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15.4 零指数幂与负整数指数幂
第 1 课时 零指数幂与负整数指数幂
第 15 章 分 式
学习目标
1. 理解负整数指数幂 (a≠0，n 是正整数).
(重点)
2.了解整数指数幂的意义和基本性质，会用文字和符号语言表述整数指数幂的基本性质，能根据整数指数幂的基本性质进行幂的运算. (难点)
3. 通过探索负整数指数幂的运算性质，体会从特殊到一般是研究数学的一个重要方法，培养抽象、归纳的能力.
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
即
问题 同底数幂的除法法则是什么？
若 m≤n，同底数幂的除法怎么计算呢？该法则还适用吗？
= am－n
问题引导
根据分式的基本性质，如果 a≠0，m 是正整数，那么 等于多少？
零次幂
1
如果把公式 (a ≠ 0，m，n 都是正整数，且 m > n) 推广到 m = n 的情形，那么就会有
这启发我们规定
即任何不等于零的数的零次幂都等于 1.
总结归纳
想一想：为何 a 不能等于 0 呢？
例1 已知 (3x - 2)0 有意义，则 x 应满足的条件是_______．
解析：根据零次幂的意义可知，若 (3x－2)0 有意义，则 3x - 2≠0，即 .
方法总结：零次幂有意义的条件是底数不等于 0，所以解决有关零次幂的意义问题时，可列出关于底数不等于 0 的式子求解即可．
典例精析
例2 若 (x - 1)x＋1 = 1，求 x 的值．
解：①当 x＋1 = 0，即 x = -1 时，(x - 1)x＋1 = (-2)0 = 1；
②当 x - 1 = 1，即 x = 2 时，(x - 1)x＋1 = 13 = 1；
③当 x - 1 = -1，即 x = 0 时，(x - 1)x＋1 = (-1)1 = -1．
故 x 的值为 -1 或 2.
方法总结：乘方的结果为 1，可分为三种情况：不为零的数的零次幂等于 1；1 的任何次幂都等于 1；－1 的偶次幂等于 1. 即在底数不等于 0 的情况下要考虑指数等于 0，另外还需考虑底数等于 1 或－1 的情况.
典例精析
问题：计算：a3÷a5 = (a ≠ 0)
解法1
解法2 假如把正整数指数幂的除法法则 am÷an = am-n
(a ≠ 0，m，n 是正整数，m＞n) 中的 m＞n 这个条件去掉，那么 a3÷a5 = a3-5 = a-2.
于是得到：
负整数指数幂
2
如果令公式 am÷an = am-n 中的 m = 0，那么就会有
由于 因此
(a≠0，n 是正整数).
这就是说，任何不等于 0 的数的 -n ( n 是正整数) 次幂 ，等于这个数的 n 次幂的倒数.
例3 计算：
解：
典例精析
例4 若 a = ，b = (-1)-1，c = ，则 a，b，c 的大小关系是（ ）
A．a＞b＝c B．a＞c＞b
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
B
解析：a = = = ，b = (-1)-1 = -1，c =
= 1，故 a＞c＞b.
典例精析
方法总结：关键是理解负整数指数幂的意义，依次计算出结果．当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
方法总结
例5 把下列各式写成分式的形式：
解:
典例精析
解析：分别根据有理数的乘方、0 指数幂、负整数指数幂及绝对值的性质计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算．
例3 计算：－22＋ ＋(2－π)0 ＋| 2 - |.
解：原式
＝－4＋4＋1＋2－
我们知道 ，正整数指数幂有如下运算性质：
(1) am · an = amn ;
(2) am÷an = am－n (a ≠ 0) ;
(3) ( am )n = amn ;
(4) (ab)n = an · bn .
上述各式中，m 、n 都是正整数，在性质 (2) 中还要求 m > n.
幂的运算定律推广到负整数指数幂
3
探索 我们已经引进零指数幂和负整数指数幂，指数的范围扩大到了全体整数，上述幂的运算性质是否还成立呢 也就是说 ，以上这些性质中 ，原来的限制是否可以取消 ，只要 m、n 是整数就可以了呢
我们不妨取 m、n 的一些特殊值，来检验一下
上述性质是否成立.
例如，取 m = 2，n = -3，我们来检验性质 (1) :
a m · a n = a 2 · a－3 = a 2 ·
所以，这时性质 (1) 成立
再取几个 m、n 的值 ( 其中至少有一个是负整数或 0 ) 试一试.
整数
指数幂
1.零指数幂：当a ≠ 0时，a0 = 1.
2.负整数指数幂：当 n 是正整数时，a－n =
整数指数幂的运算性质：
（1）am·an=am+n（m，n为整数，a≠0）
（2）(ab)m=ambm（m为整数，a≠0，b≠0）
（3）(am)n=amn（m，n为整数，a≠0）
1. 计算：
1
1
64
2.把下列各式写成分式的形式：
3.比较大小：
（1）3.01×10－4_______9.5×10－3
（2）3.01×10－4________3.10×10－4
<
<
4. 计算：
(1) (2ab2)2 · (2ab)-3 ； (2)
解：(1) 原式＝22a2b4 · (2-3a-3b-3)
＝22×2-3 · a2 · a-3 · b4 · b-3
＝2-1 · a-1 · b
(2) 原式＝(2a-1b-1)4 ÷ (2-1ab2)-3
＝(2a-1b-1)4 · (2-1ab2)3
＝(24a-4b-4) · (2-3a3b6)
＝2a-1b2
∴ -2n＝-8，2m＝6.
∴ n＝4，m＝3.
∴ m - n ＝-1.
.

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