基础
2. 下列各式中是最简分式的（ ）
B
1. 下列各式成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
D
3. 若把分式 的 x 和 y 都变为原来的两倍，则分
式的值 ( )
A．变为原来的两倍　 B．不变　　
C．变为原来的一半　 D．变为原来的四分之一
B
4. 若把分式 中的 x 和 y 都变为原来的 3 倍，则分式的值变为原来的 ( )
A．3 倍　 B．9 倍 C．4 倍 D．不变
A
5.下列各分式，哪些是最简分式？哪些不是最简分式？
解： 最简分式：
不是最简分式：
解：
6. 约分：

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