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第4课时 多边形的外角及外角和定理
1.1 三角形内角和定理
第一章 三角形的证明及其应用
八下数学 BSD
1. 了解多边形的外角的定义，并能准确找出多边形的外角.
2. 掌握多边形的外角和定理，能利用内角和与外角和公式解决实际问题.
如图，小刚在公园沿着五边形步道按逆时针方向慢跑.
A
B
E
C
D
思考
(1) 小刚每次从五边形步道的一条边转到下一条边时，跑步方向改变的角是哪个角 在图上标出这些角.
1
2
3
4
5
A
B
E
C
D
(2) 他每跑完一圈，跑步方向改变的角的总和是多少度
(2) 360°.
因为小刚跑完一圈后方向和出发时方向一样，
所以跑步方向改变的角的总和是∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°.
1
2
3
4
5
A
B
E
C
D
思考
如果公园步道的形状是六边形、八边形，那么结果会怎样
所以公园步道的形状是六边形、八边形时，
改变的角的总和仍为360°.
知识点 多边形的外角及外角和定理
跑完一圈后方向和出发时方向一样，
所以跑步方向改变的角的总和是360°.
知识点 多边形的外角及外角和定理
多边形内角的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角，叫作这个多边形的外角.
如图，∠1，∠2，∠3，∠4，∠5分别是五边形ABCDE的外角.
你知道n边形有几个外角吗
如图，∠6也是五边形ABCDE的外角,
所以n边形有2n个外角.
6
知识点 多边形的外角及外角和定理
在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫作这个多边形的外角和.
通过前面的探究可以发现：
五边形、六边形、八边形的外角和为 360°.
如图，五边形ABCDE的外角和为∠1+∠2+∠3+∠4+∠5.
现以五边形为例，证明这一结论.
知识点 多边形的外角及外角和定理
∵∠1+∠EAB=180°，∠2+∠ABC=180°，
∠3+∠BCD=180°，∠4+∠CDE=180°，
∠5+∠DEA=180°，
∴∠1+∠EAB+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+
∠4+∠CDE+∠5+∠DEA=900°，
∵五边形的内角和为（5-2）×180°=540°，
即∠EAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA=540°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°.
如果是n边形，它的外角和是多少呢
猜想：n边形的外角和都是360°.
理由：∵n边形的每个内角与它相邻的外角是互补的角，
它们的和是180°，
∴n边形的内角和+n边形的外角和=n·180°，
又∵n边形的内角和为(n-2)×180°，
∴n边形的外角和为n·180°-(n-2)·180°=360°．
知识点 多边形的外角及外角和定理
知识点 多边形的外角及外角和定理
定理 多边形的外角和等于360°.
注意：多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少没有关系.
例1 一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形
解：设这个多边形是n边形，则它的内角和等于(n-2)·180°，外角和等于360°，根据题意，得
(n-2)·180°=3×360°.
解得 n=8.
所以，这个多边形是八边形.
知识点 多边形的外角及外角和定理
思考
研究多边形的内角和与外角和的过程中，采用了哪些方法
转化方法，即将一个多边形转化为多个三角形，由三角形的内角和求多边形的内角和.
多边形的外角与和它相邻的内角构成平角，由平角和与内角和求出外角和.
知识点 多边形的外角及外角和定理
跟踪训练 一个多边形的内角和等于外角和的2倍，它是几边形 如果这个多边形的每个内角都相等，那么每个内角等于多少度
解：设这个多边形是n边形，则(n-2)·180°=2×360°，
解得n=6，
∴ 这个多边形是六边形.
如果这个六边形的每个内角都相等，
那么每个内角为 =120°.
知识点 多边形的外角及外角和定理
1. 如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的四个外角，若∠A=120°，则∠1+∠2+∠3+∠4= .
解析：∵ ∠A=120°，
∴与∠A相邻的外角的度数为180°-120°=60°.
∵∠1，∠2，∠3，∠4和与∠A相邻的一个外角的和为 360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°-60°=300°.
300°
2. “花影遮墙，峰峦叠窗”，校园一角空透的窗棂(如图1)蕴含着许多数学元素，如图2是窗棂中的部分图案，若∠1=∠2=72°，∠3=∠4，∠5=86°，则∠3的度数是 .
65°
解析：由多边形的外角和定理可知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°.
∵ ∠1=∠2=72°，∠3=∠4，∠5=86°，
∴ 2×72°+2∠3+86°=360°，
解得∠3=65°.
3. 已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从这个多边形的一个顶点处可以引( )条对角线.
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
解析：设这个多边形的边数为n，180°·(n-2)=360°×4，
解得n=10，
∴ 这个多边形是十边形，
∴ 从这个多边形的一个顶点处可以引10-3=7(条)对角线.
B
4. 多边形中小于120°的内角最多有几个
解：∵ 多边形的内角小于120°，
∴ 外角大于60°，
∵ 360°÷60°=6.
∴ 这个多边形小于120°的内角的个数最多有5个.
5. 如图所示，小明从A点出发，沿直线前进8米后左转40°，再沿直线前进8米，又左转40°……照这样走下去，他第一次回到出发点A时.
(1)整个行走路线是什么图形 (2)一共走了多少米
解: (1)由题意知行走路线是一个正多边形，
设其边数为n，则n=360°÷40°=9，
所以整个行走路线是正九边形.
(2)8×9=72(米)，故一共走了72米.
A
多边形的外角和定理
在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫作这个多边形的外角和
正n边形的每一个外角的度数为
多边形的外角和等于360°
多边形内角的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角
多边形的外角
多边形的外角和
多边形的外角和定理

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