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第3课时 多边形的内角和定理
1.1 三角形内角和定理
第一章 三角形的证明及其应用
八下数学 BSD
1. 通过观察、分析，会把多边形问题转化成三角形问题，进而解决问题，渗透转化思想.
2. 掌握多边形的内角和定理.
3. 掌握多角度解题与方法归纳技能，积累解决几何问题的经验(如添加合适的辅助线)，提升解决问题的能力.
小明和小亮经常到如图所示的广场进行体育锻炼.
思考
(1) 这个广场中心的边缘是一个五边形，你能设法求出它的五个内角的和吗
(1) 我们已经学过了三角形的内角和，可考虑将五边形分割为若干个三角形，然后借助三角形的内角和进行计算.
也可以通过度量来获取五边形的内角和.
(2) 小明、小亮分别利用图1和图2求出了五边形五个内角的和.你知道他们是怎样做的吗
图1 图2
小明、小亮的方法都是把五边形的内角和问题转化为三角形的内角和问题.
图1 图2
小明是将五边形的五个内角分割在3个三角形中，3个三角形的内角和即为五边形的内角和.
小亮是将五边形分割成5个三角形，用5个三角形的内角和减去 360°即得五边形的内角和.
你还有其他的方法吗
五边形内角和等于
这四个三角形的内角和减去在点P处的一个平角.
P
分割
五边形
三角形
分割点与多边形的位置关系
顶点
边上
内部
转化思想
计算五边形内角和：
五边形的内角和为540°
思考 (1) 按照图1的方法，六边形能分成多少个三角形 n(n是大于或等于3的自然数)边形呢 你能确定n边形的内角和吗
(1) 六边形能分成4个三角形.
n边形能分成(n-2)个三角形.
n边形的内角和为(n-2)·180°.(n是大于或等于3的自然数)
知识点 多边形的内角和定理
图1
(2) 按照图2的方法再试一试.
(2) 六边形能分成6个三角形.
n边形能分成n个三角形.
n边形的内角和为n·180°-360°= (n-2)·180°.(n是大于或等于3的自然数)
知识点 多边形的内角和定理
图2
知识点 多边形的内角和定理
多边形内角和定理：
n边形的内角和等于(n-2)·180°.
例1 如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°.∠B与∠D有怎样的关系
解：∵ ∠A+∠B+∠C+∠D=(4-2)×180°= 360°，
∴ ∠B+∠D
=360°-(∠A+∠C)
=360°-180°
=180°.
知识点 多边形的内角和定理
B
说明：如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补.
A
C
D
思考 (1) 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形的每个内角分别是多少度
知识点 多边形的内角和定理
正多边形：各边相等、各角也相等的多边形是正多边形.
思考 (1) 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形的每个内角分别是多少度
(1) 正三角形的每一个内角为 =60°；
正四边形的每一个内角为 =90°；
正五边形的每一个内角为 =108°；
正六边形的每一个内角为 =120°；
正八边形的每一个内角为 =135°.
知识点 多边形的内角和定理
(2) 怎样计算正多边形每个内角的度数
(2) 正多边形每个内角的度数=(n为边数).
知识点 多边形的内角和定理
知识点 多边形的内角和定理
正多边形：各边相等、各角也相等的多边形是正多边形.
正n边形的每个内角的度数都为.
思考 剪掉一张长方形纸片的一个角后，剩下的纸片是几边形 它的内角和是多少度
剪掉一个角后，分以下3种情况：
(1) 纸片剩下5个角，得到的五边形的内角和为(5-2)×180°=540°；
(2) 纸片剩下4个角，得到的四边形的内角和为(4-2)×180°=360°；
(3) 纸片剩下3个角，得到的三角形的内角和为180°.
知识点 多边形的内角和定理
跟踪训练 小彬求出一个正多边形的一个内角为145°.他的计算正确吗 如果正确，他求的是正几边形的内角 如果不正确，请说明理由.
解：他的计算不正确.
理由如下：
设正多边形的边数为n，则(n-2)·180°=n·145°，解得n=.
因为n为正整数，所以n=不合题意.
所以他的计算不正确.
知识点 多边形的内角和定理
1. 一个六边形的内角和等于(　　)
A. 360° B. 540° C. 720° D. 900°
C
解析：一个六边形的内角和等于(6-2)×180°=720°.
2. 一个多边形的内角和可能是5 100°吗 为什么
解：不可能.
理由如下：当(n-2)×180°=5 100°时，
解得n≈30.3，不是整数，
所以5 100°不可能是一个多边形的内角和.
3.将一个n边形变成(n+1)边形，内角和将(　　)
A.减少180° B.增加90° C.增加180° D.增加360°
C
4. 若正多边形的每一个内角是150°，则该正多边形的边数是
(　　)
A.6 B.12 C.16 D.18
解析：根据题意可得 = 150°n，解得n=12.
B
5. 如图，在正八边形ABCDEFGH中，对角线HB，AC交于点K，求∠AKH的度数.
解：∵ 八边形ABCDEFGH为正八边形，
∴ ∠HAB=∠ABC=(8-2)×180°÷8=6×180°÷
8=135°，AH=AB=BC，
∴ ∠BAC=∠BCA=∠ABH=∠AHB=(180°-135°)÷2=22.5°，
∴ ∠AKH=∠BAC+∠ABH=22.5°+22.5°=45°.
多边形内角和定理
证明思路：将n边形的内角和问题化归为三角形的内角和问题
正n边形的每个内角的度数为
n边形的内角和等于(n-2)·180°
(n是大于或等于3的自然数)

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