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第 2 课时 分式方程的应用
第 15 章 分 式
15.3 可化为一元一次方程的
分式方程
学习目标
1. 进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程.
(重点)
2. 运用分式方程解决实际应用问题时，会合理设未知数，找出等量关系并列出方程. (难点)
3. 通过分式方程的应用过程，培养数学应用意识，提高分析问题和解决问题的能力.
1. 解分式方程的基本思路是什么？
2. 解分式方程有哪几个步骤？
3. 验根有哪几种方法？
分式方程
整式方程
转化
去分母
一化二解三检验
有两种方法：第一种是代入最简公分母；第二种是代入原分式方程.通常使用第一种方法.
4. 我们现在所学过的应用题有哪几种类型？每种
类型的基本等量关系式是什么？
基本上有 4 种：
(1) 行程问题：路程 = 速度×时间以及它的两个变式；
(2) 数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法；
(3) 工程问题：工作量 = 工时×工效以及它的两个变式；
(4) 利润问题：批发成本 = 批发数量×批发价；
打折销售价 = 定价×折数÷10；
销售利润 = 销售收入一批发成本；
每本销售利润 = 定价一批发价；
利润率 = 利润÷进价.
例1 用计算机处理数据时，为了防止数据输入出错，某研究室安排两位程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致. 两人各输入 2640 个数据，已知甲的输入速度是乙的 2 倍，结果甲比乙少用 2 小时输完，这两个操作员每分钟
各能输入多少个数据
列分式方程解决工程问题
1
工时 =
工作量
工效
解 设乙每分钟能输 x 个数据，则甲每分钟能输入2x 个数据，根据题意，得
经检验，x 是原方程的解.
并且，当 x＝11 时，2x＝2×11=22，
所以乙用了 240 min，甲用了 120 min，甲比乙少用了120 min，符合题意.
答：甲每分钟能输入 22 个数据，乙每分钟能输入 11 个数据.
解得 x＝11.
例2 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工 1 个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？
表格法分析如下：
工作时间（月） 工作效率 工作总量（1）
甲队
乙队
设乙单独完成这项工程需要 x 天.
典例精析
解：设乙单独 完成这项工程需要 x 个月.记工作总量为 1，甲的工作效率是 ，根据题意得
即
方程两边都乘以 2x，得
解得 x = 1.
检验：当 x = 1 时，2x≠0. 所以，原分式方程的解为
x = 1. 由上可知，若乙队单独施工 1 个月可以完成全部任务，而甲队单独施工需 3 个月才可以完成全部任务，所以乙队的施工速度快.
等量关系：
甲队完成的工作总量 + 乙队完成的工作总量 =“1”
想一想：本题的等量关系还可以怎么找？
甲队单独完成的工作总量 + 两队合作完成的工作总量
=“1”
此时表格怎么列，方程又怎么列呢？
设乙单独完成这项工程需要 x 天.则乙队的工作效率是 ，甲队的工作效率是 ，合作的工作效率是
工作时间(月) 工作效率 工作总量
甲单独
两队合作
此时方程是：
1
表格为
“3 行 4 列”
1. 抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期 3 个小时才能完成．现甲、乙两队合作 2 个小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时.
解析：设甲队单独完成需要 x 小时，则乙队需要(x＋3)小时，根据等量关系“甲工效×2＋乙工效×甲队单独完成需要时间＝1”列方程．
练一练
解：设甲队单独完成需要 x 小时，则乙队需要(x＋3) 小时．
由题意得 . 解得 x＝6.
经检验 x＝6 是方程的解．∴ x＋3＝9.
答：甲单独完成全部工程需 6 小时，乙单独完成全部工程需 9 小时．
解决工程问题的思路方法：各部分工作量之和等于 1，从工作量和工作时间上考虑相等关系．
例3 朋友们约着一起开着 2 辆车自驾去黄山玩，其中面包车为领队，小轿车紧随其后，他们同时出发，当面包车行驶了 200 km 时，发现小轿车只行驶了 180 km，若面包车的行驶速度比小轿车快 10 km/h，请问面包车，小轿车的速度分别为多少 km/h？
0
180
200
列分式方程解决行程问题
2
路程 速度 时间
面包车
小轿车
200
180
x + 10
x
分析：设小轿车的速度为 x km/h.
面包车行驶的时间 = 小轿车行驶的时间
等量关系：
列表如下：
解：设小轿车的速度为 x km/h，则面包车的速度为 x + 10 km/h，依题意得
解得 x ＝ 90
经检验，x ＝ 90 是原方程的解，
且 x = 90，x+10 = 100，符合题意.
答：面包车的速度为 100 km/h，小轿车的速度为
90 km/h.
注意两次检验:
(1)是不是所列方程的解；
(2)是否满足实际意义.
2. 小轿车发现跟丢时，面包车行驶了 200 km，小轿车行驶了 180 km，小轿车为了追上面包车，他就马上提速，他们约定好在 300 km 的地方碰头，他们正好同时到达，请问小轿车提速了多少 km/h？
0
180
200
300
练一练
解：设小轿车提速了 x km/h，依题意得
解得 x＝30
经检验，x＝30 是原方程的解，且 x＝30，符合题意.
答：小轿车提速了 30 km/h.
列分式方程解应用题的一般步骤
1. 审：审清题意，找出相等关系；
2. 设：设出未知数；
3. 列：列出方程；
4. 解：解这个分式方程；
5. 验：验根（包括两方面：①是不是分式方程的根；②是否符合题意）；
6. 答：写答案.
例4 某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每吨水费上涨三分之一，小丽家去年12月的水费是 15 元，今年 7 月的水费是 30 元.已知今年7月的用水量比去年 12 月的用水量多 5 m3，求该市今年居民用水的价格.
分析：此题的主要等量关系是：
小丽家今年 7 月的用水量－去年 12 月的用水量 = 5m3.
列分式方程解决商业问题
3
解：设该市去年居民用水的价格为 x 元/m3，则今年的水价为 元/m3，根据题意，得
解得
经检验， 是原方程的根.
答：该市今年居民用水的价格为 2 元/m3.
例5 某果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用 1200 元购进若干千克，并以每千克 8 元出售，很快售完. 由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了 10%，用 1452 元所购买的数量比第一次多 20 千克，以每千克 9 元售出 100 千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价 50% 售完剩余的水果.
(1) 求第一次水果的进价是每千克多少元；
解析：根据第二次购买水果数多 20 千克，可得出方程，解出即可得出答案；
典例精析
解：设第一次购买的进价为 x 元，则第二次的进价为 1.1x 元，
根据题意得 ，
解得 x＝6.
经检验，x＝6 是原方程的解．
答：第一次水果的进价为每千克 6 元．
(2) 该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还
是亏损？盈利或亏损了多少元？
解析：先计算两次购买水果的数量，赚钱情况：销售的水果量×(实际售价－当次进价)，两次合计，就可以求得是盈利还是亏损了．
解：第一次购买水果 1200÷6＝200 (千克).
第二次购买水果 200＋20＝220 (千克).
第一次赚钱为 200×(8－6)＝400 (元)，
第二次赚钱为 100×(9－6.6)＋120×(9×0.5－6.6)
＝－12 (元). 所以两次共盈利 400－12＝388 (元).
分式方程的应用
类型
行程问题、工程问题、数字问题、顺逆问题、利润问题等
方法
步骤
一审二设三列四解五验六答
321法
A. B.
C. D.
1. 几名同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为 180 元，出发前，又增加两名同学，结果每个同学比原来少分摊 3 元车费，若设原来参加旅游的学生有 x 人，则所列方程为 (　　)
A
2. 一轮船往返于 A，B 两地之间，顺水比逆水快 1 小时到达. 已知 A，B 两地相距 80 km，水流速度是 2 km/h，求轮船在静水中的速度.
解：设船在静水中的速度为 x km/h，根据题意得
解得 x = ±18.
检验：x =－18 不合题意，舍去，故 x = 18.
答：船在静水中的速度为 18 km/h.
方程两边同乘 (x - 2)(x + 2) 得
80x + 160－80x + 160 = x2 －4.
3. 农机厂到距工厂 15 km 的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了 40 分钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的 3 倍，求两车的速度.
解：设自行车的速度为 x km/h，依题意得
解得
x＝15.
经检验，x＝15 是原方程的根.
由 x＝15 得 3x＝45.
答：自行车的速度是 15 km/h，汽车的速度是45 km/h.
4. 某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题：
同学们，请问篮球和排球的单价各是多少元？
解：设排球的单价为 x 元，则篮球的单价为 (x＋60) 元，根据题意，列方程得
解得 x＝100. 经检验，x＝100 是原方程的根，当 x＝100 时，x＋60＝160.
答：排球的单价为 100 元，篮球的单价为 160 元．

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