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15.3 可化为一元一次方程的
分式方程
第 1 课时 分式方程及其解法
第 15 章 分 式
学习目标
1. 理解分式方程的意义，掌握解分式方程的一般方法和步骤. (重点)
2. 理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握解分式方程中验根的方法. (难点)
3. 在将分式方程转化为整式方程，在解分式方程的方法中培养探究、合作学习的习惯.
1. 什么是一元一次方程
2. 什么是分式
只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都
是整式，未知数的次数是 1，这样的方程叫做一元
一次方程.
形如 ( A、B 是整式，且 B 中含有字母) 的式子，叫做分式.
问题1 轮船在顺水时航行 80 km 所需的时间和在逆水中航行 60 km 所需的时间相同. 已知水流的速度是 3 km/h，问轮船在静水中的速度.
分式方程的概念
1
分析 设轮船在静水中的速度为 x km/h，根据题意，得
问题2 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某校团总支号召同学们自愿捐款.已知第一次捐款总额为 4800 元，第二次捐款总额为 5000 元，第二次捐款人数比第一次多 20 人，而且两次人均捐款额恰好相等 . 如果设第一次捐款人数为 x 人，那么 x 应满足怎样的方程？
思考 上面问题中我们得到的两个方程有什么特点？
分母中都含有未知数.
分式方程的概念
分式方程的特征
方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.
(1) 是等式；
(2) 方程中含有分母；
(3) 分母中含有未知数.
知识要点
判一判 下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？
整式方程
分式方程
方法总结：判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π 是常数)．
（2）怎样去分母？
（3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母
都约去？
（4）这样做的依据是什么？
解分式方程最关键的问题是什么？
（1）如何把它转化为整式方程呢？
如何去分母
你能试着解这个分式方程吗？
分式方程的解法
2
方程的最简公分母是：(x + 3)(x - 3).
解：方程两边都乘以 (x + 3)(x - 3)，约去分母，得
80(x - 3) = 60(x + 3)，
解这个整式方程，得 x = 21.
x = 21 是原分式方程的解吗？
检验：将 x = 21 代入原分式方程中，左边 = = 右边，
因此 x = 21 是原分式方程的解.
解分式方程的基本思路：是将方程的两边都乘同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.
归纳总结
例1 解方程：
解 ：方程两边都乘以 (x2－1)，约去分母，得
解这个整式方程，得 x = 1.
典例精析
x = 1 是原分式方程的解吗？
检验：将 x = 1 代入原分式方程检验，发现这时分母 x - 1 和 x2 - 1 的值都为 0，相应的分式方程无意义.
因此 x = 1 虽是整式方程 x + 1 = 2 的解，但不是原分式方程 的解. 实际上，这个分式方程无解.
想一想：
上面两个分式方程中，为什么
去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，
而 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？
真相揭秘：分式两边同乘不为 0 的式子，所得整式方程的解与分式方程的解相同.
我们再来观察去分母的过程：
80(x-3)=60(x+3)
两边同乘(x+3)(x-3)
当x=21时，(x+3)(x-3)≠0
真相揭秘：分式两边同乘了等于 0 的式子，所得整式方程的等式必然成立（即整式方程的解与原分式方程无关），但其解使原分式方程中的分母为 0，故这个整式方程的解就不是原分式方程的解.
x + 1 = 2
两边同乘(x2－1)
当 x=1 时，(x2－1)=0
在将分式方程变形为整式方程时，方程两边都乘以同一个含有未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根. 因此，在解分式方程时必须进行检验.
解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为 0，所以分式方程的解必须检验．
分式方程解的检验——必不可少的步骤
怎样检验？
归纳总结
检验方法：
将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；如果为 0，即为增根.
如例1 中，把 x = 1 代入 x －1，其值为 0，
可知 x = 1 是原分式方程的增根.
1. 在方程的两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；
2. 解这个整式方程；
3. 把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则该解须舍去；
4. 写出原方程的解.
简记为：“一化二解三检验”.
知识要点
“去分母法”解分式方程的步骤
用框图的方式总结为：
分式方程
整式方程
去分母
解整式方程
x =a
检验
x =a是分式
方程的解
x =a不是分式
方程的解
x =a时
最简公分母是
否为零？
否
是
解 方程两边都乘以 x ( x - 7 ) ，约去分母，得 100 ( x - 7 ) = 30x.
解这个整式方程，得 x = 10 .
例2 解方程：
检验: 把 x = 10 代入 x ( x - 7)，得 10×(10 - 7) ≠ 0
所以 x = 10 是原方程的解.
典例精析
例3 若关于 x 的分式方程 无解，求 m 的值．
解析：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：整式方程无解与或其解使分式方程的最简公分母为零．
典例精析
解：方程两边同乘 (x＋2)(x－2) 得
2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即 (m－1)x＝-10.
① 当 m－1＝0 时，此方程无解，此时 m＝1；
② 整式方程的解使分式方程的最简公分母为零，即
x＝2 或 x＝－2.
当 x＝2 时，(m－1)×2＝－10，解得 m＝－4；
当 x＝－2 时，(m－1)×(－2)＝－10，解得 m＝6.
∴ m 的值是 1，－4 或 6.
分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为 0 的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为 0 的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．
方法总结
分式
方程
误区
(1) 去分母时，原方程的整式部分漏乘
步骤
(去分母法)
一化 (分式方程转化为整式方程)；
二解 (整式方程)；
三检验 (把解代入到最简公分母中，看是否为零)
(2) 去分母后，分子是多项式时，没有添括号 (因分数线有括号的作用)
(3) 忘记检验
定义
分母中含未知数的方程叫作分式方程
2. 要把方程 化为整式方程，方程两边可以同乘 ( )
D
A. 3y - 6 B. 3y C. 3 (3y - 6 ) D. 3y ( y - 2 )
1. 下列关于 x 的方程中，是分式方程的是 (　　)
A. B.
C. D.
D
3. 解分式方程 时，去分母后得到的整式方程是 ( )
A. 2(x - 8) + 5x = 16(x - 7) B. 2(x - 8) + 5x = 8
C. 2(x - 8) - 5x = 16(x - 7) D. 2(x - 8) - 5x = 8
A
4. 若关于 x 的分式方程 无解，则 m 的值为 ( )
A．－1，5 B．1
C．－1.5 或 2 D．－0.5 或 －1.5
D
5.解方程：
解： 方程两边乘 x(x-3)，得
2x = 3x-9.
解得
x = 9.
检验：当x = 9时，x(x-3) ≠0.
所以，原分式方程的解为x = 9.
6. 解方程：
解： 方程两边乘(x-1)(x+2)，得
x(x+2)-(x-1)(x+2) = 3.
解得
x = 1.
检验：当 x = 1 时， (x-1)(x+2) = 0，
因此 x = 1 不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
7. 解方程：
解：去分母，得
解得
检验：把 代入最简公分母，得
所以原方程的解为
8.若关于 x 的方程 有增根，求 m 的值.
解：方程两边同乘以 x -2，
得 2 - x + m = 2x - 4，
合并同类项，得3x = 6+m，
∴m = 3x-6.
∵该分式方程有增根，
∴ x = 2，∴ m = 0.

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